最近看一作者文中涉及“準變量思維”，覺得較有意思，在交流中也多次和作者交流了“準變量思維”，相信其過程對大家有些幫助。

現(xiàn)將部分交流內容整理如下：

1.涉及“準變量思維”的文章。

在算術思維中，運算式的作用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結題目與答案的橋梁；而在代數(shù)思維中，運算式的功用，不再只是直接聯(lián)結問題與答案之間的過程記錄，也充當一個問題轉譯的角色。介于小學算術程序思維與中學代數(shù)關系思維之間的是“準變量思維”，它的核心是充分利用算術中所隱含的代數(shù)關系與結構，對算術及其問題進行“代數(shù)的思考”。準變量思維作為算術程序思維的“最近發(fā)展區(qū)”，為學生的數(shù)學思維從算術思維發(fā)展到代數(shù)思維起到橋梁和紐帶的作用。因此，教學中要為學生提供“準變量思維”的素材，將數(shù)學知識進行有機的拓展和延伸，從而實現(xiàn)兩者之間的有效銜接。

例如：在學習“圓柱體表面積的計算”一課時，教師引導學生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積計算公式：表面積=側面積+兩個底面積的“三步計算法”。這時有的學生認為這種計算方法比較煩瑣。“有沒有更巧妙的方法？”難道底面、側面展開是“圓”與“長方形”就一定要依次計算嗎？圍繞這個問題，教師組織如下的教學活動：

師：前面我們學習了“圓柱體表面積的計算”，我們一般是怎樣計算它的表面積呢？

生：我們推導出圓柱體表面積的“三步計算”方法，即依次計算底面積、側面積，用側面積加兩個底面積得出表面積。

師：比如這樣一題：一個圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？

學：側面積：2×3.14×5×15=471(平方厘米)

底面積：3.14×25=78.5（平方厘米）

表面積：471+78.5×2=628（平方厘米）

邏輯推導新公式

師：如果我們把剛才的分步列式寫成綜合算式，你會嗎？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

師：怎樣計算簡便呢？運用乘法分配律，你該怎樣化簡呢？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

   =2×3.14×5×（15+5）

   =31.4×20

   =628（平方厘米）

師：你發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？

生：圓柱表面積=底面周長×（高+半徑）

再讓學生操作驗證，應用拓展。

教師利用學生提出的問題，引導學生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長×（高+半徑）。其思考過程就是以“準變量思維”為中介，運用代數(shù)思維的思考方法，通過關系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體表面積的巧妙解法，從而使學生代數(shù)思維的訓練落到實處。

遠山：可能還要麻煩您辛苦一下。我琢磨了很久，但是還沒有體會到您的“準變量思維”是什么，另外從案例本身似乎也看不出變量思維，可否明示？還有一點，這個案例“有沒有更巧妙的方法”以及認為得出的方法更巧妙等恐怕也經不起推敲。一則教師引導學生得出的方法充其量是“另解”而非“巧解“。二則教師苦費周折引導學生得出的方法其普適性和靈活性都不及開始的方法。請您再琢磨一下，盡快發(fā)給我。

作者：文章已經修改。

1. 什么是準變量思維？我付上一篇文章，您看看。

2. 關于案例。我是根據(jù)發(fā)表在教育時報上的一個案例“巧用學生提問開發(fā)課程資源”寫成的。結合自己學習的有關準變量思維對案例進行解讀。

3.案例來源：http://www./jiaoyushibao/kegaidaokan/ketang/143246.shtml。

昨晚對您提出的另解與巧解的看法進行了思考。我是這樣想的：這個案例的意義就在于教師在教學中要善于利用學生提出的問題資源或者課堂生成的資源，通過準變量思維，降低學生學習代數(shù)的門檻。因為準變量思維是算術思維與代數(shù)思維間的中介，教師在自己的教學中也要“代數(shù)的眼睛和耳朵”和適時滲透代數(shù)思維的意識。在這個案例中新解的提出是基于三步計算的基礎上，運用準變量思維進行變式，得出的新公式，所以絕對不是另解。其二它的巧或者更準確地說是更簡便體現(xiàn)在比減少了計算的步聚，得出了一個新公式圓柱表面積=底面周長×（高+半徑）。這是基于原來計算基礎上得到的新公式所以它同樣具有普適性。這個案例引發(fā)教師們對準變量思維的認識和思考。

遠山：看了您的留言，文章還沒時間細看。但從您的留言看，恐怕改過來的效果不太理想?，F(xiàn)回復幾點，其他的等看了文章再具體細說：1.你還是沒有解釋清楚“準變量思維”。雖然您多次提到體現(xiàn)了“準變量思維”，但具體是準變量思維您指的是什么、如何體現(xiàn)的，尚不明確，至少從文章中沒看出實質性的東西。2. “其二它的巧或者更準確地說是更簡便體現(xiàn)在比減少了計算的步聚，得出了一個新公式圓柱表面積=底面周長×（高+半徑）。”什么是簡算？是不是指寫的式子比較短？還是體現(xiàn)在思維層面上或計算層面上？3.圓柱表面積=底面周長×（高+半徑）很難說是“兩步”。求底面周長是不是一步？半徑加高是不是一步？底面乘“和”是不是一步？一共幾步？4.您能說服自己并使自己相信，求底面積是“一步”，求底面周長就不是“一步”？底面加側面積是“一步”，半徑加高就不是“一步”，或者周長乘“和”就不是“一步”嗎？如果說服不了自己，則您的兩步、三步之“巧”，恐怕很難另人信服。5.關于您的“準變量思維”實質是什么？是“算術思維與代數(shù)思維間的中介”的，這樣的說法恐怕很難是“實質”。其實，我們引進新的名詞時一定要有自己的理解和通俗的表達。到目前不知您的“準變量思維”是什么。但從您的“中介”二字，我覺得應該是這樣理解的。算術思維是就具體的數(shù)進行計算，代數(shù)思維是量的計算，是關于關系結構或者模式的處理。準變量思維就是把“數(shù)”當“式”計算，就是不先不考慮具體的“結果”，而提取或變換關系，結構。[“得出的新公式，所以絕對不是另解”，這話很費解。為什么新的公式就不是另解？“另解”在作者看來是怎樣的？]

作者：同意以上看法。關于幾步之說在文章里并沒有這方面的敘述。關于幾步之說顯然我數(shù)錯了。

遠山：其實，我覺得您可以到教學中去實驗一下，按文章中苦心得出來的方法，似乎并不會給學生帶來多少“實惠”，采用那種方法的學生比較少。或者可以說那種方法只有在某些情況下才比普通的方法更實用，而多數(shù)時候并不如原來被“加工”的那種方法，如此則教師苦心何來？

作者：這個案例我是在教育時報上看到的。網絡上流傳較廣。沒在實踐中檢驗。

插作者的修改稿：

準變量思維是介于算術思維和代數(shù)思維之間的一種數(shù)學思維形式，它的核心是充分利用算術中所隱含的代數(shù)關系與結構，對算術及其問題進行“代數(shù)的思考”。準變量思維是從算術思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養(yǎng)學生準變量思維的素材，將數(shù)學知識進行有機的拓展和延伸，從而實現(xiàn)兩者之間的有效銜接。

例如：在學習《圓柱體表面積的計算》時，教師引導學生探究圓柱體表面積，概括出圓柱體表面積 “三步計算法” （表面積=側面積+兩個底面積的）。這時有的學生認為這種計算方法比較煩瑣。“有沒有更巧妙的方法？”難道底面、側面展開是“圓”與“長方形”就一定要依次計算嗎？圍繞這個問題，教師組織如下的教學活動：

