第四節(jié) 動(dòng)態(tài)幾何

【回顧與思考】

    類(lèi)別

【例題經(jīng)典】

會(huì)“靜”中求動(dòng)

    例1  （2004年吉林省）如圖，已知拋物線y=x2-ax+a+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．運(yùn)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→D運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ，CB設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

    （1）求a的值；

    （2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平行于y軸；

（3）當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值．

    【分析】由PQ∥y軸和DC∥x軸這一靜態(tài)，得OQ=PD，求t的值．

會(huì)由“特殊”推出“一般”

    例2  （2005年南京市）如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D，E始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．

    （1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

【會(huì)用“類(lèi)比的思想”探究圖形的變化】

    例3  （2006年臨沂市）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，設(shè)P、Q分別為BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度都為1cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0<t≤4）．

    （1）寫(xiě)出△PBQ的面積S（cm2）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

    （2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？

    （3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)精練】

1．（2005年西寧市）如圖1，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△CBP重合，若BP=4，則點(diǎn)P所走過(guò)的路徑長(zhǎng)為_________．

           (1)                       (2)                     (3)

2．（2005年福州市）如圖2，EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（  ）

    A．       B．        C．        D．

3．（2005年北京市）如圖3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，點(diǎn)P從起點(diǎn)O出發(fā)，沿DC、CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P所走過(guò)的路程為x，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖像中，能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（  ）

4．（2006年臨沂市）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，小正方形的邊長(zhǎng)是大正六邊形邊長(zhǎng)的一半，當(dāng)小正六邊形由圖①位置滾動(dòng)到圖②位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為_______度．

5．如圖直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了xs．

    （1）點(diǎn)Q坐標(biāo)為______（用含x的式子表示）

    （2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ為一個(gè)以AP為腰的等腰三角形？

（3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，請(qǐng)你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形并說(shuō)明理由．

6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，求：

    （1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？

（2）在第（1）問(wèn)的前提下，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

7．（2006年濟(jì)南市）已知半徑為R的⊙O′經(jīng)過(guò)半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O′交于E、F兩點(diǎn)．

    （1）如圖甲，連結(jié)⊙O′交于⊙O于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)交⊙O′于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交⊙O′于A、B兩點(diǎn)，求OA．OB的值；

    （2）若點(diǎn)C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，

      ①當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到⊙O′內(nèi)時(shí)，如圖乙，過(guò)點(diǎn)C作⊙O′的切線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到⊙O′外時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點(diǎn)，如圖丙，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．（2005年黃岡市）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC，CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．

      （1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

      （2）試在（1）中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以O、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

      （3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫(xiě)出此時(shí)t的取值范圍．

（4）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如圖（1），AB是⊙O直徑，直線L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足為D．

    （1）求證：AC1·AC2=AB·AD；

    （2）若將直線L向上平移（如圖（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2與直徑AB相交（交點(diǎn)不與A，B重合），其他條件不變，請(qǐng)你猜想，AC1，AC2，AB，AD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

    （3）若將直線L平移到與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為C，其他條件不變，請(qǐng)你在圖（3）上畫(huà)出變化后的圖形，標(biāo)好相應(yīng)字母并猜想AC，AB，AD的關(guān)系是什么？（只寫(xiě)出關(guān)系，不加以說(shuō)明）．

答案:

例題經(jīng)典  

例1：①a=6 ②當(dāng)t=時(shí)，PQ∥x軸  ③當(dāng)t=時(shí)，SABCD=14 

例2：①1秒  4秒 7秒  16秒時(shí)相切  

②當(dāng)半圓與AB相切時(shí)，S=9cm2；當(dāng)與AC相切時(shí)，S=（9+6）cm  

例3：①S=-（t-）2+，∵0<t≤4，∴當(dāng)t=時(shí)，S最大為  

②△BPQ是等腰三角形，當(dāng)PB=PQ時(shí)，t=；當(dāng)BP=BQ時(shí)，t=2.5  

③不能，若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ，當(dāng)BQ=BP時(shí)t=，當(dāng)BP=PQ時(shí)t=，

∴BQ=BP與BP=PQ不能同時(shí)成立，∴△BPQ不可能為等邊三角形．

考點(diǎn)精練  

1．2  2．B  3．A  4．240°  

5．（1）（2+x，4-x）  

（2）P（5-x，0），0≤x≤5，

由勾股定理得PQ2=（x-3）2+（4-x）2，AP2=（3-x）2+42．

若AQ=AP，∴x2=（3-x）2+42，∴x=．

若PQ=AP，則（x-3）2+（4-x）2=（3-x）2+42，∴x=，

∴當(dāng)x=或時(shí)，△APQ是一個(gè)以AP為等腰的等腰三角形． 

（3）設(shè)PB、BO的中點(diǎn)分別為M、N，∴G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的形成的圖形就是線段MN．

證明：由M（，0），N（，0）可得yMN=2x-5（≤x≤），

由P（5-x，0），Q（2+x，4-x），

∴G（，2-x）滿足y=2x-5，

∴G在線段MN上．  

6．（1）2秒或12秒  （2）8  

7．（1）2Rt  （2）無(wú)變化  （3）無(wú)變化  

8．（1）直線OC的解析式為y=x，經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=x  

（2）D（10，6）  

（3）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)可設(shè)Q（m，m），∴m2+（m）2=（2t）2，

∴m=t，∴Q（t，t）（0≤t≤5），

當(dāng)Q在CB上時(shí)Q點(diǎn)走過(guò)的路程為2t，

∵OC=10，∴CQ=2t-10，∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為2t-2，

∴Q（2t-2，6）（5<t≤10）  

（4）∵梯形OABC的周長(zhǎng)為44，當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，

則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-t），

∴S△OPQ=t（22-t）×，

∴S梯形OABC=（18+10）×6=84，

∴t（22-t）×=84×，

∴t2-22t+140=0，∵△<0，

∴t不存在，當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)走過(guò)的路程為22-t，

∴CQ的長(zhǎng)=22-t-10=12-t，

∴S梯形=×6（12-t+t）=36≠84×，

∴t值不存在，∴不存在使及P、Q兩點(diǎn)平分梯形的周長(zhǎng)和面積  

9．（1）證△AC2D∽△ABC1 

（2）AC1·AC2=AD·AB  

（3）AC2=AB-AD．