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題多變的教學(xué)方法能引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在弄清其內(nèi)涵與外延的過程中，培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性。思維的創(chuàng)造能力則源于學(xué)生自己的實踐和研究。因此，設(shè)題就成了老師的一門關(guān)鍵的工作。 一、通過縱向變式促使思維層層深入
通過從預(yù)設(shè)的題目進(jìn)行變式，層層深入地講解知識點，比另找五花八門的題目來深入講解知識點更顯得思路清晰和層次分明。此做法也越來越受到學(xué)生的歡迎而被廣泛采用。例如，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)”排列，組合”一章中如何區(qū)分”分組與排序”混合使用的情況時，我曾設(shè)計過以下的變式題目給學(xué)生練習(xí)，取得很好的效果。 例：將六本不同的書分給甲，乙，丙三人，每人兩本，有多少種不同的分發(fā)？（=90種） 變式1： 將六本不同的書分給甲，乙，丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本的分發(fā)有多少種？（=60種） 變式2： 將六本不同的書分給甲，乙，丙三人，有1人得1本，有1人得2本，有1人得3本的分發(fā)有多少種？（=360種） 變式3： 將六本不同的書分成三堆，有多少種分發(fā)？（=15種） 變式4： 將六本不同的書分成三堆，一堆有1本，一堆有2本，一堆有3本，有多少種分發(fā)？（=60種） 變式5： 將六本不同的書分成三堆，一堆有4本，另外兩堆各有1本，有多少種分發(fā) 二、通過橫向變式促使思維步步推廣 由于高中數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，不同章節(jié)、不同體系的內(nèi)容之間往往有橫向聯(lián)系，使得很多在某一方面知識中討論的問題在其他方面知識中也經(jīng)常被討論到。橫向變式能使思維的廣度得到擴(kuò)展。如在一元二次函數(shù)中涉及的求最值問題在指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和數(shù)列內(nèi)容中也經(jīng)常出現(xiàn)。 例：已知 x∈[-2,8], 求函數(shù) y = -x2+3x-4 的值域; 變式1：已知 x∈[-1,2], 求函數(shù) y = 0.25x + 0.5x - 4 的值域; 變式2：已知x∈[,4],求函數(shù)y = - (log2x)2 + log2x - 4 的值域; 變式3：已知x∈[-π，3π],求函數(shù) y= cos2x +sinx-4 的值域; 變式4: 已知數(shù)列 {an} 的通項公式an=-2n+27 , n∈N+ ,求數(shù)列{an}前項和Sn最大值; 三、通過剖析變式促使認(rèn)知結(jié)構(gòu)的更新 現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實際上是學(xué)生將原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識與新學(xué)習(xí)內(nèi)容的相互作用而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。因此為了使學(xué)生能盡快把所學(xué)的新內(nèi)容轉(zhuǎn)為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師在設(shè)題時應(yīng)剖析新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，有意識地對新舊知識的歸類有所指引。 例如，在講三棱錐頂點在底面的射影位置這一問題時可以設(shè)計以下練習(xí)： 習(xí)題1 證明：正三棱錐頂點在底面的射影是底面三角形的中心； 習(xí)題2 證明：如果三棱錐的側(cè)面與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心；或者將習(xí)題2進(jìn)行如下變式處理： 變式 1 證明：如果三棱錐的斜高與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心； 變式 2 證明：如果三棱錐的斜高相等，則頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心； 變式 3 證明：如果三棱錐的頂點與三邊的距離相等，則頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心； 變式 4 證明：如果三棱錐的底面各邊相等，且各側(cè)面在底面的射影面積相等，則頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心； 四、通過實際應(yīng)用促使知識運(yùn)用能力不斷提高 理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)實踐能力，是搞活思維的好方法，是素質(zhì)教育的基本要求。將所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活中的新鮮事物，熱門話題想結(jié)合，使學(xué)有所用，在用的過程中加強(qiáng)對所學(xué)知識的更深層次理解。 例如：（第六屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽試題）北京時間2002年9月27日14點，國航CA981航班從首都國際機(jī)場準(zhǔn)時起飛。當(dāng)?shù)貢r間9月27日15點30分，該航班正點平穩(wěn)降落在紐約肯尼迪機(jī)場；北京時間10月1日19點14分，CA982航班在經(jīng)過個13小時的飛行后，準(zhǔn)點降落在北京首都國際機(jī)場。至此，國航北京--紐約直飛首航試飛成功完成。這是中國承運(yùn)人第一次經(jīng)極地經(jīng)營北京--紐約直飛航線。從北京至紐約原來的航線飛經(jīng)上海（北緯31?，東經(jīng)122?）