【原】平面直角坐標(biāo)系中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形存在性問(wèn)題

妍小青 2024-12-25 發(fā)布于上海

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平面直角坐標(biāo)系中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的三角形存在性問(wèn)題一共有三類，可以分為相似三角形的存在性問(wèn)題、等腰三角形的存在性問(wèn)題和直角三角形的存在性問(wèn)題，今天所講的是第二類：相似三角形的存在性問(wèn)題。對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的相似三角形存在性問(wèn)題，首選的辦法在于尋找“已知三角形”和“目標(biāo)三角形”（需求解的三角形）之間的“等角”，再利用相似三角形的判定2建立比例關(guān)系，從而求出“目標(biāo)三角形”中未知點(diǎn)的坐標(biāo)。

類型1 當(dāng)目標(biāo)三角形的邊長(zhǎng)便于表示的情況

【例1】“已知三角形”與“目標(biāo)三角形”中有一組公共角

步驟1：根據(jù)題意畫出圖形（圖1），標(biāo)出所有已知點(diǎn)的坐標(biāo).

步驟2：進(jìn)行分類討論，由于已知三角形△AOB和未知三角形△ADP有一組公共角，因此若這兩個(gè)三角形相似，則存在兩種情況：

步驟3：由于△AOB與△ADP有一組公共角∠A，因此根據(jù)相似三角形的判定2可以列出兩組比例關(guān)系.

步驟4：利用距離公式求出線段長(zhǎng)度，代入比例式中求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).

【例2】“已知三角形”與“目標(biāo)三角形”中有一組等角(特殊角，如45°或135°角)

步驟1：根據(jù)題意畫出圖形（圖4），標(biāo)出所有已知點(diǎn)的坐標(biāo).

步驟2：從圖形來(lái)看，已知三角形與目標(biāo)三角形沒(méi)有公共角，但是通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)∠BAC=∠ACD=45°，因此確定了點(diǎn)E在射線CA上.

步驟3：由于△ABC與△CDE有一組等角∠BAC=∠ACD，因此根據(jù)相似三角形的判定2可以列出兩組比例關(guān)系.

步驟4：利用距離公式求出線段長(zhǎng)度，代入比例式中求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).

【例2】“已知三角形”與“目標(biāo)三角形”中有一組等角(銳角三角比相同)

步驟1：根據(jù)題意畫出圖形（圖9），標(biāo)出所有已知點(diǎn)的坐標(biāo).

步驟2：從圖形來(lái)看，已知三角形與目標(biāo)三角形沒(méi)有公共角，同時(shí)“已知三角形”中沒(méi)有特殊角.若P在B的下方，則∠ABP>∠BAC，不合題意，則P在B的上方.如圖10，通過(guò)延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D，通過(guò)計(jì)算得tan∠ABD=tan∠C，這也進(jìn)一步說(shuō)明了P在B的上方.

步驟3：由于△ABC與△ABP有一組等角∠ABD和∠C，因此根據(jù)相似三角形的判定2可以列出兩組比例關(guān)系.

步驟4：利用距離公式求出線段長(zhǎng)度，代入比例式中求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).

類型2 當(dāng)目標(biāo)三角形的邊長(zhǎng)不便于表示的情況

步驟1：根據(jù)題意畫出圖形，標(biāo)出所有已知點(diǎn)的坐標(biāo).

步驟2：進(jìn)行分類討論，由于三角形△APM和△BPM都不是確定的，但是作出圖形后，可知這兩個(gè)三角形有一組等角：∠APM=∠BPN，且△APM為直角三角形，因此△BPN也是直角三角形：

①當(dāng)∠BNP=90°（圖12）；②當(dāng)∠PBN=90°（圖13）.

步驟3：利用對(duì)稱性和解直角求解點(diǎn)的坐標(biāo).

變式問(wèn)題

解法分析：△ACP與△PBF這兩個(gè)三角形都是不確定的，因此只有確定了點(diǎn)P的位置，才能對(duì)這兩個(gè)三角形相似的存在性進(jìn)行進(jìn)一步地討論.由于P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，因此需要進(jìn)行以下的分類討論（圖14-圖16）：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí).