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        拓撲學(xué)是19世紀發(fā)展起來的一個重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時代，就已有拓撲學(xué)的萌芽。著名的“哥尼斯七橋問題”以及“麥比烏斯丁的《拓撲學(xué)初步》。里斯丁是高斯的學(xué)生，1834年以后是哥根大學(xué)教授。他本想稱這個學(xué)科為”位置幾何學(xué)“，但這個名稱陶特用來指射影幾何。于是改用”topology”這個名字?！皌opology"直譯的意思是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。1956年，中國統(tǒng)一的《數(shù)學(xué)名詞》中把它確定成拓撲學(xué)。
拓撲學(xué)雖然是幾何學(xué)的一個分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的”平面幾何“、”立體幾何“不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的機關(guān)位置以及它們的實體性質(zhì)。拓撲學(xué)研究的內(nèi)容與研究對象的長短、大海、面積、體積及實體性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系無關(guān)。
舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等圖形，也就是說，通常的平面幾何是研究在運動中大小和形狀都不變的學(xué)科，但是，在拓撲學(xué)里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學(xué)里沒有不能彎曲的元素，每個圖形的大小、形狀可以改變。
里斯丁以后，黎曼把拓撲學(xué)的概念引入復(fù)變函數(shù)論中，發(fā)展成黎曼曲面論。
早期的拓撲學(xué)明顯地分為兩支：一是點集拓撲，以康托的貢獻為起點；另一支是組合拓撲，由上世紀末龐加萊所首創(chuàng)。龐加萊平時行支遲緩、笨拙，視力很差，常常給人心不在焉的印象?？墒?，龐加萊具有超凡的心算和數(shù)學(xué)思維能力。龐加萊對20世紀數(shù)學(xué)影響十分深遠。1895年，他出版了《analysissitus(位置分析）》，第一次系統(tǒng)地論述了拓樸學(xué)的內(nèi)容。后來被發(fā)展成20世紀極富有成果的拓樸學(xué)分支，龐加萊的研究領(lǐng)域十分廣泛。他在巴黎大學(xué)開設(shè)的講座包括毛細管學(xué)、彈性力學(xué)、熱力學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)、電學(xué)、宇宙學(xué)等，在數(shù)學(xué)方面還涉及非歐幾何，不變量理論、分析力學(xué)，包括概率論。
拓撲學(xué)是一門新興的學(xué)科，它一出現(xiàn)，很快就滲透到了各個領(lǐng)域里去。