兩位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)新方法，原來「p² nq²」形式的素?cái)?shù)真有無限多個(gè)

安喜的空間 2024-12-24

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選自quantamagazine

作者：Joseph Howlett

機(jī)器之心編譯

機(jī)器之心編輯部

一項(xiàng)新的證明，讓數(shù)學(xué)家們離理解「算術(shù)原子」素?cái)?shù)的隱藏順序更近了一步。

素?cái)?shù)，即「只能被它們自己和 1 整除的數(shù)」，可以說是數(shù)學(xué)中最基本的組成部分。

素?cái)?shù)的神秘之處在于：乍一看，它們似乎隨意散布在數(shù)軸上，但實(shí)際上并不是隨機(jī)的，而是完全確定的。仔細(xì)觀察它們，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各種奇怪的模式。

數(shù)學(xué)家們花了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間試圖解開這些模式。如果能更好地理解素?cái)?shù)是如何分布的，就能照亮數(shù)學(xué)宇宙的廣闊天地。

雖然數(shù)學(xué)家們可以憑借一些公式大致了解素?cái)?shù)的位置，卻還是無法準(zhǔn)確地找到它們，因此不得不采取更間接的方法。

公元前 300 年左右，歐幾里得證明了素?cái)?shù)的數(shù)量是無限的。此后，數(shù)學(xué)家們以歐幾里得的定理為基礎(chǔ)，為符合其他標(biāo)準(zhǔn)的素?cái)?shù)證明了同樣的說法。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：是否有無數(shù)個(gè)不包含數(shù)字 7 的素?cái)?shù)？

隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)家們把這些標(biāo)準(zhǔn)變得越來越嚴(yán)格。通過證明仍然有無限多的素?cái)?shù)滿足這種越來越嚴(yán)格的限制，他們逐漸深入地了解素?cái)?shù)的存在環(huán)境。但問題是，這類定理很難證明。

近日，來自牛津大學(xué)的 Ben Green 和哥倫比亞大學(xué)的 Mehtaab Sawhney 證明了一個(gè)特別具有挑戰(zhàn)性的素?cái)?shù)類型的定理 —— 是否存在無窮多個(gè)形式為 p2 4q2 的素?cái)?shù)，其中 p 和 q 也必須是素?cái)?shù)？

Ben Green（左）和 Mehtaab Sawhney（右）。

這兩位數(shù)學(xué)家的證明在今年 10 月份以預(yù)印本的形式發(fā)布，不僅加深了數(shù)學(xué)家對(duì)素?cái)?shù)的理解，還利用了數(shù)學(xué)中不同領(lǐng)域的一套工具，表明這些工具遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)家們想象的要強(qiáng)大得多，并有可能成熟地應(yīng)用于其他領(lǐng)域。

論文標(biāo)題：Primes of the form p2 nq2
論文鏈接：https:///pdf/2410.04189

長(zhǎng)期以來的嘗試

數(shù)學(xué)家總是傾向于研究那些復(fù)雜到足以引起興趣，但又簡(jiǎn)單到足以取得進(jìn)展的素?cái)?shù)族。例如，他們可能試圖證明有無限多個(gè)相距 500 個(gè)單位的素?cái)?shù)?；蛘?，我們可以通過把其他數(shù)的平方相加，來建立無限多的素?cái)?shù)。

最后一個(gè)約束特別有用，它引導(dǎo)了幾個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)進(jìn)步。1640 年，費(fèi)馬（Pierre de Fermat）猜想有無限多的素?cái)?shù)可以通過兩個(gè)整數(shù)的平方和相加來表示。例如，素?cái)?shù) 13 可以寫成 22 32。歐拉（Leonhard Euler）后來證明了這一猜想。

但是，只要對(duì)問題稍作調(diào)整：比如堅(jiān)持要求其中一個(gè)平方數(shù)是奇數(shù)，或者是完全平方數(shù)，問題就會(huì)變得更難。

