美國(guó)老師怎樣教數(shù)學(xué)

　　中國(guó)孩子在美國(guó)中小學(xué)“玩算術(shù)”是出了名的。
    我兒子礦礦在同班的美國(guó)小朋友只會(huì)掰手指算簡(jiǎn)單加減法時(shí)，已會(huì)多位數(shù)乘除法。老師問(wèn)：4＋3＝？大家還沒(méi)反應(yīng)，他答：4＋3＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美國(guó)孩子和家長(zhǎng)見(jiàn)到礦礦都豎拇指贊嘆“聰明！”我們當(dāng)然自以為是。在我眼里，美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)太淺，整個(gè)一個(gè)“磨洋工”。一年級(jí)時(shí)，我借來(lái)六年級(jí)的數(shù)學(xué)課本，礦礦一樣應(yīng)付自如。

　　第一學(xué)期結(jié)束后，我們向?qū)W校提出，能否讓礦礦插班到三年級(jí)上數(shù)學(xué)？我心里想，只要求上三年級(jí)，已經(jīng)很謙虛了。誰(shuí)知，在我們很“謙虛”地提出讓礦礦每星期跳級(jí)到三年級(jí)去上一節(jié)數(shù)學(xué)課時(shí)，美國(guó)學(xué)校竟然不同意，并指出：礦礦擅長(zhǎng)的是中國(guó)學(xué)校教的“算術(shù)”技巧，美國(guó)學(xué)校教的則是“數(shù)學(xué)”……

　　讀了那封礦礦的老師代表校長(zhǎng)和學(xué)區(qū)（相當(dāng)于國(guó)內(nèi)的教育局）寫(xiě)的信，我們非常不服氣，不屑地扔到一邊。直到后來(lái)對(duì)美國(guó)教育有更多了解時(shí)，我才重新冷靜地閱讀了這封信（節(jié)錄）：

　　關(guān)于礦礦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題，我已和校長(zhǎng)羅伯特博士說(shuō)過(guò)了。她也跟學(xué)區(qū)主管教學(xué)和課程的助理督導(dǎo)邁克·威廉斯博士談了……

　　附上一年級(jí)數(shù)學(xué)課15個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)……我們更強(qiáng)調(diào)的是孩子對(duì)那些隱藏在數(shù)學(xué)后面的概念的理解，從而在口頭上和書(shū)寫(xiě)中能夠運(yùn)用他們所學(xué)的東西進(jìn)行交流，而不是對(duì)算術(shù)的死記硬背。我們的目標(biāo)是培養(yǎng)孩子成為解決問(wèn)題的能手，學(xué)會(huì)思考，讓孩子把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學(xué)。我們的課程是讓孩子積極參與到學(xué)習(xí)中，通過(guò)循序漸進(jìn)、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)去學(xué)習(xí)具體的操作計(jì)算。礦礦在中國(guó)學(xué)校學(xué)到的一些算術(shù)技巧，例如乘法和除法，對(duì)美國(guó)一年級(jí)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，不是循序漸進(jìn)的適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)。我們運(yùn)用的是絕對(duì)具有乘除法功能的組合法教學(xué)，從而使孩子在記住計(jì)算的數(shù)字之前已能理解乘除法的實(shí)際意義。

　　礦礦當(dāng)然是一個(gè)具有計(jì)算技巧的優(yōu)秀學(xué)生。然而，算術(shù)僅僅是整個(gè)數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)部分。我們?cè)跀?shù)學(xué)課里，會(huì)運(yùn)用許多教學(xué)活動(dòng)來(lái)挑戰(zhàn)礦礦的思維，從而也對(duì)他本身形成一種挑戰(zhàn)。

　　我們覺(jué)得，派一個(gè)邁阿密大學(xué)的在校生一對(duì)一地幫礦礦，將比到三年級(jí)上數(shù)學(xué)更適當(dāng)。如果你們想借三年級(jí)的數(shù)學(xué)教材在家里使用，我將樂(lè)意作出安排……

　　重讀此信，我多了一份思考：這封信非常講究遣詞造句。比如，在講到礦礦及中國(guó)學(xué)校時(shí)，她始終用“算術(shù)”這個(gè)概念，而說(shuō)到美國(guó)學(xué)校時(shí)，她都說(shuō)“數(shù)學(xué)”。所謂“算術(shù)”，計(jì)“算”之技“術(shù)”也，似屬雕蟲(chóng)小技。數(shù)學(xué)，是關(guān)于“數(shù)”的學(xué)問(wèn)，是研究符號(hào)和數(shù)字之間的關(guān)系，以及如何用這些符號(hào)和數(shù)字來(lái)解釋世間與之有關(guān)的現(xiàn)象。因此，數(shù)學(xué)是學(xué)術(shù)中的極品。

