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圓周角及圓內(nèi)接四邊形
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］ 1. 圓周角的概念 頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。 圓周角必須具備兩個特征：（1）頂點在圓上；（2）角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可。 2. 圓周角定理 一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。 定理的證明要分類，因為一條弧所對的圓心角唯一，而它所對的圓周角卻有無數(shù)個，這無數(shù)個圓周角與圓心位置有三種：（1）圓心在圓周角的一邊上；（2）圓心在圓周角的內(nèi)部；（3）圓心在圓周角外部。
3. 圓內(nèi)角 角的頂點在圓內(nèi)的角叫圓內(nèi)角。 圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對弧與它對頂角所對弧的度數(shù)之和的一半。 如下圖圓內(nèi)角∠3的度數(shù)為∠1＋∠2，∠1的度數(shù)是
4. 圓外角 角的頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角，叫圓外角。 圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧度數(shù)之差的一半。 如下圖，圓外角∠3的度數(shù)為∠2－∠1，∠2的度數(shù)是
5. 四邊形的外角，四邊形的對角 四邊形一邊延長線與相鄰一邊組成的角叫四邊形的外角。 四邊形中不相鄰的兩個角互稱為對角。 所有頂點都在同一個圓上的多邊形叫圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫這個多邊形的外接圓。 6. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。
【典型例題】 例1. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝110°，則∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55° 又∠BAD＋∠BCD＝180° ∴∠BCD＝180°－55°＝125°
例2. 已知：如圖，∠APC＝∠BPC＝60°，則∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60° ∴∠APB＝120°，BC＝AC ∵四邊形APBC內(nèi)接于⊙O ∴∠ACB＝60° ∴△ABC是等邊三角形 ∴∠BCA＝60°，故填60° 點撥：本題較綜合，考察：①相等的圓周角所對弦相等，②圓內(nèi)接四邊形對角互補，③一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
例3. 半徑為4的圓上一段弧長等于半徑為2的圓的周長，則這段弧所對圓心角是___________。 解：半徑為2的圓的周長是 ∴這段弧長正好是周長的一半 ∴這段弧所對圓心角180° 故填180° 點撥：本題有難度，要理解圓心角的度數(shù)等于它所對弧度數(shù)。
例4. 已知⊙O是△ABC的外接圓，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∠A＝80°，那么∠BOC＝___________，∠BIC＝__________。 解：如圖
∵∠A＝80° 由一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得： ∠BOC＝2∠A＝160° 故第一個空應(yīng)填160°。 又∵在△ABC中，∠A＝80° ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100° 又∵ ∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130° 故第二個空填130°。 點撥：本章重點應(yīng)用了三角形內(nèi)切圓的有關(guān)定理，構(gòu)造三角形解題，是一道較好的題。
例5. 已知：如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于D，交BC于E，則
解：連結(jié)CD，在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠A＝65° ∵CA＝CD ∴∠CDA＝∠A＝65° ∴∠ACD＝180°－2×65°＝50° ∴∠DCE＝90°－50°＝40° ∴ 點撥：本題應(yīng)用的知識點比較多，要頭腦清醒，綜合各知識點，靈活運用。
例6. 已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，D、E在BC邊上，且BD＝CE，∠1＝∠2。 求證：AB＝AC
點悟：要證AB＝AC，由題知，不能直接證出，故需添加輔助線，而由圓周角∠1＝∠2，想到了作∠1、∠2的對弧，構(gòu)造弦等、弧等的條件。 證明：分別延長AD、AE，它們分別交⊙O于F、G，連結(jié)BF、CG ∵∠1＝∠2 ∴ ∴BF＝CG， ∴∠FBC＝∠GCE ∴△BFD≌△CGE ∴∠F＝∠G， ∴AB＝AC 點撥：在圓中有相等的圓周角時常作它們所對的弧和弦，利用在圓周或等圓中相等的圓周角所對的弧相等以及圓心角、弦、弦心距之間關(guān)系定理證題。