Ben Green 表示：「對(duì)一個(gè)集合的約束越多，找到其中的素?cái)?shù)就越難?！?/span>

在 19 世紀(jì)，對(duì)這類定理的研究促進(jìn)了現(xiàn)代數(shù)論的發(fā)展。在 20 世紀(jì)，它激發(fā)了迄今為止最雄心勃勃的數(shù)學(xué)工程之一：朗蘭茲計(jì)劃。而在 21 世紀(jì)，對(duì)這類素?cái)?shù)的研究不斷產(chǎn)生新的技術(shù)和見解。

2018 年，羅格斯大學(xué)的 Friedlander 和 Henryk Iwaniec 提出了一個(gè)問題：是否存在無窮多個(gè)形式為 p2 4q2 的素?cái)?shù)，其中 p 和 q 也必須是素?cái)?shù)？(例如 41 = 52 4 × 22.）

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，處理這一約束條件特別具有挑戰(zhàn)性。但如果數(shù)學(xué)家們能解決這個(gè)問題，他們就能成功地對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行新一層次的控制，而這正是他們一直希望做到的。

一次有價(jià)值的訪問

Green 和 Sawhney 以前都沒有玩過這種素?cái)?shù)游戲，但他們都有研究素?cái)?shù)產(chǎn)生的奇特規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)。

今年 7 月，兩位數(shù)學(xué)家在愛丁堡的一次會(huì)議上相遇了。剛從研究生院畢業(yè)的 Sawhney 一直很崇拜 Green。

Green 20 年前證明的一個(gè)開創(chuàng)性結(jié)果是將他帶入這個(gè)學(xué)科的原因之一。Sawhney 表示：「我當(dāng)時(shí)就想天啊，你怎么能做到這一點(diǎn)？」

同時(shí)，格林也對(duì)這位年輕的數(shù)學(xué)家印象深刻：「Mehtaab 是一位杰出的數(shù)學(xué)家，他無所不知。」

兩人決定合作。他們只需要找到合適的問題。經(jīng)過一番討論，他們最終確定了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想。

Green 邀請(qǐng) Sawhney 到牛津大學(xué)訪問一周。他們知道，要證明類似的猜想，數(shù)學(xué)家們通常要依靠一套特定的計(jì)數(shù)技術(shù)。但由于他們問題中的素?cái)?shù)定義過于嚴(yán)格，二人無法找出讓這套傳統(tǒng)工具發(fā)揮作用的方法。

相反，他們希望用一種更迂回的方式來證明這一猜想 —— 走一步數(shù)學(xué)棋。但首先，他們必須證明他們是可以走這步棋的。

在 Sawhney 訪問結(jié)束時(shí)，他和 Green 已經(jīng)知道了如何做到這一點(diǎn)，從而證明了這個(gè)猜想。為此，他們與數(shù)學(xué)的另一個(gè)領(lǐng)域建立了驚人的聯(lián)系。

嘗試另一個(gè)集合

在 Green 和 Sawhney 看來，根本不可能通過計(jì)算兩個(gè)素?cái)?shù)的平方并將其相加來直接計(jì)算素?cái)?shù)的數(shù)量。但是，如果他們稍微放松一下限制，結(jié)果會(huì)怎樣？他們意識(shí)到他們可以解決一個(gè)稍微弱一些的版本 —— 其中被平方的數(shù)只需「大致粗略」是素?cái)?shù)。

相比于素?cái)?shù)，粗略素?cái)?shù)（rough prime）更容易找到。假設(shè)你要統(tǒng)計(jì) 1 到 200 之間有多少個(gè)粗略素?cái)?shù)。

首先，先看看最小的素?cái)?shù)有哪些 ——2、3、5、7。然后列出所有無法被這些素?cái)?shù)整除的數(shù)。這些數(shù)就是粗略素?cái)?shù)。在這種情況下，你最終會(huì)得到 50 個(gè)粗略素?cái)?shù)：其中 46 個(gè)真是素?cái)?shù)，而另外四個(gè)不是素?cái)?shù)（121、143、169 和 187）。由于粗略素?cái)?shù)的分布的隨機(jī)性遠(yuǎn)低于素?cái)?shù)的分布，因此它們更容易處理。Sawhney 說：「粗略素?cái)?shù)是我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)更加了解的集合?！?/span>