　　到底美國(guó)小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是“磨洋工”，抑或是我們把數(shù)學(xué)這門(mén)大學(xué)問(wèn)當(dāng)成了計(jì)算的技巧？我在潛心研究美國(guó)教育時(shí)，終于有了一些感悟。比如關(guān)于《雞兔同籠》的計(jì)算：

　　籠里有5個(gè)頭和14只腳，一共幾只兔幾只雞？在許多人眼里，這完全是一個(gè)計(jì)算問(wèn)題。設(shè)兔為X，雞為Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。

　　到底我們?cè)摪阉醋魉阈g(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)？讓我們來(lái)看美國(guó)的數(shù)學(xué)教育是怎樣處理類(lèi)似問(wèn)題的：

　　某個(gè)住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子。某天，老人看到5個(gè)頭和14只腳。老人看到的是多少條狗？多少只鴨？

　　老師：能不能找到解決問(wèn)題的方法？

　　學(xué)生們紛紛要求回答問(wèn)題。

　　學(xué)生A：要找到答案并不難，只要兩個(gè)公式：一個(gè)解決腳的問(wèn)題，另一個(gè)解決頭的問(wèn)題……

　　老師制止學(xué)生A繼續(xù)往下講，說(shuō)道：“很好！誰(shuí)來(lái)設(shè)計(jì)這兩個(gè)公式？”

　　學(xué)生B：設(shè)狗為X，設(shè)鴨為Y；4(x)+2(y)=14。

　　學(xué)生C寫(xiě)道：x+y=5。

　　老師：這兩個(gè)公式對(duì)不對(duì)？

　　學(xué)生七嘴八舌：“對(duì)啦！”

　　老師：現(xiàn)在我們不要去計(jì)算答案。我們按照這兩個(gè)公式來(lái)推理，看看答案是否合理……

　　大家你望我，我望你。不讓計(jì)算，卻去猜答案。老師葫蘆里賣(mài)的什么藥？

　　老師：犯愁了？不錯(cuò)！我們現(xiàn)在不打算去計(jì)算準(zhǔn)確的答案，我們只是去猜測(cè)大致的答案。

　　學(xué)生仍然丈二和尚摸不著頭腦……

　　老師：既然你們不回答，那我就來(lái)問(wèn)你們，5條狗和4只鴨，對(duì)不對(duì)？

　　學(xué)生哄然：不對(duì)！5條狗和4只鴨，一共是9個(gè)頭，老人只看到5個(gè)頭。

　　老師：那么，誰(shuí)能告訴我，狗腳和鴨腳的數(shù)目？

　　學(xué)生們又是你望我，我望你，不知所措……

　　老師：如果我告訴你們，狗不少于4條。你們認(rèn)為怎么樣？

　　學(xué)生B：不對(duì)，請(qǐng)看看我設(shè)計(jì)的公式：腳的總數(shù)是14，而4條狗就有16條腿。除非老人喝醉了，把自己的腳也數(shù)進(jìn)去了！

　　哄堂大笑！

　　老師：非常好！那能不能是3條狗呢？

　　學(xué)生們陷入思考……

　　學(xué)生C：那也不對(duì)！

　　老師很感興趣地問(wèn)：“為什么？”

　　學(xué)生C：除非有1只鴨子，少了兩條腿。您看我設(shè)計(jì)的公式，總共有5個(gè)頭。3條狗有12只腳。要符合5個(gè)頭，14只腳的條件，就只剩兩個(gè)鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨沒(méi)有腳……

　　又是一陣哄堂大笑！

　　老師：好吧，讓我們假設(shè)所有的狗和鴨子都是進(jìn)化完整的，沒(méi)有缺胳膊少腿的。那么，該有多少只鴨子呢？

　　學(xué)生再?zèng)]有像前面那樣沉默，而是議論紛紛。

　　學(xué)生D：不管怎么說(shuō)，前提是不能超過(guò)5個(gè)頭，14只腳。

　　老師：如果狗少于3只，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？

　　學(xué)生E：這就是說(shuō)，鴨子必須是3只以上。因?yàn)?，頭的總數(shù)是5個(gè)，狗少于3只，鴨子沒(méi)有3只以上湊不夠5只。

　　老師：有道理。狗只能少于3只，鴨不能少于3只。那么，我們應(yīng)該尋找的下一個(gè)線(xiàn)索是什么呢？

　　學(xué)生思索……

　　老師：如果是3只鴨子，鴨腳應(yīng)該是……

　　學(xué)生們：6只鴨腳。

　　老師：對(duì)！如果是3只鴨子，6只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？

　　學(xué)生A：如果狗腳不能多于12只，這就是說(shuō)，狗不能多于3條，鴨子至少得有3只才能湊夠5個(gè)頭。3只鴨，鴨腳就是6只。于是，狗只能是2條，狗腳……