例7. 如圖所示，銳角△ABC內(nèi)接于圓O，∠BAC＝60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直徑。 求證：
證明：連結(jié)AD、CD、CH ∵BD是⊙O的直徑 ∴∠BAD＝∠BCD＝90° 又∵∠BAC＝60° ∴∠CAD＝30° ∴∠DBC＝∠CAD＝30° 在Rt△BCD中，得： ∵H是△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，CH⊥AB 又∵DC⊥BC，DA⊥AB ∴AH∥DC，AD∥HC ∴四邊形AHCD是平行四邊形 ∴AH＝CD 點撥：要學(xué)會使用學(xué)過的知識解決有關(guān)圓的問題，本題很典型。
例8. 如圖所示，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝130°，則∠BOD的度數(shù)是____________。 （2002年陜西）
解：∵∠BCD＋∠BAD＝180° 又∠BCD＝130° ∴∠BAD＝180°－130°＝50° ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×50°＝100° 常見錯誤：一是計算錯誤，二是將∠BAD誤認(rèn)為是∠BOD而產(chǎn)生錯誤。
例9. 如圖所示，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D， （1）求證：AE＝BE； （2）若A、F把半圓三等分，BC＝12，求AE的長。 （1999年江西）
解：（1）如圖，連結(jié)AC
∵∠ACB＋∠ABC＝90° ∠BAD＋∠ABD＝90° ∴∠ACB＝∠BAD ∴∠ACB＝∠ABF ∴∠BAE＝∠ABE ∴AE＝BE （2）連結(jié)AO ∵OA＝OB，∠ABO＝60° ∴△AOB為正三角形 ∵AD⊥BO，∴D為BO中點 在 常見錯誤：解此類題時，常見錯誤與上題類似。一是不會正確應(yīng)用圓的性質(zhì)；二是不會正確應(yīng)用解直角三角形知識解題；三是不會應(yīng)用正三角形知識。只有正確運用知識才能得解。
例10. ⊙O和⊙O'交于A、B兩點，過B的直線分別交⊙O和⊙O'于點C、D，G是兩圓外一點，GC、GD分別交⊙O和⊙O'于點E、F。 求證：∠EAF＝∠C＋∠D 證明1：如圖，連結(jié)AB
∵四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O ∴∠GEA＝∠ABC 同理，∠GFA＝∠ABD ∴∠GEA＋∠GFA＝∠ABC＋∠ABD＝180° ∴∠G＋∠EAF＝180° ∵∠G＋∠C＋∠D＝180° ∴∠EAF＝∠C＋∠D 證明2：如圖所示，連結(jié)BA并延長交GD或DG延長線于M
∵四邊形ABCE、四邊形ABDF分別內(nèi)接于⊙O和⊙O' ∴∠MAE＝∠C，∠MAF＝∠D ∴∠EAF＝∠MAE＋∠MAF＝∠C＋∠D 點撥：本題利用“圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角”證題，注意這種轉(zhuǎn)換。
例11. 如圖所示，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與△ABC外接⊙O交于點D，N為BC延長線上一點，且CN＝CD，DN交⊙O于點M。 求證：（1）DB＝DC （2）
點悟：（1）由于DB與DC是同一三角形的兩邊，要證二者相等就應(yīng)先證明它們的對角相等，這可由圓周角定理與圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)得到；（2）欲證乘積式 證明：（1）∵AD平分∠EAC ∴∠EAD＝∠DAC＝∠DBC 又ABCD內(nèi)接于⊙O ∴∠EAD＝∠DCB 故∠DBC＝∠DCB ∴DB＝DC （2）∵∠DMC＝180°－∠DBC＝180°－∠DCB＝∠DCN， 且∠CDM＝∠NDC ∴△DMC∽△DCN 故 點撥：本題重在考查圓周角與圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)和利用相似三角形證明比例線段的基本思維方法。本題曾是1996年南昌市中考試題。
例12. 如圖所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB與DC，AD與BC分別相交于圓外一點M、N。 求證：BM∶MC＝DN∶NC
證明：連結(jié)AC、BD ∵∠BDC＝∠BAC，∠M＝∠M ∴△AMC∽△DMB ∴BM∶MC＝BD∶AC 同理，DN∶NC＝BD∶AC ∴BM∶MC＝DN∶NC 點撥：本題圖中有關(guān)比例線段問題，一般可通過相似證題，但本題做輔助線較難，要掌握幾種做輔助線的方法。
例13. 已知：如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，DE平分∠ADB交AB于E，過A、D、E的圓交BD于N。 求證：BN＝2AE
點悟：要證BN＝2AE，由已知有AB＝AC＝2AD，如能有 證明：連結(jié)EN ∵四邊形AEND是圓內(nèi)接四邊形 ∴∠BNE＝∠A 又∵∠ABD＝∠ABD ∴△BNE∽△BAD 又∵∠ADE＝∠NDE ∴AE＝EN ∴BN＝2AE