Tamar ?Ziegler ?在素?cái)?shù)方面的開創(chuàng)性工作使研究人員能夠?qū)⒁环N名為 Gowers 范數(shù)的數(shù)學(xué)技術(shù)移植到一個(gè)新領(lǐng)域。

Green 和 Sawhney 已經(jīng)證明，通過對(duì)兩個(gè)粗略素?cái)?shù)求平方并將它們相加可以得到無窮多個(gè)素?cái)?shù)?，F(xiàn)在他們只需證明這個(gè)陳述暗示了他們實(shí)際想要解決的問題：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)可以寫成真實(shí)素?cái)?shù)的平方和。

但這無法顯而易見地推導(dǎo)出來。他們必須為該問題的每個(gè)版本都分析一個(gè)特殊的函數(shù)集 —— 稱為 I 型與 II 型和（Type I and Type II sums），然后證明：不管使用何種約束條件，這些和都是等價(jià)的。只有這樣，Green 和 Sawhney 才能知道他們可以將粗略素?cái)?shù)代入他們的證明中，同時(shí)不丟失任何信息。

他們很快意識(shí)到：他們可以使用一個(gè)工具來證明這些和是等價(jià)的，并且他們各自之前都在自己的研究工作中使用過這個(gè)工具。這個(gè)工具被稱為 Gowers 范數(shù)，是數(shù)學(xué)家 Timothy Gowers 幾十年前開發(fā)的，原本是用于度量一個(gè)函數(shù)或數(shù)集的隨機(jī)或結(jié)構(gòu)化程度。從表面上看，Gowers 范數(shù)似乎屬于完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。Sawhney 說：「不了解它的人幾乎無法看出這些東西存在關(guān)聯(lián)?！?/span>

但使用數(shù)學(xué)家陶哲軒和 Tamar Ziegler 在 2018 年證明的里程碑結(jié)果，Green 和 Sawhney 發(fā)現(xiàn)了一種方法來建立 Gowers 范數(shù)與 I 型與 II 型和之間的聯(lián)系。本質(zhì)上，他們需要使用 Gowers 范數(shù)來證明他們的兩組素?cái)?shù)足夠相似，即使用粗略素?cái)?shù)構(gòu)建的集合和使用實(shí)素?cái)?shù)構(gòu)建的集合。

事實(shí)證明，Sawhney 知道該怎么做。今年早些時(shí)候，為了解決一個(gè)與之無關(guān)的問題，他開發(fā)了一種使用 Gowers 范數(shù)比較集合的技術(shù)。他沒想到的是，該技術(shù)足以證明這兩個(gè)集合具有相同的 I 型和 II 型和。

技術(shù)在手，Green 和 Sawhney 證明了 Friedlander 和 Iwaniec 的猜想：可以寫成 p2 4q2 形式的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。最后，他們還成功擴(kuò)展了他們的結(jié)果，證明了：其它素?cái)?shù)族的素?cái)?shù)也有無窮多個(gè)。對(duì)于這類進(jìn)展通常很罕見的問題而言，這著實(shí)是一個(gè)重大突破。

更重要的是，這項(xiàng)工作表明 Gowers 范數(shù)可以作為一個(gè)新領(lǐng)域的強(qiáng)大工具。Friedlander 說：「因?yàn)樗侨绱诵路f，至少在數(shù)論的這個(gè)部分，它有可能做到很多其他的事情?！箶?shù)學(xué)家們現(xiàn)在希望進(jìn)一步擴(kuò)大 Gowers 范數(shù)的范圍 —— 嘗試用它來解決數(shù)論中素?cái)?shù)計(jì)數(shù)問題之外的其他問題。

「看到我以前想到的東西有了意想不到的新應(yīng)用，我感到很有趣?！筞iegler 說，「這就像為人父母，當(dāng)你放開孩子，他們長(zhǎng)大后會(huì)做出神秘而意想不到的事情?！?/span>

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來自：安喜的空間 > 《天地理化生技軍》

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