　　老師高興地大笑：“好！不要往下說(shuō)了。請(qǐng)大家用公式計(jì)算吧?！?BR>
　　到了這一步，再用公式計(jì)算，簡(jiǎn)直是吃豆腐：狗是2條，鴨是3只。

　　學(xué)生B有些不太高興：“老師，看到您那么高興，我倒有些費(fèi)解了。這2條狗、3只鴨的答案，我們推理來(lái)推理去，花了快一節(jié)課的時(shí)間。其實(shí)，一開(kāi)始就讓我們拿公式來(lái)算，早就該做完了……”

　　老師微笑著點(diǎn)頭：“你提出了一個(gè)非常好的問(wèn)題，甚至超過(guò)了‘2條狗，3只鴨’的答案。請(qǐng)大家想一想，為什么我們沒(méi)有一開(kāi)始就用公式來(lái)計(jì)算，而是花了一節(jié)課的時(shí)間來(lái)走完整個(gè)推理的過(guò)程？”

　　學(xué)生E：我們浪費(fèi)了不少時(shí)間去推論那些不正確的答案。

　　學(xué)生C：我不同意“浪費(fèi)”的說(shuō)法。有時(shí)候，你不能證實(shí)一個(gè)答案是錯(cuò)的，你就不能證實(shí)另一個(gè)答案是對(duì)的。

　　學(xué)生F：但是，值不值得花那么多時(shí)間？

　　學(xué)生們七嘴八舌……

　　老師會(huì)心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學(xué)課不是算術(shù)，更不是用一個(gè)似懂非懂的公式去計(jì)算一個(gè)只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你做什么？怎么做？我們充其量像個(gè)計(jì)算器。要真正理解：為什么這么做是對(duì)的？為什么那么做是不對(duì)的？問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了。就像知道點(diǎn)擊電腦的什么鍵，電腦會(huì)怎么反應(yīng)一樣，那是電腦操作員的工作。只有理解：為什么點(diǎn)擊電腦的這里會(huì)產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果？為什么點(diǎn)擊那里會(huì)產(chǎn)生那個(gè)結(jié)果？那才能成為電腦程序員。我們要的是通過(guò)演繹推理和歸納推理來(lái)證實(shí)和證偽某些答案，以及在這個(gè)過(guò)程中所培養(yǎng)和鍛煉的推理能力。”

　　數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式

　　其實(shí)，美國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)是在企圖回答學(xué)數(shù)學(xué)的目的問(wèn)題：數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算和應(yīng)用公式。數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種思維方式，是演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式。對(duì)許多美國(guó)人來(lái)說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)并不一定是目的，而是通過(guò)學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)培養(yǎng)自己的能力。同時(shí)，通過(guò)學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)理解世界、理解世間與之有關(guān)的各種現(xiàn)象。

　　許多美國(guó)人相信，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是掌握一種思維方式，是一種解釋世間許多現(xiàn)象的工具，是訓(xùn)練思維能力的手段。

　　我到過(guò)國(guó)內(nèi)不少地方聽(tīng)數(shù)學(xué)課，情況卻剛好相反。老師總是“趕集”式地、急急忙忙地直奔最簡(jiǎn)單的方式和答案。有一次，我到某重點(diǎn)小學(xué)去聽(tīng)數(shù)學(xué)課，老師踩著步點(diǎn)趕時(shí)間，課上得似乎挺活，但只給答對(duì)問(wèn)題的學(xué)生一顆糖，答不對(duì)的，不給糖。沒(méi)得到糖的孩子，心思都在別人的糖上。更要命的是，老師也不解釋為什么不對(duì)。

　　課后，我問(wèn)老師，為什么不向?qū)W生解釋錯(cuò)的原因？這位年輕的老師很不好意思，但又頗有些理直氣壯地說(shuō)：“根據(jù)教學(xué)大綱的進(jìn)度，時(shí)間不夠?！蔽医ㄗh道：能不能在課后，由知道的同學(xué)給不知道的同學(xué)解釋為什么錯(cuò)。后來(lái)，她給我來(lái)電話(huà)，說(shuō)是我的建議收到了很好的效果。

