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柯西分布也稱為柯西一洛倫茲分布，是一種特殊的概率分布，其概率密度函數(shù)為 式中，x0為定義分布峰值位置的位置參數(shù)；γ為最大值一半處的一半寬度的尺度參數(shù)。x0=0的柯西分布的圖像。藍(lán)、紅、紫三條曲線對(duì)應(yīng)的柯西分布的γ值分別為0.5、1、2。柯西分布可以看作是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從相同正太分布(正態(tài)分布)的隨機(jī)變量之商的分布。換句話說，設(shè)X～N(μ,σ2)和Y～N(μ,σ2)，那么X/Y就服從柯西分布。柯西分布的一個(gè)重要特征是它沒有期望和方差。因?yàn)榘凑掌谕亩x， 上式右邊的反常積分不收件。直觀地理解就是柯西分布的“尾巴”太粗。根據(jù)方差的定義：D(X)=E((X-E(X))2)沒有期望，所以沒有期望自然也就沒有方差。這兩個(gè)特點(diǎn)——沒有期望和方差——讓柯西分布在現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用中顯得有些特別。比如，在金融市場(chǎng)上，有些極端事件的發(fā)生概率就是用柯西分布來描述的，因?yàn)檫@些事件的影響可以非常巨大，以至于常規(guī)的統(tǒng)計(jì)方法無法很好地捕捉到。 在物理學(xué)中，柯西分布是描述受迫振動(dòng)的微分方程的解。在光譜學(xué)中，它描述了被共振或者其他機(jī)制加寬的譜線形狀。
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