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傅里葉變換是一種在各個領(lǐng)域都經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)工具。這個網(wǎng)站將為你介紹傅里葉變換能干什么，為什么傅里葉變換非常有用，以及你如何利用傅里葉變換干漂亮的事。就像下面這樣：  我將為你解釋這個動畫是如何工作的，沿途為你詳細(xì)地解釋傅里葉變換！ 這次旅途結(jié)束后，你將會掌握下面這些知識：
我們現(xiàn)在暫時不提那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式。傅里葉背后的數(shù)學(xué)原理十分有趣，但最好還是先從它的實(shí)際應(yīng)用開始，以及為什么要使用它。如果你想了解更多，下面提供了一些進(jìn)一步的閱讀建議！ 傅里葉變換是什么簡而言之，傅里葉變換把一個輸入信號分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數(shù)數(shù)學(xué)方法一樣，這個名字來自一個名叫傅立葉的人。 讓我們從一些簡單的例子開始，然后繼續(xù)前進(jìn)。首先，我們來看看什么是波 —— 波隨著時間的推移，一直按照某一規(guī)律變化。 這是一個波的例子：  這個波可以分解為兩個正弦波的疊加。也就是說，當(dāng)我們將兩個正弦波相加時，就會得到原來的波。  傅里葉變換可以讓我們從一個復(fù)雜的波形里面，把構(gòu)成這個波的單個正弦波分離出來。在這個例子中，你幾乎可以通過“腦補(bǔ)”完成這一操作。 為什么？事實(shí)證明，現(xiàn)實(shí)世界中的許多事物間的互相交互，都是基于正弦波。我們通常將這種波的快慢的性質(zhì)，稱為波的頻率。 最明顯的例子就是聲音 —— 當(dāng)我們聽到聲音時，我們聽不到那條波浪線，但我們聽到構(gòu)成聲音的正弦波的不同頻率。 能夠在計(jì)算機(jī)上區(qū)分這兩個音調(diào)，我們就可以了解一個人實(shí)際可以聽到的內(nèi)容。我們可以理解聲音的高低，或弄清楚這個波包含了什么音符。 一些波看起來不像由正弦波構(gòu)成，我們也可以用這個分解的過程來進(jìn)行分析。 我們來看看這個家伙吧。這個波稱為方波。  雖然看起來不太可能，但它確實(shí)也可以分解成正弦波。  這次我們需要很多 —— 理論上是無限多的正弦波來完美地表達(dá)一個方波。隨著我們加入越來越多的正弦波，疊加出的波形就越來越接近方波。 在視覺上，你會注意到前幾個正弦波的疊加可以在結(jié)果中產(chǎn)生最大差異。滑塊滑到一半時，就有一些方波的樣子了，但它看起來搖擺不定。加上更多小的正弦波，組合出的波形看起來就平坦了。 當(dāng)播放這個波形時，你會發(fā)現(xiàn)使用的正弦波少時，聲音聽起來更低沉一些。這是因?yàn)槲覀儼迅哳l率的成分去掉了。 這一過程可以用來處理任何有周期的波。試一試，畫一個你喜歡的波形吧。  隨便畫一個波形都能用多個正弦波表示
和上一個方波類似，除了有些額外的擺動之外，滑塊移動到中間位置，生成的波形就很接近你畫的了。 我們可以利用這個事實(shí)：使用傅里葉變換，我們可以把音頻中最重要的成分表達(dá)出來，并且得到和原始聲音非常接近的波形。 在計(jì)算機(jī)中，波形以一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的形式來存儲。  我們可以做的是，將聲音表示為一堆正弦波。然后可以通過忽略掉較小幅度的高頻成分來壓縮聲音。盡管得出的波形與原始波形不一樣，但是聽起來將會和原始聲音很接近。  這基本上就是MP3做的事情。MP3除此之外還可以更聰明地知道需要保留哪些頻率以及扔掉哪些頻率。 所以在這種情況下，我們可以使用傅里葉變換來理解波的基本屬性，然后我們可以將它用于數(shù)據(jù)的壓縮之類的事情。 好的，現(xiàn)在讓我們深入了解傅立葉變換。下一部分看起來很酷，也讓你更加了解傅立葉變換的作用。但大多只是“看起來”很酷。 周轉(zhuǎn)圓在開始時，我介紹了傅里葉變換可以將事物分成正弦波。但更酷的是，它產(chǎn)生的正弦波不僅僅是一般的正弦波，它們都是“三維”的正弦波。你可以稱之為“復(fù)雜的”正弦曲線，或者，“螺旋”。  如果我們從側(cè)面看，它們看起來像正弦波。