今天，就是2025年了。新年的第一天，一定要給這個(gè)特殊的年份2025賦予一點(diǎn)更多的意義。那就從數(shù)學(xué)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)吧。

1

2025年是一個(gè)平方數(shù)年。因?yàn)?025是一個(gè)平方數(shù)，它可以看成是45的平方，即452=2025。

像這樣的平方數(shù)其實(shí)很多，但是完全平方年的出現(xiàn)并不頻繁。上一個(gè)平方數(shù)年是1936年（44的平方），下一個(gè)平方數(shù)年是2116年（46的平方）。對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，一生中只能遇到一次完全平方年，而能夠經(jīng)歷兩次的，無(wú)疑是長(zhǎng)壽的幸運(yùn)者。

2

再特殊一點(diǎn)，把2025這個(gè)數(shù)從中間分割開，就是20和25?？梢娝那皟晌?0與后兩位25之和的平方，恰好等于2025自身。即（20+25）2=2025，是不是特別神奇呢？

這樣的數(shù)也被稱為卡布列克怪?jǐn)?shù)（雷劈數(shù)）?？ú剂锌藬?shù)是由數(shù)學(xué)家卡布列克在研究數(shù)字時(shí)發(fā)現(xiàn)的。類似這樣的數(shù)還有81，3025等。如果你還感興趣，可以再去找找這樣的數(shù)。

3

2025恰好等于所有的一位數(shù)的立方之和。即

13+23+33+……+93=（1+2+3+……9）2=452=2025

這里就涉及到立方和公式，

這個(gè)公式可以用多種方法進(jìn)行推導(dǎo)，這里從可視化的角度直觀理解。

還可以這樣去思考，也能直觀證明。

4

2025還是一個(gè)哈沙德數(shù)。它是指能夠被其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和整除的自然數(shù)。舉例說(shuō)明，12是十進(jìn)制下的哈沙德數(shù)，因?yàn)槠涓鱾€(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為1+2=3，12能被3整除，所以12是十進(jìn)制下的哈沙德數(shù)。

2025還特殊在它還是一個(gè)二重哈沙德數(shù)。因?yàn)?span style="font-size: medium;">被自己的數(shù)字之和整除的結(jié)果，依然為哈沙德數(shù)。

2025÷（2+0+2+5）=225；225÷（2+2+5）=29。

這里2025是哈沙德數(shù)，它被自己的數(shù)字之和整除的結(jié)果是225，而225還是哈沙德數(shù)。可見，2025真的是奇妙的數(shù)。

5

2025還是一個(gè)三角數(shù)。2025可以等于前63個(gè)正整數(shù)之和，即

1+2+3+……+63=2025。

可見，三角數(shù)即正整數(shù)前n項(xiàng)和。這里就相當(dāng)于等差數(shù)列求和，也可以和梯形的面積公式聯(lián)系在一起。

1， 

3=1+2，

6=1+2+3， 

10=1+2+3+4， 

15=1+2+3+4+5， 

……

n(n+1)/2=1+2+3+?+n，

這里，可以用1個(gè)圓球表示1，把它們用圖直觀畫好。

我們可以用倒序相加的方法得到Tn=(n(n+1))/2

可見，任意兩個(gè)連續(xù)三角數(shù)的和是一個(gè)平方數(shù)。

那如果1+2+……+2025的和又是多少呢？

6

2025既可以被5整除，還可以被9整除。

如果一個(gè)數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

假設(shè)這個(gè)數(shù)是abcd。

那么abcd÷9=（1000a+100b+10c+d）÷9

=（999a+99b+9c+a+b+c+d）÷9

=（999a+99b+9c）÷9+（+a+b+c+d）÷9

可見，上面的紅色部分肯定可以被9整除，只要藍(lán)色部分被9整除就可以了。

7

2025還能被25整除。

如果一個(gè)數(shù)的末兩位能被25整除，這個(gè)數(shù)就能被25整除。

假設(shè)這個(gè)數(shù)是abcd。

那么abcd÷25=（100ab+cd）÷25

=ab×100÷25+cd÷25

可見，上面的紅色部分肯定可以被25整除，只要藍(lán)色部分被25整除就可以了。

8

2025也是一個(gè)勾股數(shù)。勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)。

即272+362=452=2025。

常見勾股數(shù)有幾種通式（n都為正整數(shù)）

3n,4n,5n；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1；

22（n+1），[2（n+1)]2-1，[2（n+1)]2+1

……

根據(jù)一個(gè)數(shù)，如何生成一組勾股數(shù)呢？可以分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)看。

如果這個(gè)數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，平方后拆成連續(xù)兩個(gè)數(shù)。

452=2025=1012+1013，這樣452+10122=10132。

如果這個(gè)數(shù)是一個(gè)偶數(shù)，也要先求平方。平方的一半再拆成差2的兩個(gè)數(shù)。

9

2025還是一個(gè)奇數(shù)，因?yàn)樗荒鼙?整除。

2025可以進(jìn)行因數(shù)分解，2025=3⁴_×5²，由此它的因數(shù)包括1、3、5、9、15、27、45、75、81、135、225、405、675、2025?？梢?，它的因數(shù)一共有15個(gè)。

可見，2025是恰好有15個(gè)因數(shù)的整數(shù)中，最小的奇數(shù)。

如何快速地算出一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)呢？可以用指數(shù)加1再連乘得到：（4+1）×（2+1）=15。

10

關(guān)于2025，還有一些有意思的事情。

2025年7月24日，將成為“畢達(dá)哥拉斯日”，因?yàn)?²+24²=25²。

另外，2025是9乘9乘法表中元素的總和。

2025還可以寫成幾個(gè)連續(xù)的整數(shù)之和。

如2025=674+675+676（3個(gè)加數(shù)之和）

2025=11+12+……+64（54個(gè)加數(shù)之和）

……

如果用1～9這9個(gè)數(shù)字，只用四則運(yùn)算和括號(hào)，也可以算出2025，而且方法很多種，期待你的挑戰(zhàn)！

看來(lái)，2025是一個(gè)非常有意思的一年，期待在新的一年所愿皆如愿！