師：前面我們學習了圓柱體表面積的計算，我們一般是怎樣計算它的表面積呢？

生：我們推導出圓柱體表面積的“三步計算”方法，即依次計算底面積、側面積，再用側面積加兩個底面積得出表面積。

師：一個圓柱體的高是15厘米，底面半徑是5厘米，它的表面積是多少？

生：側面積=2×3.14×5×15=471(平方厘米)，底面積=3.14×25=78.5（平方厘米），表面積=471+78.5×2=628（平方厘米）

師：如果我們把剛才的分步列式寫成綜合算式，你會嗎？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

師：怎樣計算簡便呢？運用乘法分配律，你該怎樣化簡呢？

生：2×3.14×5×15+3.14×25×2

   =2×3.14×5×（15+5）

   =31.4×20

   =628（平方厘米）

師：你發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的巧妙算法是什么呢？

生：圓柱表面積=底面周長×（高+半徑）

再讓學生操作驗證，應用拓展。

教師利用學生提出的問題，引導學生積極探究，得出圓柱體表面積=底面周長×（高+半徑）。其思考過程就是運用“準變量思維”，運用代數(shù)思維的思考方法，（這句話去掉）通過關系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體表面積的巧妙解法，從而提升學生對算術基礎的理解，蘊伏對算術和代數(shù)之間關系的認識，培養(yǎng)學生的代數(shù)思維。從而使學生代數(shù)思維的訓練落到實處。（這句話去掉）

遠山：您再思考一下第三點怎么加工吧。一、是如何體現(xiàn)“準變量思維”，二、用什么案例。

作者再次修改：

介于小學算術程序思維與中學代數(shù)關系思維之間的是“準變量思維”，它的核心是充分利用算術中所隱含的代數(shù)關系與結構，對算術及其問題進行“代數(shù)的思考”。準變量思維是從算術思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶。因此，教師要敏銳地發(fā)掘可以培養(yǎng)學生準變量思維的素材，將數(shù)學知識進行有機的拓展和延伸，從而實現(xiàn)兩者之間有效的銜接。

例如：在學習“圓柱體積的計算”一課時，教師出示這樣一道練習題：

“一張長方形紙，長是18.84厘米，寬是12.56厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”剛一出示這道題，同學們議論紛紛。大部分同學認為一樣大，因為它們是同一張長方形紙圍成的；也有幾個同學在低頭認真演算。這時石蕊同學站起來說：“通過演算，我發(fā)現(xiàn)以長方形長作為底面周長，以寬作為高時，圓柱的體積是：

18.84÷3.14÷2=3（厘米）

3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）

以寬為底面周長，長做高時，圓柱的體積是：

12.56÷3.14÷2=2（厘米）

3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）

所以，雖然用的是同一張紙圍成的圓柱，但通過計算，還是以較長的邊為底面周長時圍成的圓柱的體積大。”

聽完石蕊同學的發(fā)言，張凌云同學說：“我還發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：如果用同一張長方形紙圍圓柱，那么以長為底面周長，以寬為高的圓柱的體積與以寬為底面周長，以長為高的圓柱的體積的比等于長與寬的比。”這個結論是正確的嗎？同學們聽了半信半疑，“你能給大家舉個例子嗎？”老師提出了要求。張凌云同學進行舉例：

長方形的長是20厘米，寬是10厘米，用它圍成一個圓柱，以長為底面周長，以寬為高時，圓柱的體積是：

∏×（20÷2∏）²×10=∏×20×20×10/4×∏×∏=1000/∏(立方厘米)
以寬為底面周長，以長為高時，圓柱的體積是：

∏×（10÷2∏）²×20=∏×10×10×20/4×∏×∏=500/∏(立方厘米)

兩個圓柱體積的比是2：1

其他同學也躍躍欲試，舉例驗證這一發(fā)現(xiàn)。

學生在推算過程中把“3.14”這一常量以符號∏替代，運用準變量思維，通過關系的符號化及其運算，并對運算結構性的、一般性的、形式化的轉換，發(fā)現(xiàn)了圓柱體積比的規(guī)律。教師抓住了這個閃光點，通過對一道習題的延伸拓展，蘊伏對算術和代數(shù)之間關系的認識，促進學生代數(shù)思維的發(fā)展。

遠山：稿件收到，看了一下。文章基本上采用的是還是算術思維（唯一不同的是引進了圓周率的字母），雖然您多次提到關注關系和結構，但是由于您所舉的例子在過程中過多的關注計算結果，使得各個量之間的關系和結構并不明確。 “準變量”思維的案例具備說明這個問題的可能性，但從目前的行文沒有突出問題。當然您也告訴我了這是某雜志上的案例?？戳四峁┑?#8220;準變量思維”材料，更堅定了我改您文章的決心。文章大致思路已修改，因為基本上是顛覆了您的思路，所以還是發(fā)給您看看吧。文中計算尚未更改過來，文字銜接等尚未細致加工，請您自己處理一下.

