第十二章    圓

考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念    （3分）
    1、圓的定義
在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。
2、圓的幾何表示
以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”
考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義    （3分）
    （1）弦
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）
（2）直徑
經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）
直徑等于半徑的2倍。
（3）半圓
圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
（4）弧、優(yōu)弧、劣弧
圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。
弧用符號(hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。
大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）
考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論    （3分）
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
垂徑定理及其推論可概括為：
       過(guò)圓心
       垂直于弦
直徑   平分弦             知二推三
       平分弦所對(duì)的優(yōu)弧
       平分弦所對(duì)的劣弧
考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱性    （3分）
1、圓的軸對(duì)稱性
圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。
    2、圓的中心對(duì)稱性
    圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。
考點(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理    （3分）
    1、圓心角
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
2、弦心距
從圓心到弦的距離叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
考點(diǎn)六、圓周角定理及其推論    （3~8分）
    1、圓周角
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
2、圓周角定理
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考點(diǎn)七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系    （3分）
設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：
d<r 點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；
d=r 點(diǎn)P在⊙O上；
d>r 點(diǎn)P在⊙O外。
考點(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓    （3分）
    1、過(guò)三點(diǎn)的圓
不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
2、三角形的外接圓
經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。
3、三角形的外心
三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。
4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）
    圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。
考點(diǎn)九、反證法    （3分）
先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過(guò)推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
考點(diǎn)十、直線與圓的位置關(guān)系    （3~5分）
直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：
（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；
（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，
（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：
直線l與⊙O相交 d<r；
直線l與⊙O相切 d=r；
直線l與⊙O相離 d>r；
考點(diǎn)十一、切線的判定和性質(zhì)    （3~8分）
    1、切線的判定定理
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
2、切線的性質(zhì)定理
圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
考點(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理    （3分）
    1、切線長(zhǎng)
在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
2、切線長(zhǎng)定理
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
考點(diǎn)十三、三角形的內(nèi)切圓    （3~8分）
    1、三角形的內(nèi)切圓
與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。
2、三角形的內(nèi)心
三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。
考點(diǎn)十四、圓和圓的位置關(guān)系    （3分）
    1、圓和圓的位置關(guān)系
如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。
如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。
如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。
2、圓心距
兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。
3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定
設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么
兩圓外離 d>R+r
兩圓外切 d=R+r
兩圓相交 R-r<d<R+r（R≥r）
兩圓內(nèi)切 d=R-r（R>r）
兩圓內(nèi)含 d<R-r（R>r）
4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)
如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
考點(diǎn)十五、正多邊形和圓    （3分）
    1、正多邊形的定義
各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
2、正多邊形和圓的關(guān)系
只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。
考點(diǎn)十六、與正多邊形有關(guān)的概念    （3分）
    1、正多邊形的中心
正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。
2、正多邊形的半徑
正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。
3、正多邊形的邊心距
正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。
4、中心角
正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。
考點(diǎn)十七、正多邊形的對(duì)稱性    （3分）
    1、正多邊形的軸對(duì)稱性
正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心。
2、正多邊形的中心對(duì)稱性
邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。
3、正多邊形的畫法
先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。
考點(diǎn)十八、弧長(zhǎng)和扇形面積    （3~8分）
    1、弧長(zhǎng)公式
n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為
2、扇形面積公式
 
其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)。
3、圓錐的側(cè)面積
 
其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑。
補(bǔ)充：（此處為大綱要求外的知識(shí)，但對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生智力，改善學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式有很大幫助）
1、相交弦定理
⊙O中，弦AB與弦CD相交與點(diǎn)E，則AE BE=CE DE

2、弦切角定理
弦切角：圓的切線與經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的弦所夾的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對(duì)的圓周角。
即：∠BAC=∠ADC

3、切割線定理
PA為⊙O切線，PBC為⊙O割線，
則

第十二章    圓

考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念    （3分）
    1、圓的定義
在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。
2、圓的幾何表示
以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”
考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義    （3分）
    （1）弦
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）
（2）直徑
經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）
直徑等于半徑的2倍。
（3）半圓
圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
（4）弧、優(yōu)弧、劣弧
圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。
弧用符號(hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。
大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）
考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論    （3分）
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
垂徑定理及其推論可概括為：
       過(guò)圓心
       垂直于弦
直徑   平分弦             知二推三
       平分弦所對(duì)的優(yōu)弧
       平分弦所對(duì)的劣弧
考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱性    （3分）
1、圓的軸對(duì)稱性
圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。
    2、圓的中心對(duì)稱性
    圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。
考點(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理    （3分）
    1、圓心角
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
2、弦心距
從圓心到弦的距離叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
考點(diǎn)六、圓周角定理及其推論    （3~8分）
    1、圓周角
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
2、圓周角定理
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考點(diǎn)七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系    （3分）
設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：
d<r 點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；
d=r 點(diǎn)P在⊙O上；
d>r 點(diǎn)P在⊙O外。
考點(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓    （3分）
    1、過(guò)三點(diǎn)的圓
不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
2、三角形的外接圓
經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。
3、三角形的外心
三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。
4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）
    圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。
考點(diǎn)九、反證法    （3分）
先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過(guò)推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
考點(diǎn)十、直線與圓的位置關(guān)系    （3~5分）
直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：
（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；
（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，
（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：
直線l與⊙O相交 d<r；
直線l與⊙O相切 d=r；
直線l與⊙O相離 d>r；
考點(diǎn)十一、切線的判定和性質(zhì)    （3~8分）
    1、切線的判定定理
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
2、切線的性質(zhì)定理
圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
考點(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理    （3分）
    1、切線長(zhǎng)
在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
2、切線長(zhǎng)定理
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
考點(diǎn)十三、三角形的內(nèi)切圓    （3~8分）
    1、三角形的內(nèi)切圓
與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。
2、三角形的內(nèi)心
三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。
考點(diǎn)十四、圓和圓的位置關(guān)系    （3分）
    1、圓和圓的位置關(guān)系
如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。
如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。
如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。
2、圓心距
兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。
3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定
設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么
兩圓外離 d>R+r
兩圓外切 d=R+r
兩圓相交 R-r<d<R+r（R≥r）
兩圓內(nèi)切 d=R-r（R>r）
兩圓內(nèi)含 d<R-r（R>r）
4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)
如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
考點(diǎn)十五、正多邊形和圓    （3分）
    1、正多邊形的定義
各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
2、正多邊形和圓的關(guān)系
只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。
考點(diǎn)十六、與正多邊形有關(guān)的概念    （3分）
    1、正多邊形的中心
正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。
2、正多邊形的半徑
正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。
3、正多邊形的邊心距
正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。
4、中心角
正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。
考點(diǎn)十七、正多邊形的對(duì)稱性    （3分）
    1、正多邊形的軸對(duì)稱性
正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心。
2、正多邊形的中心對(duì)稱性
邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。
3、正多邊形的畫法
先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。
考點(diǎn)十八、弧長(zhǎng)和扇形面積    （3~8分）
    1、弧長(zhǎng)公式
n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為
2、扇形面積公式
 
其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)。
3、圓錐的側(cè)面積
 
其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑。
補(bǔ)充：（此處為大綱要求外的知識(shí)，但對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生智力，改善學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式有很大幫助）
1、相交弦定理
⊙O中，弦AB與弦CD相交與點(diǎn)E，則AE BE=CE DE

2、弦切角定理
弦切角：圓的切線與經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的弦所夾的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對(duì)的圓周角。
即：∠BAC=∠ADC

3、切割線定理
PA為⊙O切線，PBC為⊙O割線，
則