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麥克斯韋用了十多年的時(shí)間，通過多篇論文，最終將這些方程整理成如今的形式。當(dāng)時(shí)的主要難題在于，法拉第提出的“場(chǎng)”的概念非常難以理解，因?yàn)椤皥?chǎng)”這種東西本質(zhì)上是看不見摸不著的。如今，我們已經(jīng)習(xí)慣于將電場(chǎng)和磁場(chǎng)視為基本概念，認(rèn)為它們是無法再簡(jiǎn)化的。
然而，對(duì)于當(dāng)時(shí)的科學(xué)家來說，這一點(diǎn)并不顯而易見。正因如此，麥克斯韋不得不借助類比和機(jī)械模型來闡釋。從今天的角度看，這些模型可能顯得很離奇甚至有些荒誕。但麥克斯韋卻非常嚴(yán)肅地對(duì)待這些方法。為了真正理解他的研究成果，我們必須回到那個(gè)時(shí)代，了解麥克斯韋對(duì)電磁學(xué)在科學(xué)中地位的獨(dú)特見解。電磁輻射毫無疑問是麥克斯韋最重要的貢獻(xiàn)。而電磁學(xué)的研究最早可以追溯到法國(guó)工程師兼物理學(xué)家?guī)靵觯ㄟ^實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)靜止帶電粒子之間的作用力遵循平方反比定律。
這種力是靜態(tài)的，因?yàn)殡姾刹⑽匆苿?dòng)。后來，加爾瓦尼通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將兩種不同的金屬插入青蛙的腿中，可以讓青蛙的腿產(chǎn)生抽動(dòng)的現(xiàn)象。令人驚訝的是，這一發(fā)現(xiàn)揭開了電流存在的奧秘。伏特進(jìn)一步推測(cè)，這種現(xiàn)象一定與不同金屬的特性有關(guān)，于是他開始研究，并成功發(fā)明了早期的電池模型。通過這項(xiàng)工作，他首次找到了能夠穩(wěn)定產(chǎn)生電流的可控電源。直到那時(shí)，電和磁仍被認(rèn)為是不同的現(xiàn)象。1820年，這一認(rèn)知發(fā)生了改變，當(dāng)時(shí)漢斯·克里斯蒂安·奧斯特發(fā)現(xiàn)，指南針的針在靠近通電導(dǎo)線時(shí)會(huì)移動(dòng)。因此，他證明了電流總是會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。很快，多個(gè)實(shí)驗(yàn)接踵而至，電與磁的密切關(guān)系被廣泛接受。然而，這種關(guān)系缺乏一個(gè)合理的解釋。最有說服力的解釋由法國(guó)物理學(xué)家安培提出，麥克斯韋稱他為“電學(xué)的牛頓”。這一稱號(hào)十分貼切，因?yàn)樵诎才嗪团ｎD的理論中，一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)可以在沒有直接接觸的情況下受到另一個(gè)物體的影響。然而，法拉第的觀點(diǎn)完全不同。他認(rèn)為電磁相互作用是通過場(chǎng)來實(shí)現(xiàn)的，而不是通過遠(yuǎn)距離的直接作用。這些場(chǎng)存在于磁體和電流周圍的空間中，起到了一種媒介的作用。然而，當(dāng)時(shí)的大多數(shù)科學(xué)家，尤其是英國(guó)以外的科學(xué)家，并未意識(shí)到這一觀點(diǎn)的重要性，主要原因在于法拉第缺乏數(shù)學(xué)上的支持。相比之下，安培的研究在數(shù)學(xué)上非常嚴(yán)謹(jǐn)，更容易被接受。因此，法拉第的追隨者，特別是開爾文和麥克斯韋，承擔(dān)起了將這種基于場(chǎng)的理論方法進(jìn)行數(shù)學(xué)形式化的任務(wù)。麥克斯韋在完成這項(xiàng)工作時(shí)，充分發(fā)揮了他在愛丁堡和劍橋求學(xué)期間培養(yǎng)的技能、洞察力和科學(xué)態(tài)度。那個(gè)時(shí)代，電和磁的研究涵蓋四個(gè)必須納入完整理論的基本領(lǐng)域：- 電磁學(xué)（奧斯特發(fā)現(xiàn)的電流的磁效應(yīng)）；
- 電磁感應(yīng)（法拉第本人發(fā)現(xiàn)的變化磁場(chǎng)的電效應(yīng)）。
麥克斯韋在開始數(shù)學(xué)推導(dǎo)之前，選擇先深入理解法拉第的研究和直覺。這一選擇事實(shí)證明非常明智。法拉第的研究啟發(fā)了麥克斯韋，從散度（Divegence）和旋度（Curl）的角度去思考電和磁的現(xiàn)象，就像觀察水流的運(yùn)動(dòng)一樣。在深入了解麥克斯韋如何推導(dǎo)這些方程之前，我們需要先掌握兩個(gè)稍顯專業(yè)的術(shù)語：散度和旋度。散度用來描述在某一點(diǎn)，流體是如何從該點(diǎn)向外擴(kuò)散或向內(nèi)聚集的。
