【內(nèi)容摘要】在新課程改革逐步深化的背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，是我們一線教師面臨的必須解決的問題。幾何畫板這個(gè)數(shù)學(xué)工具軟件已逐漸被數(shù)學(xué)教師所認(rèn)識(shí)，也正在被應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何利用幾何畫板開展數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)兀勘疚木蛷某踔袛?shù)學(xué)的函數(shù)、圖形變換、平面幾何的教學(xué)和數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)解題的教學(xué)等方面來談?wù)剮缀萎嫲逶诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與嘗試?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板   初中數(shù)學(xué)教學(xué)     應(yīng)用嘗試在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，知識(shí)的掌握、難點(diǎn)的突破，總是靠教師機(jī)械反復(fù)地講，學(xué)生機(jī)械反復(fù)地練，這樣就導(dǎo)致了學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中總是在反復(fù)地識(shí)記、反復(fù)地再認(rèn)和保持，這樣很難培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。那么要改變這種教學(xué)的狀況，方法之一，就是借助信息技術(shù)，再找一個(gè)適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)――幾何畫板。“幾何畫板”是Windows環(huán)境下的一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)工具軟件。它提供了畫點(diǎn)、畫線（線段、射線、直線）、畫圓（正圓）的工具，以及旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能。幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動(dòng)手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律，從而打破了千百年來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一支筆一張紙的純理論局面，成為提倡數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營造一種動(dòng)態(tài)、開放、新型的教學(xué)環(huán)境。本文筆者就談?wù)剮缀萎嫲逶诔踔袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中的簡單應(yīng)用。

一、幾何畫板在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用幾何畫板為實(shí)現(xiàn)函數(shù)圖象、圖形的動(dòng)態(tài)變化的全息化，為全方位揭示問題的實(shí)質(zhì)提供了可能。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里，函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。這部分內(nèi)容理論性強(qiáng)，比較抽象，難度較大。例如：學(xué)習(xí)一次函數(shù)：y=kx+b，要了解函數(shù)圖像隨著k，b的值的變化而變化的情況，是有一定難度的。在傳統(tǒng)教學(xué)方式中，要取不同的k、b的值，然后列表在黑板上畫出多個(gè)不同的一次函數(shù)圖像，再進(jìn)行觀察比較。整個(gè)過程十分繁瑣，教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計(jì)算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結(jié)論上，整個(gè)過程顯得不夠直觀，重點(diǎn)不突出，效率和效果不佳,如k和b的變化對(duì)函數(shù)的影響，函數(shù)值隨著自變量的變化而變化沒法直觀演示，學(xué)生往往一知半解，容易造成學(xué)生的厭學(xué)，更不用說培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。與之相比，借助于電腦，利用《幾何畫板》這個(gè)動(dòng)態(tài)幾何軟件，可以很方便地畫出一次函數(shù)y=kx+b的圖像（如圖1），并且可以把k和b設(shè)置為動(dòng)態(tài)參數(shù)，k和b在這里實(shí)際上分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，只要拖動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B就能改變k和b的值，y=kx+b的圖像同時(shí)隨之發(fā)生改變，通過觀察函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生很容易得出參數(shù)k和b對(duì)函數(shù)圖像的影響，整個(gè)過程直觀形象，容易理解，印象深刻。