但是，從正面看，它們看起來像圓圈。  到目前為止，我們所做的一切只需要常規(guī)的2D正弦波。當(dāng)我們對2D波進(jìn)行傅里葉變換時，“復(fù)雜的”部分被忽略了，所以我們最終也只能得到正弦波。 但是我們可以使用3D正弦波來制作看起來很有趣的東西，就像這個： 這里發(fā)生了什么事情呢？ 我們可以將一個手繪圖理解為一個3D的形狀，因?yàn)辄c(diǎn)的位置在隨時間移動。如果你想象一個人正在繪制一只手，那么這三個維度就代表了某一時刻鉛筆尖的位置。除了x和y維度告訴我們筆尖的位置，還有一個時間維度。 現(xiàn)在我們有一個3D的形狀，我們不能使用常規(guī)2D正弦波把它表示出來。無論我們添加多少2D正弦波，我們都永遠(yuǎn)不會得到3D。所以我們需要些別的東西。 我們可以使用的是之前的3D螺旋正弦波。如果我們添加很多這些螺旋，得到的東西就看起來像我們的3D形狀。 請記住，當(dāng)我們從前面看它們時，這些波浪看起來像圓圈。圍繞另一個圓圈移動的圓圈圖案，被稱為“周轉(zhuǎn)圓”。 像以前一樣，我們只用幾個圓圈就可以很好地近似表達(dá)出原始圖案。因?yàn)檫@是一個相當(dāng)簡單的形狀，所有后面添加的小圓都是使邊緣更加銳利。 這些適用于任何一個圖案。真的，現(xiàn)在你創(chuàng)作的機(jī)會來了。 同樣，你會發(fā)現(xiàn)，對于大多數(shù)形狀，我們可以用很少的圓圈很好地近似表達(dá)它們，要保存一個形狀，我們不必保存形狀上所有的點(diǎn)。 這個方法可以應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)嗎？答案是可以！實(shí)際上，我們有另一種稱為SVG的數(shù)據(jù)格式，比我們在這里繪制圖案更好用一些。所以目前，我們只是制作了些炫酷的小GIF。 然而，還有另一種類型的視覺數(shù)據(jù)使用傅里葉變換。 JPEGs你知道傅立葉變換除了可以表達(dá)簡單的手繪線條，還可以用于圖像嗎？事實(shí)上，我們一直都在使用它，因?yàn)檫@就是JPEG的工作原理！我們將相同的原理應(yīng)用于圖像 —— 將某些東西分成一堆正弦波，然后只存儲重要的東西。 要處理圖像，我們需要一種不同類型的正弦波。我們需要這樣的一種“正弦波”：無論我們有什么樣的圖像，我們都可以添加一堆這些正弦波來回到原始圖像。 要做到這一點(diǎn)，我們使用的每個正弦波也將是一個個小圖像。我們現(xiàn)在使用一些黑白條紋的小圖像，這些更可以表達(dá)為“線”，而不是波。為了表示“波”的大小，每個圖像將具有或多或少的明暗對比。 我們也可以以類似的方式表示出顏色，但我們先從灰度圖像開始玩。為了表示灰度圖像，我們需要一些水平的波圖案， 還有一些垂直的波圖案。 就其本身而言，只有水平和垂直圖像還不足以表達(dá)出我們可以看到的圖像。我們還需要一些額外的圖案，將兩者相乘。 要得到一個8x8分辨率的圖像，這里是我們需要的所有小圖案。 如果我們把這些小圖案的對比度調(diào)整到適當(dāng)?shù)闹?，然后將它們相加，我們就可以得出任意圖像。 讓我們從一個字母'A'開始。它非常小，但我們需要它很小，否則我們最終會得到太多其他的圖像。 隨著我們添加越來越多的這些圖案，我們最終得到的東西越來越接近實(shí)際圖像。我覺得你只要添加很少一部分圖案，就能看出字母“A”的樣子來。 對于實(shí)際的JPEG圖像來說，這就是基本原理，剩下的只有一些額外的細(xì)節(jié)。 圖像被分解為8x8塊，每個塊分別進(jìn)行分解。我們使用一組頻率來確定每個像素的亮度或暗度，然后是另外兩組用于顏色，一組用于紅綠色，另一組用于藍(lán)黃色。我們?yōu)槊總€塊使用的頻率個數(shù)決定了JPEG圖像的品質(zhì)。 這是一個實(shí)際的JPEG圖像，放大后我們可以看到細(xì)節(jié)。當(dāng)我們改變JPEG品質(zhì)水平時，可以觀察出畫質(zhì)的區(qū)別。
總結(jié)讓我們回顧一下：
這只是表面上的一些淺層次應(yīng)用。傅里葉變換是一個非常強(qiáng)大的工具，因?yàn)閷⑹挛锓纸獬刹煌l率是十分重要的分析方法。它們被用于許多領(lǐng)域，包括電路設(shè)計(jì)，移動網(wǎng)絡(luò)信號，磁共振成像（MRI）和量子物理！
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