【原】與“整式的加減”相關(guān)的三類綜合題

妍小青 2025-09-07 發(fā)布于上海

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概述

“整式的加減”章節(jié)主要涵蓋以下知識點：單項式及其相關(guān)概念(單項式的次數(shù)、單項式的系數(shù)、同類項)、整式的概念、合并同類項(定義、方法、整式的項、整式的次數(shù)、將一個整式按一個字母進(jìn)行升冪或降冪排列)、整式的加減運(yùn)算。

在學(xué)習(xí)時，運(yùn)用類比的方法，將“有理數(shù)”和“一次式”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷遷移到“整式”的運(yùn)算中，將“數(shù)”的運(yùn)算拓寬到“式”的運(yùn)算，感受數(shù)式通性。

類型1：與點的運(yùn)動相關(guān)的綜合題

與點的運(yùn)動相關(guān)的綜合題，解題關(guān)鍵在用含t的代數(shù)式表示距離。同時注意對于數(shù)軸上的點的運(yùn)動過程，若不確定哪個點較大，則距離要加絕對值；如果能判斷兩個點的大小，那么距離=“右側(cè)的點-左側(cè)的點”。

解法分析：本題是整式的加減運(yùn)算和數(shù)軸、絕對值、點的運(yùn)動相結(jié)合的綜合問題。

本題的第(1)問根據(jù)絕對值的意義，列出三個方程，從而求出a、b、c的值。

本題的第(2)問和第(3)問涉及到了點的運(yùn)動過程，需要注意是點的運(yùn)動方向，可以用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動的距離，進(jìn)而表示出運(yùn)動后的甲、乙、丙的位置。值得注意的是第(2)問限定了t的取值范圍，因此可以去掉絕對值符號；而第(3)問由于未確定t的范圍，因此需要帶著絕對值符號進(jìn)而求解。

類型2：與圖形周長面積相關(guān)的綜合題

圖形周長和面積相關(guān)的綜合題的解題關(guān)鍵在于“用字母表示未知邊的邊長”，列出相應(yīng)的式子進(jìn)而根據(jù)題意解決問題。

解法分析：本題的解題關(guān)鍵在于用字母a表示出較長直角邊的邊長和大正方形的面積，進(jìn)而利用割補(bǔ)法求解兩個正方形的面積，通過計算可以發(fā)現(xiàn)這兩個正方形的面積差是一個定值。

解法分析：本題的解題關(guān)鍵在于用字母表示正方形①、②、③的邊長、以及小長方形的長和寬；將另一個不規(guī)則陰影部分的圖形通過平移線段轉(zhuǎn)化成長方形。進(jìn)而用字母表示出兩個陰影部分的周長。

解法分析：本題的解題關(guān)鍵在于用含a、b、AD的式子表示出兩個長方形的面積。將a和b標(biāo)注在圖上，然后可以求出兩個長方形的邊長。由于最終的代數(shù)式的值與AD的長度無關(guān)，因此通過合并同類項后，含AD的項的系數(shù)為0，即可求得a、b滿足的關(guān)系式。

類型3：與新定義相關(guān)的綜合題

對于新定義問題，解題的關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)定義解決問題。同時看懂定義下舉的例子，便于問題解決。

解法分析：本題的解題關(guān)鍵在于讀懂定義。第(1)問代入定義中，實際就是求m的值。本題的第(2)問需要讀懂新的運(yùn)算律。第①問其實是定義的兩種逆運(yùn)算；第②問中需要將所求拆成D(3)和D(5)的和或差。特別的對于D(20)需拆成2D(2)+D(5)，而D(2)在第(1)問中已經(jīng)求了，代入即可。

解法分析：本題的解題關(guān)鍵在于讀懂定義。第(1)問根據(jù)定義判斷“同類整式”；第(2)同樣運(yùn)用定義，結(jié)合同類項的意義，通過合并同類項，求出m和n的值；本題的第(3)問的難點在于①根據(jù)方程是一元一次方程，則二次項系數(shù)為0；②方程有正整數(shù)解和a為整數(shù)需要結(jié)合因數(shù)的意義求解；③D和E是“同類整式”則a和k不等于0。

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