角的存在性問題，也是，存在性大家族中的一員，一般也是以二次函數(shù)為背景，但是多數(shù)情況下和二次函數(shù)并不相關(guān)，只是以二次函數(shù)為背景，屬于生搬硬套，多數(shù)情況下是可以獨(dú)立出一道題。不同的角的存在性問題在難度上跨度比較大，簡單的可以很簡單，難一點(diǎn)的也可以很難來！下面以統(tǒng)一的條件背景為例，來看幾種常見的角的存在性問題的處理方法！01特殊角存在。

狹義與廣義托勒密定理運(yùn)用匯總！托勒密定理相信對(duì)于很多人都并不陌生，這也是一個(gè)讓我又愛又恨的定理，愛是因?yàn)樗暮唵畏奖悖奘且驗(yàn)樗茐牧藥缀晤}的“美感”，讓人在不知不覺，稀里糊涂中把題目做出來了。今天就來匯總一下托勒密定理（廣義狹義）的運(yùn)用，都有哪些題型:說到托勒密定理，其實(shí)分為狹義的托勒密等式和廣義的托勒密不等式，請(qǐng)看：以上都是托勒密在靜態(tài)問題中的運(yùn)動(dòng)，下面即將看到的是，在動(dòng)態(tài)問題中的托勒密運(yùn)用！

三倍角的11種處理策略+對(duì)應(yīng)例題玩轉(zhuǎn)三倍角！之前已經(jīng)總結(jié)過了二倍角條件的處理策略，這次說說三倍角，其實(shí)三倍角沒什么可怕的，可以和二倍角做類比，二倍角的處理無非是從二倍的那個(gè)出發(fā)做輔助，或者從一倍的那個(gè)出發(fā)做輔助線，因而有了由倍造半和由半造倍兩大思路。剛才多是從三倍角出發(fā)，看一道從一倍角出發(fā)做輔助線。這題的條件是既有三倍角，還有二倍角，也可以說是1.5倍角??！要先會(huì)用一倍角的正切，算其三倍角的正切值！

荼毒數(shù)年的-正方形內(nèi)含45.模型的49問！這原文檔的條件有點(diǎn)各色，好像故意搞的，其實(shí)對(duì)于這個(gè)模型我是這么理解了，要么是理解為45度在正方形當(dāng)中，要么是理解為正方形折紙產(chǎn)生。所謂折疊理解，即把這個(gè)模型理解為，正方形ABCD，B按AE翻折到R，D按AG翻折到R成重合之態(tài)。（三）額外模型。在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上，還能生成一些耳熟能詳?shù)哪Ｐ?，其?shí)根據(jù)這些模型衍生出100個(gè)結(jié)論不是問題：（13）等直含45度模型。（14）三垂直全等模型。

2024長沙中考幾何壓軸題——四邊形的內(nèi)切圓和外接圓。（點(diǎn)下方圖片了解終身會(huì)員課程詳情）今天只看一道題，就是2024長沙中考的幾何壓軸題，為啥沒做二次函數(shù)的壓軸題呢？本題考察的是四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的特征與性質(zhì)：通過第一問，順便可以總結(jié)出存在內(nèi)切或外接圓的具體條件，為后續(xù)做題打好基礎(chǔ)！點(diǎn)擊系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何模型課程：

中考最?？嫉哪Ｐ汀掷帜Ｐ痛髤R總！提起手拉手應(yīng)該是初中最經(jīng)典的幾何模型之一了，據(jù)說當(dāng)年是某機(jī)構(gòu)為了招生而起的名字，很有噱頭。今天就來匯總一下手拉手的結(jié)論拓展和應(yīng)用，全是干貨哦！回憶一下，很簡單利用SAS判定全等或相似，這就是手拉手的基本結(jié)論！02特殊情況手拉手之肩并肩模型：模型特殊化后結(jié)論一定是大于等于原有結(jié)論的?。。?3錯(cuò)位的手拉手：婆羅摩羯多模型。婆羅摩羯多模型的條件和等直手拉手差不多。

