數(shù)學(xué)中使用的一般科學(xué)方法（1）
諾依曼說(shuō)：大多數(shù)最好的數(shù)學(xué)靈感來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)。 典型事例：用數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)海王星。 對(duì)觀察得來(lái)的數(shù)據(jù)，設(shè)想一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否與觀察結(jié)果相符合。 數(shù)學(xué)家可分為理論數(shù)學(xué)家和實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)家。 費(fèi)爾馬是理論數(shù)學(xué)家。 歐拉是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)家。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和一般實(shí)驗(yàn)不同。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)面對(duì)的往往是數(shù)據(jù)、圖形、方程之類的思想材料。 思想實(shí)驗(yàn)：根據(jù)研究目的人為地創(chuàng)設(shè)、改變和控制某種數(shù)學(xué)情景，在有利條件下經(jīng)過(guò)思想活動(dòng)，以研究某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)，往往會(huì)形成一些新的概念，提出一種猜想。 數(shù)學(xué)模擬是用計(jì)算機(jī)模擬。 曼德勃?jiǎng)谝赖聞?chuàng)立分形理論，他是用計(jì)算機(jī)造出許多圖形，依靠計(jì)算機(jī)的實(shí)驗(yàn)以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，理解一種數(shù)學(xué)構(gòu)造。 （2） 龐加來(lái)說(shuō)“邏輯用于證明，直覺(jué)用于發(fā)明?！?br>數(shù)學(xué)直覺(jué)沒(méi)有明確定義，大體上是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象中隱含的整體性、次序性、和諧性的領(lǐng)悟，能夠越過(guò)邏輯推理而作出種種預(yù)見(jiàn)的能力。 數(shù)學(xué)的原動(dòng)力是想象力而不是推理。 （3） 一個(gè)完整的數(shù)學(xué)工作應(yīng)有三個(gè)部分： 1． 2． 3． 1， 一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家會(huì)根據(jù)自己的“數(shù)覺(jué)”，運(yùn)用科學(xué)方法，提出好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)定數(shù)學(xué)猜想，以便作深入研究。 問(wèn)題選的好壞，猜想是否合適，是決定數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)水平得分野。 拉普拉斯說(shuō)：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納與類比?！?br>歸納是個(gè)別――一般。 歸納有完全歸納法與不完全歸納法。 猜想有正確的也有不正確的。 一元二次方程可以用根式求得，三次、四次也可以。于是猜想N次方程也一定能用根式求解，然而這一猜想是不正確的。 證明了為了否定這一猜想，伽羅瓦創(chuàng)立了群論，阿貝爾五次及五次以上的方程一般不能用根式求解。 類比 波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！啊泵慨?dāng)理智缺乏可靠論證思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！?br>中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的類比 個(gè)別到一般的推廣；某種特殊性推廣使用；低維到高維的類比；方法上的類比。 （4） 數(shù)學(xué)證明的價(jià)值： 1． 2． 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是相對(duì)的，絕對(duì)嚴(yán)格是做不到的。 數(shù)學(xué)的證明與其他學(xué)科的證實(shí)有本質(zhì)的不同，它具有更多形式化的特點(diǎn)，更接近于形式邏輯，有更強(qiáng)的可靠性。 （5） 化歸方法，就是將一個(gè)問(wèn)題A進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一個(gè)已解決的問(wèn)題B，既然B已可解決，那么A也可以解決。 化歸的方向是由難到易，化繁為簡(jiǎn)。 善于使用化歸法是數(shù)學(xué)家思維方式的一個(gè)重要的特點(diǎn)。 數(shù)學(xué)證明的一般方法有三步： 第一步，憑“數(shù)覺(jué)’和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)證題的一般思路； 第二步，將問(wèn)題化歸為較易的或已經(jīng)解決的新問(wèn)題，并找出化歸的邏輯線索； 第三步，運(yùn)用邏輯的演繹方法將問(wèn)題解決過(guò)程的邏輯要點(diǎn)寫(xiě)下來(lái)。 9種演繹推理 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． |
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來(lái)自： 秘哉巴比倫 > 《經(jīng)驗(yàn)之談》