同樣，只要拖動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)通過幾何畫板的度量功能自動(dòng)顯示出來，學(xué)生容易接受函數(shù)值y隨著自變量x的變化而增大或減小。更為重要的是學(xué)生學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看問題，這一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，特別是對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)是十分重要的。同樣，對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像性質(zhì)的研究也是一樣，二次函數(shù)的圖像更復(fù)雜，作圖也更繁瑣。因此，使用《幾何畫板》的優(yōu)越性更為明顯，通過動(dòng)態(tài)改變參數(shù)a、b、c的值，從圖像的變化中可以方便地得到拋物線的開口方向和大小是和a相關(guān)的，拋物線與y軸的交點(diǎn)是和c相關(guān)的，對(duì)稱軸的位置是和b相關(guān)的。而且如果有條件的話，可以把課堂從多媒體教室轉(zhuǎn)移到微機(jī)教室，讓每個(gè)學(xué)生都親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，改變?nèi)魏我粋€(gè)參數(shù)，通過觀察、比較、分析得出自己的結(jié)論，這樣的效果更理想，通過觀察函數(shù)圖像的變化，學(xué)生在互相討論、教師點(diǎn)撥指導(dǎo)等反饋中，得出自己的結(jié)論，逐漸形成自己的知識(shí)體系，達(dá)到知識(shí)的重建。這有利于學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)思維能力。這樣，把學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習(xí)中解脫出來，主動(dòng)地思考數(shù)學(xué)問題，真正體現(xiàn)了新課程的思想。

二、幾何畫板在圖形變換教學(xué)中的應(yīng)用 幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應(yīng)出這些特點(diǎn)。圖2是研究軸對(duì)稱變換（幾何畫板中稱為“反射變換”）的幾何畫板課件，△ABC和△A′B′C′關(guān)于y軸對(duì)稱。任意拖動(dòng)三角形ABC的頂點(diǎn)或邊上任取的點(diǎn)D，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段始終保持被對(duì)稱軸垂直平分，再觀察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等的特點(diǎn)。圖3是研究平移變換的幾何畫板課件，△A′B′C′是△ABC平移后的圖形。只要拖動(dòng)矢量點(diǎn)或三角形上的點(diǎn)，圖形中始終保持對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段平行且相等,四邊形AA′C′C始終是平行四邊形。再仔細(xì)觀察圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都一樣，縱坐標(biāo)的差也一樣，例如點(diǎn)A與A′的橫坐標(biāo)的差是3.07, 點(diǎn)B與B′的橫坐標(biāo)的差也是3.07； 點(diǎn)A與A′的縱坐標(biāo)的差是0.14, 點(diǎn)B與B′的縱坐標(biāo)的差也是0.14(取近似值后結(jié)果有時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些誤差)。而這些在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，在黑板上作圖，不僅畫變換圖形比較費(fèi)時(shí)枯燥，而且無法表達(dá)這種變化中的不變因素。因此，用幾何畫板來研究圖形的變換更有利于培養(yǎng)學(xué)生探究知識(shí)的興趣。如果把教學(xué)活動(dòng)移到微機(jī)教室進(jìn)行，讓每個(gè)學(xué)生親手實(shí)驗(yàn)，不斷改變?nèi)切位蛟瓐D形的形狀、大小和位置，學(xué)生就能看到變換后的圖形隨著原圖形的變化而變化，能更好地理解變換的本質(zhì)特征。而對(duì)每一點(diǎn)的坐標(biāo)的研究也觀察得更清晰，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和探究意識(shí)。