圓與切線新模型系列（二）——九大模型，動(dòng)態(tài)圖展示+簡證分析。公切線的交點(diǎn)四點(diǎn)共圓，由同圓切線的對(duì)稱得角平分，再得定角90度，共圓就是定弦定角得到的。05切線交點(diǎn)得垂弦。這個(gè)可以看做切線的循環(huán)性，看做圖過程也看得出來四條 切線是循環(huán)出現(xiàn)的。07過切線交點(diǎn)做平行線。切線對(duì)稱，平行線，倒角度，得四點(diǎn)共圓，得90度，垂徑定理。08切線交點(diǎn)與阿圓。

不加做不了一題。加權(quán)或者不加權(quán)，這是一個(gè)問題！但是事實(shí)上也不一定，比如，將軍飲馬是不加權(quán)的，如果加上權(quán)重，折射原理，初中就做不了。從初中題目來看，不加權(quán)比加權(quán)就是差了一步對(duì)權(quán)（系數(shù)）的轉(zhuǎn)化，把權(quán)化無，是解決加權(quán)問題的一般思路！胡不歸（烏鴉坐飛機(jī)）問題與折射原理光行最速。今天這題依然是一道，加權(quán)就能做，不加做不了的問題：

模型進(jìn)化論:從全等到相似。模型也是可以進(jìn)化 的，所謂模型的“進(jìn)化”，就是在某一個(gè)模型的基礎(chǔ)上，拓展引申，得出其他情況下仍有類似的結(jié)論！接下來舉例三個(gè)初中常見模型的進(jìn)化過程：01三等角模型。我們首先接觸到的是，一線三垂直全等模型（上圖為同側(cè)版，BA=BD），也可以變?yōu)楫悅?cè)版：那么你還能想到哪些有進(jìn)化潛質(zhì)的模型呢？

再辯SSA,長邊對(duì)定角可判定全等。在之前的文章中曾經(jīng)為SSA伸冤過，說SSA在有些情況下是可以鎖定三角形的（即判斷全等），也就是在加上半個(gè)條件。全等條件詭辯：SSA也能判定全等！比如在之前文章中提到，若A是鈍角或直角，則SSA可用（其中A為直角即是SSA變?yōu)榱薍L），還有當(dāng)兩個(gè)三角形都是銳角三角形時(shí)，SSA也可用！今天接到一位熱心網(wǎng)友提問一個(gè)問題，再次發(fā)現(xiàn)SSA的可用之機(jī)：

南通十年中考雙壓軸題品鑒！2013-2022十年南通中考最后兩壓軸題剖析：2013南通27分類討論周長。2013南通28拋物恒垂。2014南通27函數(shù)做最值！2014南通28包裝等角存在。2015南通27分類討論周長。2015南通28等腰存在兩動(dòng)一定。2016南通27線段恒長。2018南通28函數(shù)求范圍。2019南通27靜態(tài)幾何硬算，用12345秒掉。2019南通28函數(shù)幾何計(jì)算。

南京十年中考?jí)狠S題——相當(dāng)新穎。寫此文的時(shí)候2022年南京中考數(shù)學(xué)卷子還沒公開，南京中考?xì)v來公布最晚！再回顧一下過往的十來年，南京的壓軸題都考啥呢？最后一題從2012年開始是27題，有的是幾何有的是代數(shù)并不確定，幾何題偏多，而且都是比較開放性的靈活性的問題，比較考察思維！看下邊動(dòng)圖，包含四種情況，可以這么來分，看弧AB，P在弧AB上，M在弧AB上，N在弧AB上和仨都不在弧AB上四種情況！

深圳中考十年解答壓軸題。本次選取的是深圳2011-2021這十一年的中考卷最后一題最后一問，這最后一題一般是23題，除了2021年最后一題是22題，多數(shù)情況下是二函綜合題，有幾年，貌似是有3年考的幾何題。這題我用了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)比較復(fù)雜的東西動(dòng)的情況下，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)能很好的簡化！沒看錯(cuò)，這確實(shí)是2017年的最后一題，好像沒有動(dòng)態(tài)的成分，就是硬硬計(jì)算！

