第三級

1.在 中，  。在邊   上取點(diǎn)  ，使得  。設(shè)   為線段   上的一點(diǎn)，使得  。證明  。

2.在蒂格雷有2024個島嶼，其中一些島嶼通過雙向橋連接。已知可以通過僅使用橋梁（可能多個）從任何島嶼到達(dá)任何其他島嶼。在其中的個島嶼上有旗幟（ ）。安娜想要破壞一些橋梁，以便在這樣做之后，滿足以下兩個條件：

• 如果一個島嶼有旗幟，它連接到奇數(shù)個島嶼。
• 如果一個島嶼沒有旗幟，它連接到偶數(shù)個島嶼。

確定所有k的值，以便安娜總是可以實(shí)現(xiàn)她的目標(biāo)，無論初始橋梁配置如何，以及哪些島嶼有旗幟。

3.給定一個整數(shù)集  ，一個允許的操作包括以下三個步驟：

• 選擇一個正整數(shù)  。
• 選擇   個元素  ，不一定是不同的。
• 將多項(xiàng)式   的所有整數(shù)根添加到集合   中。

貝托必須選擇一個初始集合   并執(zhí)行幾個允許的操作，以便在過程結(jié)束時   包含其元素中的整數(shù)  。確定最小的  ，使得存在一個初始集合   有   個元素，允許貝托實(shí)現(xiàn)他的目標(biāo)。

4.有個國家：阿根廷、巴西、秘魯和烏拉圭。每個國家由個島嶼組成。在一些島嶼之間有橋梁來回通行?？逅棺⒁獾?，每當(dāng)他使用橋梁在一些島嶼之間旅行時，不使用相同的橋梁兩次，并在他開始旅程的島嶼結(jié)束，他將不可避免地訪問至少每個國家的一個島嶼。確定可能存在的最大橋梁數(shù)量。

5.設(shè)   為大于1的正整數(shù)集。求所有函數(shù)  ,使得對于所有整數(shù)對  ,均有：

說明： 是   和   的最大公約數(shù)， 是   和   的最小公倍數(shù)。

6.設(shè)   為一個銳角三角形，滿足  ，設(shè)   為其垂心。設(shè)  、 、 和   分別為  、 、 和   的中點(diǎn)。證明三角形  、 和   的外接圓經(jīng)過同一個點(diǎn)。

第二級

1.安娜畫了一個棋盤，至少有20行和24列。然后，貝托必須使用以下兩種類型的棋子完全覆蓋這個棋盤，不留空隙或重疊：每個棋子必須正好覆蓋棋盤上的4個或3個方塊，如圖所示，不超出棋盤。允許旋轉(zhuǎn)棋子，并且不必使用所有類型的棋子。解釋為什么無論安娜的棋盤有多少行和多少列，貝托總能完成他的任務(wù)。

2.設(shè)   為一個三角形，滿足  ，內(nèi)切圓  ，和外接圓  。設(shè)   為角   的外角平分線與線   的交點(diǎn)。設(shè)   為不包含   的弧   的中點(diǎn)。設(shè)   為   的中點(diǎn)， 為   與   的交點(diǎn)。證明   和   垂直。

3.設(shè)  、 、 為正整數(shù)。證明對于無窮多個正奇數(shù)  ，存在一個整數(shù)  ，使得   整除  。

4.設(shè)   為一個正整數(shù)。一個非遞減的正整數(shù)序列   被稱為  -里奧普蘭德，如果存在一個索引   使得  。證明每個  -里奧普蘭德序列也是  -里奧普蘭德，對于  。

5.設(shè)   為一個正整數(shù)。安娜和貝托在一個   的棋盤（2行   列）上玩一個游戲。首先，安娜在棋盤的每個格子中寫一個從1到9的數(shù)字，使得每個列中的兩個數(shù)字不同。然后，貝托擦除每列的一個數(shù)字。從左到右讀取，形成一個   位的數(shù)字。如果這個數(shù)字是   的倍數(shù)，貝托贏；否則，安娜贏。確定在以下情況下哪位玩家有獲勝策略：
(a)  。 (b)  。

6.設(shè)   為一個三角形，滿足   且  。設(shè)   為從   到   的垂足， 為   的中點(diǎn)， 為   關(guān)于   的對稱點(diǎn)。設(shè)   的中垂線與   和   分別交于   和  。設(shè)   為   和   的交點(diǎn)。證明   是三角形   外接圓的切線。