配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；

a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；

a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]

a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；

x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{a }中，a sa +2a sa +a ?a =25，則 a ＋a ＝_______。

2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。

    A. <k<1       B. k< 或k>1      C. k∈R       D. k＝ 或k＝1

3. 已知sin α＋cos α＝1，則sinα＋cosα的值為______。

    A. 1             B.  －1           C. 1或－1     D. 0

4. 函數(shù)y＝log  (－2x ＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。

    A. （－∞, ]    B.  [ ,+∞)      C.  (－ , ]   D. [ ,3)

5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的兩根x 、x ，則點(diǎn)P(x ,x )在圓x +y =4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。

【簡解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a a ＝a ，將已知等式左邊后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。 

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3－ 。

Ⅱ、示范性題組：

例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個(gè)長方體的一條對(duì)角線長為_____。

    A. 2           B.           C. 5             D.  6

【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，則  ,而欲求對(duì)角線長 ，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得： 。

長方體所求對(duì)角線長為： ＝ ＝ ＝5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2. 設(shè)方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥  。

又 ∵p、q為方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴  △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2

綜合起來，k的取值范圍是：－ ≤k≤－  或者 ≤k≤ 。

【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( )  。

【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為( ) ＋( )＋1＝0，則 ＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b) ＝ab 。則代入所求式即得。

【解】由a ＋ab＋b =0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，

設(shè)ω＝ ，則ω ＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。

又由a ＋ab＋b =0變形得：(a＋b) ＝ab ，

所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。

【注】 本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

【另解】由a ＋ab＋b ＝0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式( ) ＋( ) 后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未 聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時(shí)，還可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.     函數(shù)y＝(x－a) ＋(x－b)   （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。

A.  8      B.       C.       D.最小值不存在

2.     α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1)  +(β-1) 的最小值是_____。

A.  －     B.  8     C. 18    D.不存在

3.     已知x、y∈R ，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2 ＋8 有_____。

A.最大值2     B.最大值      C.最小值2     B.最小值

4.     橢圓x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。

A.  2         B.  －6       C. －2或－6      D.  2或6

5.     化簡：2 ＋ 的結(jié)果是_____。

A.  2sin4     B.  2sin4－4cos4     C.  －2sin4     D.  4cos4－2sin4

6. 設(shè)F 和F 為雙曲線 －y ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F PF ＝90°，則△F PF 的面積是_________。

7. 若x>－1，則f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值為___________。

8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年高考題)

9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax ＋Bx＋C，給定m、n（m<n）,且滿足A [(m+n) + m n ]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B ＋C ＝0 。 

①  解不等式f(x)>0；

② 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。

10. 設(shè)s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),

①  將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；

②  若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。