2024深圳中考解答雙壓剖析。今天來看下2024年深圳中考的最后兩道壓軸題，前兩問都太簡單了，只看第三問吧。19、二次函數(shù)探究。注意題中的n指的是什么，并不是高度，而是低度，也就是比AB的水平位置低了多少（為正）可求出左邊函數(shù)的頂點(diǎn)低度為8（即頂點(diǎn)C比AB低八個(gè)單位長），所以另一個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)低度為8±10，然后計(jì)算！20、題新定義幾何。

模型新補(bǔ)：等邊三角形的新6大模型。如圖，顯然在等邊三邊截取等長，連接后依然為等邊。當(dāng)然這個(gè)結(jié)論還是比較簡單的，但是它的逆命題（已知三角形DEF為等邊求證三角形ABC為等邊）也是成立的，這就不簡單了，需要用到分類思想和反證法。如圖，做高，高的和是定值且是大等邊的高。如圖任意的三角形，在外邊做三個(gè)等邊，連線后，有等線段。動(dòng)圖圖解三角形費(fèi)馬點(diǎn)加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題）等邊內(nèi)部的點(diǎn)到三邊距離和為定值，就是高。

幾何模型100多個(gè)匯總！（點(diǎn)下方圖片了解終身會(huì)員課程詳情）篇?jiǎng)龠^一百篇）各個(gè)是精品。（歡迎大家分享，轉(zhuǎn)發(fā)，收藏）幾何模型經(jīng)典系列20個(gè)系列，可以同步講也可以初三復(fù)習(xí)。源自于課本，高出于課本。進(jìn)階模型18個(gè)系列：（新增，未完待續(xù)……）模型新補(bǔ)15個(gè)系列：阿圓特例模型的用法，用相似倒相似，就是這么神奇??？交互探究系列：

擁有最多幾何性質(zhì)的函數(shù)：反比例函數(shù)。反比例函數(shù)雖然是初中三大函數(shù)中看起來最簡單的一個(gè)，但是真要研究幾何性質(zhì)，恐怕是最多的。網(wǎng)上有很多大神總結(jié)了幾十條性質(zhì)。今天我僅僅展示一些常用，或者可能會(huì)考到的，初中階段可以學(xué)習(xí)的性質(zhì)，供大家觀賞！01面積系列。面積性質(zhì)應(yīng)該是初中最常用的了，以下面積紅藍(lán)相等。03經(jīng)典線段關(guān)系。

你說三角函數(shù)不算函數(shù)？）除了一次函數(shù)，還有二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其實(shí)這三種函數(shù)的高寬比都有各自的特點(diǎn)。取一個(gè)頂點(diǎn)和其他任意點(diǎn)，高寬比并不是常數(shù)，根據(jù)過原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式易得，高比寬方才為定值（就是二次項(xiàng)系數(shù)a）。綜上我們得出結(jié)論，二次函數(shù)存在高比寬方，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)的時(shí)候，高比寬方為a(二次項(xiàng)系數(shù)),當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)都不是頂點(diǎn)的時(shí)候，高比寬（方）的值，與兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān).(到底有什么關(guān)系？

函數(shù)中的幾何性質(zhì)：一次函數(shù)的幾何性質(zhì)。02一次函數(shù)的高寬比：因?yàn)閎 的變化就是直線平移（而且可以看做橫著平移也可以看做豎著平移，也可以看做任何方向的平移），也就是說平移不改變k(和高寬比)，也就是平行直線k相等。04關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)和直線。而且顯然，一條直線關(guān)于另一條條直線對(duì)稱，所得直線的斜率只跟他倆的斜率有關(guān)?。坑辛岁P(guān)于一次函數(shù)的這些知識(shí)，以后在做幾何問題的時(shí)候（計(jì)算），可以采用建立坐標(biāo)系的方法。

數(shù)學(xué)問題中的李逵和李鬼（第二集）原題：原題是小學(xué)面積問題，很簡單。改編題：不知道是故意還是無意，有人故意扣下去一塊面積，這就導(dǎo)致難度上升了，而且還打著小學(xué)題的名頭四處招搖撞騙。騙得無數(shù)小學(xué)老師暈頭轉(zhuǎn)向！真正的方法需要99%的初中知識(shí)和1%的高中知識(shí)，如下：扇形面積需要圓心角，這個(gè)角是正切值為3/4的角。按照標(biāo)準(zhǔn)方法只能用反正切表示了：