幾何：勾股定理及其逆定理

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

    代數(shù)：會(huì)求二次根式中字母的取值范圍；會(huì)利用二次根式的兩個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)解題。

    幾何：會(huì)用勾股定理逆定理判定直角三角形。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

  1. 重點(diǎn)：

    代數(shù)：求二次根式中字母的取值范圍，利用二次根式的兩個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)解題。

    幾何：利用勾股定理逆定理判定直角三角形。

  2. 難點(diǎn)：

    代數(shù)：根式中的被開(kāi)方數(shù)是分式的情況；簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用。

    幾何：勾股定理與其逆定理的綜合應(yīng)用。

［知識(shí)要點(diǎn)］

  1. 代數(shù)

  2. 幾何

    勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

    功能：已知三角形的三邊長(zhǎng)，來(lái)判定此三角形是否為直角三角形。

    方法：比較較小的兩邊長(zhǎng)的平方和與最大邊的平方

    若相等，則為直角三角形。

    若不等，則不為直角三角形。

【典型例題】

  例1. 當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：

    （1）；（2）；（3）

    （4）；（5）

    分析：二次根式有意義要求被開(kāi)方數(shù)大于或等于0。

    （1）要使有意義，需，即

    當(dāng)時(shí)，有意義。

    （2）要使有意義，需

    由<1>得：

    由<2>得：

    ∴當(dāng)時(shí)，有意義

    （3）要使有意義，需

    由<1>得：

    由<2>得：

    由<3>得：

    綜上，時(shí)，有意義。

    （4）要使有意義，需與均有意義

    即，

    ∴當(dāng)時(shí)，有意義

    （5）要使有意義，需，而x取任意值時(shí)，

    ∴當(dāng)x為任何值時(shí)，有意義

  例2. 把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式。

    （1）8                  （2）         （3）

    解：（1）

    （2）

    （3）

  例3. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。

    （1）                   （2）

    分析：（1）兩項(xiàng)，可看成平方差。

    （2）三項(xiàng)，可看成完全平方差。

    解：（1）

    （2）

  例4. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，AC＝6cm，MB＝2MC，求AB的長(zhǎng)。

    分析：題目中出現(xiàn)垂直平分線，要想到利用垂直平分線的性質(zhì)，所以連結(jié)AM，可得AM＝BM，又BM＝2MC，如果能求出BC長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，即可求出AB。

    解：連結(jié)AM

    ∵MN是AB的垂直平分線

    ∴AM＝BM（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

    設(shè)，則

    在中，

    在中，

  例5. 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是（n為自然數(shù)），試猜想△ABC是不是直角三角形。若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

    分析：已知三角形三邊長(zhǎng)，判定該三角形是否為直角三角形，只需判斷較小兩邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方。

    證明：

    又

    ∴△ABC為Rt△

  例6. 在△ABC中，若，高，求△ABC的周長(zhǎng)。

    分析：該題的關(guān)鍵是如何畫(huà)出符合條件的圖形，考察的是發(fā)散思維。

    解：若圖形如（1）

    在中，

    在中，

    ∴△ABC的周長(zhǎng)為

    若圖形如（2）

    在中，

    在中，

    ∴△ABC的周長(zhǎng)為

    綜上，△ABC的周長(zhǎng)為42或32。

【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）

一. 填空題。

  1. 已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為___________。

  2. 已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是16，底邊上的高是4，則它的底邊長(zhǎng)是___________。

  3. 將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是___________。

  4. 當(dāng)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x的取值范圍是___________。

二. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

    （1）

    （2）

三. 解答題。

    如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，AD⊥BC，求。

【試題答案】

一. 填空題。

  1. 5或

  2. 6

  3. 直角三角形

  4.

二.

    （1）

    （2）

三.