例14. 已知：如圖所示，⊙O的兩弦AB、CD相交于M，∠OMA＝∠OMD。 求證：AB＝CD
證明：過圓心O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F ∵∠OME＝∠OMF，OM＝OM ∴△OME≌△OMF ∴OE＝OF ∴AB＝CD 點撥：本題利用“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等”這一推論證明，因此，要熟記定理，靈活運用。 發(fā)散聯(lián)想：上例還有另一種證法，即先證O、E、M、F四點共圓，由∠OMA＝∠OMD，及OM＝OM，可得Rt△OME≌Rt△OMF，得OE＝OF，故AB＝CD。這就用了本節(jié)所學(xué)的知識。
例15. 如圖所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，AD＝DC，分別延長BA、CD交于點E，BF⊥EC，交EC的延長線于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的長。
點悟：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，只有尋找相似的直角三角形，列比例式（方程）求解。 解：連結(jié)OD、BD ∵AD＝DC， ∠ABC＝ ∴OD∥BC，有 ∵EA＝AO＝BO，BC＝12 ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O ∴∠EDA＝∠EBC 又∠E公用，∴△EDA∽△EBC 設(shè) 解得： ∵AB為⊙O的直徑 ∴∠ADB＝∠F＝90°
【模擬試題】（答題時間：45分鐘） 一. 選擇題。 1. 如圖，圓心角∠AOB＝120°，C、D、E是
A. OA＜DE B. DE＜OA C. DE＝OA D. 以上均不對 2. 在下列語句中，敘述正確的個數(shù)為（ ） ①相等的圓周角所對弧相等 ②同圓等圓中，同弦或等弦所對圓周角相等 ③一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形 ④等弧所對圓周角相等 A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 3. 在半徑等于7cm的圓內(nèi)有長為 A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120° 4. 下列命題中不正確的是（ ） A. 圓內(nèi)接平行四邊形是矩形 B. 圓內(nèi)接菱形是正方形 C. 圓內(nèi)接梯形是等腰梯形 D. 圓內(nèi)接矩形是正方形 5. 如圖，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 6. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)比可能是（ ） A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8 C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4 7. 圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于P，對角線AC、BD交于點Q，則圖中共有相似三角形（ ） A. 4對 B. 2對 C. 1對 D. 3對
二. 填空題。 8. 一弦分圓周為5∶7，這弦所對的兩圓周角分別為__________。 9. 如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，
10. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠A＝__________，
11. 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BCD＝80°，則∠BAC＝__________。 12. 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，則m＝__________，這個四邊形最大內(nèi)角是__________度，最小內(nèi)角__________度，對角線AC是⊙O的__________。
三. 解答題。 13. 已知：如圖，P是 求證：
14. 已知：如圖，⊙O和⊙O'交于A、B，過A引直線CD、EF，分別交兩圓于C、D、E、F，EC、DF的延長線交于P。 求證：∠P＋∠CBD＝180°
【試題答案】 一. 選擇題。 1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A 二. 填空題。 8. 105°和75° 9. 40°，120°，2 10. 60°，120°，120°，140°，100° 11. 50° 12. 3，120，60，直徑 三. 解答題。 13. 連結(jié)AC
∵P是 ∴ ∴∠PAB＝∠PCA 又∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCA 14. 連結(jié)AB，則∠E＝∠ABC
∵四邊形AFDB內(nèi)接于圓 ∴∠PFE＝∠ABD |
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