、東京（北緯36?，東經(jīng)140?）和舊金山（北緯37?，西經(jīng)123?）等處，如果飛機(jī)飛行的高度為10千米，并假設(shè)地球是半徑為6371千米的球體，試分析計算新航線的空中航程較原航線縮短了多少。 這是利用立體幾何的”球面距離計算”的知識來分析生活中問題的一道應(yīng)用題。航程縮短的原因是”球面上兩點間的最短距離是經(jīng)過這兩點的大圓的一段劣弧的長度”。通過理論應(yīng)用于實際的舉例，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識掌握得更牢固，對現(xiàn)實生活的分析更清晰，思維能力更活躍。 五、通過設(shè)立研究性問題促使認(rèn)識更進(jìn)一步 現(xiàn)時高中所開設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課程，雖然不是專門開設(shè)的數(shù)學(xué)習(xí)題課，但教師可以給對數(shù)學(xué)有興趣的同學(xué)有意識地設(shè)置一些問題讓他們開展研究討論，使學(xué)生在培養(yǎng)研究與實踐能力的同時，加深對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和了解，起到鞏固知識，提高素質(zhì)的作用。讓研究性學(xué)習(xí)課程成為一種更深層次的、系統(tǒng)拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的活動課程。我曾設(shè)計過以下兩個課題讓學(xué)生開展研究。 課題1：”用《幾何畫板》軟件作圖研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)” 讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)《幾何畫板》作圖軟件，動手做出一些基本函數(shù)如：一元一次函數(shù)，一元二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等的圖像，根據(jù)《幾何畫板》作圖軟件的特殊作圖功能將圖形按照函數(shù)的各參數(shù)進(jìn)行變形，直觀地觀察這些圖像的性質(zhì)變化，加深對函數(shù)性質(zhì)的理解，而且還能比較容易地解決一些較抽象，較難的題。如： 1.求函數(shù) y=log2│-kx2+5x│（k為常數(shù)） 的單調(diào)減區(qū)間； 2.求方程 2sin2x=lgx 的解的個數(shù)； 3.已知f(x)=x2+2mx+m2-m-，當(dāng)x∈(0,+∞)時,恒有f(x)>0,則m的取值范圍是怎么樣的？ 課題2：”建筑物的高度和目標(biāo)距離的間接測量法” 為了加深學(xué)生對三角函數(shù)應(yīng)用問題的了解，讓學(xué)生對一些不能直接接觸的建筑物，如廣州的中信大廈、國際大廈的高度和一些無法直接測量的目標(biāo)如珠江邊兩間著名的酒店（白天鵝賓館和江灣大酒店）之間的距離。學(xué)生的手中只有量角器和皮尺，他們只能利用量角器和皮尺測量出自己的立足點和目標(biāo)點之間的一些邊角的大小，然后根據(jù)數(shù)學(xué)中”解三角形”的知識，求解出問題的結(jié)果。通過對此研究性問題的研究，學(xué)生能非常熟悉三角函數(shù)的一些基本應(yīng)用，對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)起到了很大的幫助作用。 六、通過自編自設(shè)促使創(chuàng)造能力的增強(qiáng) 我國著名的數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：”數(shù)學(xué)上的新思想、新觀念和新方法往往來源于發(fā)散思維”，他總結(jié)出數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的公式：創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維能力。已經(jīng)使用了幾十年并且當(dāng)前還繼續(xù)流行的”概念 + 例題 + 練習(xí)”、”定理 + 例題 + 練習(xí)”、”公式 + 例題 + 練習(xí)”的數(shù)學(xué)教學(xué)模式以及題型教學(xué)和題海戰(zhàn)術(shù)，雖然在”雙基”教學(xué)中發(fā)揮了一定的作用，但嚴(yán)重束縛學(xué)生思維的發(fā)展，不利于其總體能力的提高。在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力向創(chuàng)造能力發(fā)展時我曾做過以下嘗試，鼓勵學(xué)生在其知識量達(dá)到一定水平時，學(xué)做小老師，發(fā)揮想像力，對自己理解得非常深透的知識點從不同的角度去設(shè)計一些題目來分析思考，也可以拿來考考其他同學(xué)。 例如，我在講不等式的證明方法如放縮法、判別式法、換元法等方法時，因為課本和學(xué)生的手頭學(xué)習(xí)資料里對這方面的練習(xí)題比較少，我就鼓勵學(xué)生自己試設(shè)計一些題目出來給大家看看。很快，就有學(xué)生設(shè)計出一些題目來。經(jīng)過大家的討論，有以下幾道題目是比較好的。 1.如果n∈N,且n≥2,證明：logn(n-1)?logn(n+1)<1；（放縮法） 2.證明：如果n∈N，則有 +++…+<2；（放縮法） 3.如果實數(shù)x，y滿足x2+y2=3，求證：-≤≤；（換元法） 4.求證：函數(shù) y= （x∈R）的值域為 [-1-，-1+]。（判別式法） 通過設(shè)題，學(xué)生對這一類題目的條件，結(jié)論，解題思路及一些變式都非常熟悉，思維水平上升到新的高度。 高中階段是學(xué)生形成獨(dú)立思維習(xí)慣和培養(yǎng)思維能力的重要時期，高中數(shù)學(xué)習(xí)題課組織開展得成功與否，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和思維品質(zhì)有著直接的，重要的影響作用。我們對此方面的研究探討工作將繼續(xù)努力，堅持不懈。 |
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