三、幾何畫板在平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用幾何畫板能動(dòng)態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點(diǎn)便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會(huì)因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在平行四邊形的教學(xué)中，平行四邊形與特殊的平行四邊形之間有必然的聯(lián)系，也有明顯的區(qū)別。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫板，則一目了然。在幾何畫板里，先畫一個(gè)平行四邊形ABCD，然后拖動(dòng)頂點(diǎn)C，改變它的形狀，從圖上方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AC和BD的長度在不斷變化，但AC和BD總是互相平分的，對(duì)邊的關(guān)系始終保持平行且相等（如圖4）。在圖4的基礎(chǔ)上，如果拖動(dòng)頂點(diǎn)C，當(dāng)∠DAB=90?時(shí)，其余三個(gè)角也同時(shí)變?yōu)?0?，這顯然是矩形，這時(shí)平行四邊形的對(duì)角線相等了，并且保持對(duì)角線互相平分。繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)C，使AD=AB，這時(shí)，AB=BC=CD=DA，顯然，四邊形ABCD是菱形，這時(shí)平行四邊形的對(duì)角線互相垂直了，并且依然保持對(duì)角線互相平分。在菱形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)C，使∠DAB=90?，這時(shí)，四邊形ABCD是正方形了，此時(shí)的對(duì)角線相等且互相垂直平分。通過上述的操作，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到從平行四邊形到正方形的變化過程，這比用木棒演示，黑板上畫更加直觀，而且木棒演示，黑板上畫不可能準(zhǔn)確快速測出各部分線段和角的值，因此不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，用幾何畫板來研究平行四邊形，能深刻理解矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形。如果放在微機(jī)教室上課，學(xué)生除按教師設(shè)定的目標(biāo)去完成外，學(xué)生往往能發(fā)現(xiàn)更多的東西，如過對(duì)角線交點(diǎn)任畫一條直線，被平行四邊形對(duì)邊（或延長線）截得的部分被對(duì)角線的交點(diǎn)平分。這樣，不知不覺中培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和問題解決的能力。其次，幾何畫板還被用于對(duì)平面幾何的變式教學(xué)，不僅增加教學(xué)容量，拓展學(xué)生的思路，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。如圖5，AB=AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE。求證：BD=CE。  對(duì)這個(gè)例題的教學(xué)，我用幾何畫板做了這樣一個(gè)課件，先畫一個(gè)等腰三角形，AB=AC，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)D，用“變換”工具把△ABD逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)。得到△AEC。當(dāng)完成對(duì)BD=CE的證明后，我提出：當(dāng)點(diǎn)D在△ABC邊上或外部時(shí)，其他條件不變，上面的結(jié)論還成立嗎？我一邊提問一邊拖動(dòng)點(diǎn)D，如圖6，這樣不僅增加了課堂教學(xué)的容量，增加了變式的速度，說到做到，又給人自然流暢，耳目一新的感覺。其實(shí)，如果我們深刻挖掘教材，會(huì)有許多這樣的例子，不用化多少時(shí)間，收到很好的效果。如在學(xué)習(xí)了角平分線性質(zhì)后，學(xué)生知道三角形的角平分線的交點(diǎn)到各邊的距離相等，如果把條件改為三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，那這點(diǎn)到三角形的各邊的距離相等嗎？可以先用幾何畫板演示，再讓學(xué)生來證明。

四、幾何畫板在數(shù)學(xué)活動(dòng)中被廣泛應(yīng)用人教版數(shù)學(xué)教材中，安排了許多關(guān)于 “信息技術(shù)應(yīng)用”的選學(xué)內(nèi)容， 如“探索兩直線的位置關(guān)系”、“用計(jì)算機(jī)畫函數(shù)圖像”、“探索反比例函數(shù)的性質(zhì)”等。教材中安排的一些“數(shù)學(xué)活動(dòng)”也可用幾何畫板來進(jìn)行，如在人教版數(shù)學(xué)教材八冊(cè)下第19章結(jié)束安排了一個(gè)“中點(diǎn)四邊形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)。中點(diǎn)四邊形是什么四邊形呢？我做了一個(gè)幾何畫板的課件（如圖7），任意畫一個(gè)四邊形，分別取各邊的中點(diǎn)，形成一個(gè)四邊形EFGH。分別讓幾何畫板測出原四邊形和中點(diǎn)四邊形的所有邊、角、對(duì)角線的值，以便于研究四邊形EFGH的形狀及其與原四邊形的關(guān)系。