修改后的文章：

如在教學《圓柱體積的計算》時，某教師出示這樣一道練習題：“一張長方形紙，長是20厘米，寬是10厘米，怎樣圍圓柱的體積最大？”學生一般習慣通過計算，得出：以長方形的長為圓柱的底面周長、以寬為高時，圓柱的底面半徑為18.84÷3.14÷2=3（厘米），體積為3.14×3×3×12.56=354.9456（立方厘米）。以寬為圓柱的底面周長、長為高時，圓柱的底面半徑為12.56÷3.14÷2=2（厘米），體積為3.14×2×2×18.84=236.6304（立方厘米）。因為354.9456>236.6304，所以以長方形的長為底面周長、以寬為高時圍城的圓柱的體積最大。學生這樣做，是基于算術思想的，只能說明對這組長和寬是成立，對其他的長和寬是否也成立仍不得而知。而按嚴密的代數(shù)思維應該是這樣的：設長方形的長和寬分別為a、b（a≥b）厘米,則以a為圓柱的底面周長、以b高時，圓柱的底面半徑為a÷π÷2=a/2π（厘米），體積為π×(a/2π)²×b =4 a²b/4π（立方厘米）;以b為底面周長、a為高時，圓柱的底面半徑為b÷π÷2=b/2π（厘米），體積為π×(b/2π)²×a =4 b²a/4π（立方厘米）。因為a>b,所以4 b²a/4π>4 b²a/4π，即以長方形的長為底面周長、以寬為高時圍城的圓柱的體積最大。這是代數(shù)思維，顯然超出了小學生的思維水平。在教學中，我們可以建議學生先不急著算，而進行以下嘗試：以20厘米為底面周長，以10厘米為高時，圓柱的底面半徑是20÷2π，體積是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米為底面周長，以20厘米為高時，圓柱的底面半徑是10÷2π，體積是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米)。比較兩個結果，得出20×20×10÷4π>10×10×20÷4π。這樣的過程立足于具體的數(shù)值，但“計算”過程中關注的不是每一步的計算結果，而是關系和結果，通過對關系的變換，得出具有結構性的、一般性的、形式化的結果，這就是準變量思維。

作者：實在很不好意思，因為自己文章的不成熟，花費了你太多的時間和精力進行修改。感動！感謝！兩個問題：1.如果把題目改為長20，寬10時計算除不盡。所以改為原題長是18.84厘米，寬是12.56厘米。2. 20×20×10÷4π通過計算化簡結果是1000÷π  10×10×20÷4π通過計算化簡結果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結果？

遠山：這下我真該暈了——暈的是我們理解的準變量思維好像有天地之別。

關于“20×20×10÷4π通過計算化簡結果是1000÷π，10×10×20÷4π通過計算化簡結果是500÷π。這樣是不是更容易比較出結果”的回答。

1.您認為354.9456（立方厘米）>236.6304（立方厘米）與1000/π >500/π有多少區(qū)別？僅僅把3.14改成π就叫準代數(shù)思想了？

2.您認為這個問題中最本質的關系或結構是什么？是“部分計算”結果與圓周率的關系？還是長、寬與體積的關系？如此哪種結果能體現(xiàn)您所認為的關系？

3.準變量思維的滲透是以“更容易比較出結果”為主還是別的？如果是以更容易比出結果則學生的普通解法最容易比較出結果。

4.雖然您一直提出“代數(shù)的眼光和思維”，從1000/π、500/π中您能看出多少關系或結構？

關于“1.如果把題目改為長20，寬10時計算除不盡。所以改為原題長是18.84厘米，寬是12.56厘米”回答：如果題目容易“除盡”則保留結構的必要性在哪里？教學中，教師可以根據(jù)“除不盡”，如果保留兩位小數(shù)，則計算比較復雜，引入“只列式、不計算”。