在圖示中，可以看到一個(gè)水從中散開的源頭，這個(gè)點(diǎn)的散度為正；而水匯聚的地方稱為匯，這里的散度為負(fù)。在其他既沒有擴(kuò)散也沒有聚集的地方，散度為零。散度可以同時(shí)存在多個(gè)源頭和匯，廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、電磁學(xué)和矢量微積分領(lǐng)域。旋度，顧名思義，是衡量流體在某一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)或扭曲程度的。例如，在流動(dòng)的河流中放入一根小樹枝，如果樹枝開始原地旋轉(zhuǎn)，那么該點(diǎn)有旋度。在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的區(qū)域，旋度為正；而在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的區(qū)域，旋度為負(fù)。
麥克斯韋在電磁學(xué)領(lǐng)域的第一篇論文是《論法拉第的力線》，于1855年發(fā)表。麥克斯韋提出，電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以被看作是不可壓縮的流體。所謂不可壓縮，是指流體無法被壓縮到更小的體積。不可壓縮流體的一個(gè)關(guān)鍵特性是它的散度為零。這讓麥克斯韋能夠立即寫出描述磁場(chǎng)行為的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即磁場(chǎng)的散度為零。
這就是第一條麥克斯韋方程。它的解釋是，與電場(chǎng)不同，磁場(chǎng)沒有可以作為源頭或匯的正磁荷或負(fù)磁荷，磁極總是成對(duì)出現(xiàn)。而電場(chǎng)有正負(fù)電荷可以作為源頭或匯，因此電場(chǎng)的散度等于電荷密度。
在流體類比中，正電荷區(qū)域?qū)?yīng)于電場(chǎng)的源，而負(fù)電荷區(qū)域?qū)?yīng)于匯。這兩條方程也被稱為高斯定律，分別適用于電場(chǎng)和磁場(chǎng)，盡管最初是由拉普拉斯提出的。高斯定律可以用來推導(dǎo)庫(kù)侖定律，反之亦然。然而，流體類比的主要局限在于它無法解釋電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電流之間的相互作用。麥克斯韋的前兩條方程只描述了靜態(tài)電荷。他花了五年時(shí)間，在另一位偉大的科學(xué)家開爾文勛爵的啟發(fā)下，才發(fā)展出關(guān)于運(yùn)動(dòng)電荷的理論。開爾文和麥克斯韋一同努力，為法拉第的場(chǎng)概念提供數(shù)學(xué)框架。開爾文是分子旋渦理論的提出者，他假設(shè)原子是存在于充滿以太的空間中的旋渦。開爾文認(rèn)為，這些旋渦的旋轉(zhuǎn)可以用來作為磁場(chǎng)的模型。需要指出的是，這一旋渦理論可能是最早的原子結(jié)構(gòu)理論。開爾文認(rèn)為，不同種類的旋渦中心的結(jié)扣可以對(duì)應(yīng)不同的化學(xué)元素。麥克斯韋的朋友彼得·泰特甚至對(duì)這些結(jié)扣進(jìn)行了分類，最多包括10個(gè)交叉點(diǎn)，從而催生了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的結(jié)理論。
然而，隨著更多元素被發(fā)現(xiàn)，人們逐漸認(rèn)識(shí)到任何理性的結(jié)扣分類都無法解釋化學(xué)元素，這一理論也被逐步放棄。盡管如此，麥克斯韋對(duì)開爾文的方法表現(xiàn)出極大的興趣。
他提出了一種模型，設(shè)想整個(gè)空間都充滿了旋渦管。這些旋渦管代表磁場(chǎng)，其旋轉(zhuǎn)速度越快，磁場(chǎng)就越強(qiáng)。然而，這些旋轉(zhuǎn)的旋渦管會(huì)因摩擦而逐漸損耗能量。為了解決這一問題，麥克斯韋提出了一個(gè)實(shí)際的方案：在旋渦管之間加入滾珠軸承，并將這些滾珠視為電粒子。在導(dǎo)體中，這些滾珠可以自由移動(dòng)，從而形成電流；而在絕緣體中，它們則被固定在原位。1861年，他發(fā)表了一篇名為《論物理力線》的論文，提出了包含這些機(jī)械模型的理論。
在這篇論文中，他使用六邊形來表示旋渦，滾珠則是承載電流的粒子。令人驚嘆的是，這一模型可以解釋當(dāng)時(shí)已知的所有電磁現(xiàn)象。
在他的圖示中，旋渦速度的變化對(duì)應(yīng)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化。這種變化會(huì)導(dǎo)致滾珠因相鄰旋渦速度的變化而旋轉(zhuǎn)。由于旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)于旋度，他得出了第三條麥克斯韋方程：電場(chǎng)的旋度等于磁場(chǎng)的變化，
接下來是最后一條方程的推導(dǎo)。讓我們考慮麥克斯韋的機(jī)械模型。