(1)拖動(dòng)四邊形ABCD的頂點(diǎn)C，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH始終是平行四邊形。我乘機(jī)提出：“為什么呢？你能證明你的結(jié)論嗎？”學(xué)生此時(shí)很興奮，馬上積極思考起來。(2)繼續(xù)拖動(dòng)四邊形ABCD的頂點(diǎn)C，當(dāng)拖動(dòng)到AC=BD時(shí)，問學(xué)生這是什么四邊形時(shí)，學(xué)生根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，馬上答出是矩形。“你的根據(jù)是什么？現(xiàn)在四邊形ABCD有什么特別的嗎？”，并請(qǐng)學(xué)生說說已知條件和結(jié)論，并口頭證明自己的結(jié)論。用同樣的方法還能得到菱形、正方形。最后總結(jié)得出一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；當(dāng)四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形；當(dāng)四邊形的對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形；當(dāng)對(duì)角線相等且垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形。以前教學(xué)時(shí)，我們也在黑板上畫出這樣幾個(gè)圖，但既費(fèi)時(shí)費(fèi)勁，又只是靜態(tài)地進(jìn)行研究，其效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如動(dòng)態(tài)的黑板­­­­­­-----幾何畫板這樣形象、直觀。而且通過演示，學(xué)生很快知道中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對(duì)角線是否互相平分無關(guān)，只與原四邊形對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有關(guān)。如果在微機(jī)教室上課可以讓學(xué)生反復(fù)嘗試，也許學(xué)生的發(fā)現(xiàn)比我們想象的更多更精彩。

另外，在解決一些數(shù)學(xué)難點(diǎn)問題時(shí)，幾何畫板能發(fā)揮獨(dú)特的作用。如在學(xué)習(xí)了梯形后，安排了這樣一個(gè)習(xí)題：給你一個(gè)任意四邊形，要求把它剪成四塊，你能拼成平行四邊形、矩形、梯形、正方形嗎？這個(gè)問題用傳統(tǒng)的方法解決確實(shí)比較困難，即使用剪拼的方法去做，也很難完成，更不用說說明不能拼的理由。但是用幾何畫板來做能很好解決這個(gè)問題。我用幾何畫板做了一個(gè)課件（如圖8）：先任意畫四邊形ABCD，分別取四邊的中點(diǎn)H、G、M、J。連結(jié)HM，在HM上任取兩點(diǎn)L、K，連結(jié)JK、GL。分別以G、H為中心，對(duì)四邊形GCML和HKJA作旋轉(zhuǎn)變換（或說中心對(duì)稱變換），得到四邊形GBM′L′和HNJ′B。再把四邊形KJDM平移（利用平移變換）到四邊形BJ′K′M′的位置。這樣，只要拖動(dòng)點(diǎn)K和L，再觀察四邊形LNK′L′就可以了?，F(xiàn)在已知邊LN和邊K′L′平行。通過拖動(dòng)點(diǎn)K和L，發(fā)現(xiàn)只要JK與LG不平行，四邊形LNK′L′就是梯形，如果JK=GL，四邊形LNK′L′就是等腰梯形；當(dāng)JK與LG平行時(shí)，四邊形LNK′L′就是平行四邊形；當(dāng)∠JKH和∠MLG都是直角時(shí)，四邊形LNK′L′就是矩形。而要想拼成一個(gè)菱形，必須使LG=HK且JK∥LG，這對(duì)一般四邊形ABCD是不可能的，所以在一般情況下，無法拼成菱形和正方形。上述剪拼過程，在傳統(tǒng)的教學(xué)中很難完成，若完全依靠學(xué)生的想象將是非常困難的。其實(shí)幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費(fèi)時(shí)的，但在幾何畫板4.06版中可用鼠標(biāo)一點(diǎn)完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多去實(shí)踐，把它與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)地整合，就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮巨大的作用?，F(xiàn)在學(xué)校硬件設(shè)施水平在不斷提高，大部分學(xué)校建有微機(jī)教室，不要把微機(jī)教室只當(dāng)成信息技術(shù)課的專用教室，讓數(shù)學(xué)課走出傳統(tǒng)的課堂，甚至多媒體課堂，走進(jìn)微機(jī)教室，走進(jìn)網(wǎng)絡(luò)教室，只有這樣，幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)或數(shù)學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用才更廣泛，更深刻。