10．函數(shù)的單調(diào)性。

（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號(hào)）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。

如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：）)；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意

型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為。

如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若函數(shù)的值域?yàn)?span>R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：且）)；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減。

如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：（1,2）)。

（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍（答：）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。

（3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大??；②解不等式；③求參數(shù)范圍）。

如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答：）

11．常見的圖象變換

①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的。

如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為__________(答： )

②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的。

如（1）若，則函數(shù)的最小值為____(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對(duì)稱的圖像，再向____平移3個(gè)單位而得到(答：；右)；（3）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)

③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；

④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；

如將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對(duì)稱,那么                  　　(答：C)

⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。

如（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span>（縱坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_____(答：)；（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸方程是_______(答：)。

⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的。

12． 函數(shù)的對(duì)稱性。

①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。

如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；

②點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；

③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；

④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為；

⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為

；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為。

如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對(duì)稱圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________（答：）；

⑥曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線的方程為。

如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則＝______（答：）

⑦形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)。

如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱，則a的值為______（答：2）

⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到。

如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對(duì)稱 （答：軸）　

提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像與的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上。

如（1）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；（2）設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程（答：）；②證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。

13．函數(shù)的周期性。

（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；

②若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；

③如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；

如已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）

（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：

①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；

②若恒成立，則；

③若恒成立，則。

如(1) 設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于_____(答：)；(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系為_________(答：)；（3）已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)；（4）設(shè)是定義域?yàn)?span>R的函數(shù)，且，又，則=       (答：)

14．指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：

，，，，，

，，，

，， 。

如（1）的值為________(答：8)；（2）的值為________(答：)

15．指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。

16．函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模――通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解模――求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立型。

17．抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

（1）借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ：

①正比例函數(shù)型： ---------------；

②冪函數(shù)型： --------------，；

③指數(shù)函數(shù)型： ------------，；

④對(duì)數(shù)函數(shù)型： -----，；

⑤三角函數(shù)型： ----- 。

如已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則____（答：0）

（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究。

如（1）設(shè)函數(shù)表示除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；（2）設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足，如果，，求（答：1）；（3）如設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；（4）已知定義域?yàn)?span>的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。如果，且，則的值的符號(hào)是____（答：負(fù)數(shù)）

（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。

如（1）若，滿足

，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；（2）若，滿足

，則的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；（3）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；

　?。?span>4）設(shè)的定義域?yàn)?span>，對(duì)任意，都有，且時(shí)，，又，①求證為減函數(shù)；②解不等式。（答：）．