　　我發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)的一些老師總是爭(zhēng)分奪秒地“趕”教學(xué)內(nèi)容，像上了發(fā)條似地踩著步點(diǎn)上課，“好”的老師可以按照設(shè)計(jì)好的教案在剛講完課、對(duì)學(xué)生說(shuō)“下課”時(shí)，鈴聲正好響起。已經(jīng)有好幾個(gè)美國(guó)老師跟我說(shuō)到這種讓他們嘆為觀止的現(xiàn)象：“怎么上課可以像發(fā)射宇宙飛船一樣精確？好像遙控一樣?！逼鋵?shí)，“以老師為中心”和“以?xún)?nèi)容為中心”的教學(xué)，是完全可以做到的。該講的內(nèi)容講完了，至于結(jié)果怎么樣就無(wú)法顧及了。正像美國(guó)老師無(wú)法理解中國(guó)老師可以踩點(diǎn)下課一樣，中國(guó)老師在聽(tīng)了我介紹美國(guó)的教學(xué)以后，也搖著頭說(shuō)：“好是好啦，可是他們?cè)趺茨芡瓿山虒W(xué)內(nèi)容呢？”

　　然而，只講已知的正確的東西，忽略讓學(xué)生去證實(shí)或證偽自己的假設(shè)，就是忽略了學(xué)生的懷疑精神的培養(yǎng)。鼓勵(lì)學(xué)生去證實(shí)或證偽某個(gè)假設(shè)，強(qiáng)調(diào)的是自我教育。上面那位美國(guó)老師，通過(guò)證實(shí)和證偽的過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生演繹推理和歸納推理的能力，可謂用心良苦！

　　“聰明”的孩子與“智慧”的學(xué)生

　　為什么年齡越小時(shí)，中國(guó)孩子領(lǐng)先美國(guó)孩子越多，隨著年齡的增長(zhǎng)這種差距卻越來(lái)越小，到高中以后，中國(guó)孩子與優(yōu)秀的美國(guó)孩子就基本沒(méi)有差距了？

　　經(jīng)過(guò)多年的觀察與研究，我發(fā)現(xiàn)，中國(guó)教育培養(yǎng)的是聰明的孩子，美國(guó)教育培養(yǎng)的是智慧的學(xué)生。聰明的孩子和智慧的孩子有什么本質(zhì)的區(qū)別？

　　我們以“西安事變”的教學(xué)為例子，可清晰地看出兩者的巨大差別：

　　中國(guó)的大多數(shù)學(xué)校，老師講完史實(shí)后，要求學(xué)生記時(shí)間、地點(diǎn)、人物、事件等，以“學(xué)會(huì)”為目的，滿(mǎn)足于考試結(jié)果。

　　美國(guó)的教育則是八仙過(guò)海：比如，可能什么都不教，讓孩子們分成幾組，分別制做一份當(dāng)時(shí)各黨各派報(bào)紙，或者只給幾個(gè)辯論題，讓孩子組成正反方進(jìn)行辯論。即便是常規(guī)教學(xué)，老師也會(huì)啟發(fā)孩子的發(fā)散性思維：如果蔣不妥協(xié)？如果張、楊不和共產(chǎn)黨合作？如果張、楊把蔣處死？如果蔣逃出西安……甚至讓學(xué)生自己設(shè)想發(fā)散性的問(wèn)題。無(wú)論哪種方式，學(xué)生都在收集材料、研究材料、組織觀點(diǎn)的過(guò)程中，培養(yǎng)了“會(huì)學(xué)”的能力。

　　美國(guó)學(xué)者賈尼絲·薩博把培養(yǎng)“聰明的孩子”還是培養(yǎng)“智慧的學(xué)生”概括為兩種教育：

　　  聰明的孩子　　智慧的學(xué)生

　　1.能夠知道答案　1.能夠提出問(wèn)題

　　2.帶著興趣去聽(tīng)　2.表達(dá)有力的觀點(diǎn)

　　3.能理解他人的意思3.能抽象概括

　　4.能抓住要領(lǐng)　4.能演繹推理

　　5.完成作業(yè)　　5.尋找課題

　　6.樂(lè)于接受　　6.長(zhǎng)于出擊

　　7.吸收知識(shí)　　7.運(yùn)用知識(shí)

　　8.善于操作　　8.善于發(fā)明

　　9.長(zhǎng)于記憶　　9.長(zhǎng)于猜想

　　10.喜歡自己學(xué)習(xí)　　10.善于反思

　　從很多教學(xué)的比較看，中國(guó)教育培養(yǎng)的學(xué)生包攬了“聰明的孩子”的所有特點(diǎn)；美國(guó)教育培養(yǎng)的學(xué)生囊括了“智慧的學(xué)生”的所有表現(xiàn)。