在中心有一條電流，電流迫使旋渦以環(huán)形結(jié)構(gòu)圍繞導(dǎo)線旋轉(zhuǎn)。磁場(chǎng)線正確地形成環(huán)繞電流的閉合回路，這為我們提供了如下關(guān)系：磁場(chǎng)的旋度與電場(chǎng)的變化成正比，
麥克斯韋通過這些機(jī)械模型意識(shí)到，該方程需要一個(gè)修正項(xiàng)，即位移電流。這給出了最終的麥克斯韋方程：磁場(chǎng)的旋度等于電場(chǎng)的變化加上位移電流，
這些分子旋渦被建模為彈性物體，因此可以計(jì)算出擾動(dòng)傳播的速度。通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，麥克斯韋驚訝地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)速度等于光速。在這一過程中，電學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)被統(tǒng)一起來。盡管這些機(jī)械模型給了麥克斯韋很大的啟發(fā)，但隨著時(shí)間推移，他對(duì)這些模型逐漸失去了信心。最終，在1865年，34歲的麥克斯韋發(fā)表了一篇具有里程碑意義的論文《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》。在這篇論文中，他完全放棄了具體的分子旋渦模型，而是以更加抽象的形式構(gòu)建了整個(gè)理論，不再依賴任何特殊的假設(shè)?？茖W(xué)史學(xué)家惠特克對(duì)此評(píng)價(jià)道：“在這篇論文中，整個(gè)理論體系的架構(gòu)得以展現(xiàn)，徹底擺脫了最初搭建時(shí)所依賴的腳手架。”
與建立這些方程的手段完全獨(dú)立。這一理論最終形成了一種電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論。雖然仍帶有機(jī)械理論的性質(zhì)，但它變得更加抽象和普遍，而不再局限于具體的圖解模型。電場(chǎng)和磁場(chǎng)成為無法還原為機(jī)械模型的抽象概念。這一點(diǎn)并不難理解，因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的單位是能量的平方根（例如，每立方米焦耳的平方根），而這種平方根形式的能量無法直接被測(cè)量。盡管從現(xiàn)代視角看，麥克斯韋的論文是19世紀(jì)最重要的科學(xué)成就之一，僅次于達(dá)爾文的《物種起源》。但在其發(fā)表后超過20年的時(shí)間里，麥克斯韋的理論基本上被忽視了。即使是曾與他密切合作的開爾文，也認(rèn)為麥克斯韋的論文難以理解。麥克斯韋的理論只是當(dāng)時(shí)許多電磁學(xué)理論之一，人們并不清楚它相比于安培的理論有何優(yōu)勢(shì)。麥克斯韋復(fù)雜的機(jī)械模型讓問題更加難以理解。另一個(gè)原因是，麥克斯韋過于謙遜。在1870年的一次大型會(huì)議上，麥克斯韋將自己的理論描述為“另一個(gè)電學(xué)理論”，完全低估了它的重要性。然而，與其他電磁學(xué)理論相比，麥克斯韋理論的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，它獨(dú)特地預(yù)言了光是一種電磁波。麥克斯韋的理論的最終驗(yàn)證出現(xiàn)在他去世十年后。當(dāng)時(shí)德國(guó)物理學(xué)家亨利?！ず掌澩ㄟ^一系列經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，證明了電磁波的存在。赫茲發(fā)現(xiàn)，可以在距離其裝置較遠(yuǎn)的地方檢測(cè)到電磁感應(yīng)效應(yīng)。這些波的頻率與發(fā)射器的電感和電容相關(guān)。當(dāng)他計(jì)算這些波的速度時(shí)，發(fā)現(xiàn)它與光在真空中的速度一致。赫茲知道這些波是電磁波，因?yàn)樗幕鸹ㄩg隙發(fā)射器能夠產(chǎn)生它們。這成為麥克斯韋方程有效性的最終證明。麥克斯韋的模型成為理論物理學(xué)中模型建構(gòu)的一個(gè)極端例子。麥克斯韋最初以20個(gè)變量的復(fù)雜系統(tǒng)表達(dá)了他的電磁理論。后來，奧利弗·亥維賽和吉布斯將其簡(jiǎn)化為我們今天熟知的四個(gè)優(yōu)雅的矢量方程。麥克斯韋理論的最終意義遠(yuǎn)超其在解釋和統(tǒng)一電與磁現(xiàn)象上的直接成就。它成為20世紀(jì)物理學(xué)偉大勝利的原型，例如愛因斯坦的相對(duì)論、量子力學(xué)、楊-米爾斯廣義規(guī)范不變性理論，以及被稱為標(biāo)準(zhǔn)模型的粒子與場(chǎng)的統(tǒng)一理論。這些理論都基于麥克斯韋在1865年引入的動(dòng)力場(chǎng)概念。
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