【基礎(chǔ)數(shù)學(xué)】數(shù)學(xué)分析Ⅲ：微分形式簡(jiǎn)介

taotao_2016 2024-12-19

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為了便于理解，我們先從數(shù)學(xué)分析的角度，而不直接從流形的角度來(lái)引入微分形式.

一、微分形式

二、微分形式的外積

三、外微分

一、微分形式

（一）一階微分形式

設(shè) $f(\boldsymbol x) = f(x_1,x_2\cdots,x_n)$ 是定義在 $\mathbb R^n(n\geqslant 2)$ 中的一個(gè)可微函數(shù)，則它的微分是

$\displaystyle\mathrmopkdopnojkf=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\mathrmopkdopnojkx_i.$

現(xiàn)在拋開(kāi)微分的幾何意義，來(lái)觀看右邊的表達(dá)式，可以認(rèn)為 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\mathrmopkdopnojkx_i$ 是 $\mathbb R^n$ 中點(diǎn) $\boldsymbol x$ 處的一個(gè)關(guān)于 $(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)$ 的線性組合. 因此，我們可以將 $(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)$ 看作一組基，對(duì)給定 $\mathbb R^n$ 中的一個(gè)區(qū)域 $D$ ， $D$ 內(nèi)連續(xù)可微函數(shù)的全體 $C^1(D)$ 在這組基上的線性組合

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^n&a_i(\boldsymbol{x})\mathrmopkdopnojkx_i\\&(a_i(\boldsymbol{x})\in C^1(D), i=1,2,\cdots,n) \end{aligned}$

稱(chēng)為 $D$ 內(nèi)的一個(gè)一次微分形式或1-形式，一般用 $\omega,\eta$ 來(lái)記之. 所有內(nèi)的1-形式的全體記為 $\varLambda^1(D)$ . 固定區(qū)域 $D$ 后，也直接記為 $\varLambda^1$ .

在

\varLambda^1

內(nèi)，我們可以自然地定義加法與數(shù)乘.

\displaystyle\omega_{1}+\omega_{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{1}(\boldsymbol{x})+a_{i}^{2}(\boldsymbol{x})\right) \mathrmopkdopnojk x_{i} \in \varLambda^{1}

\displaystyle\lambda \omega=\sum_{i=1}^{n}\left(\lambda a_{i}(\boldsymbol{x})\right) \mathrmopkdopnojk x_{i} \in \varLambda^{1},

不難驗(yàn)證，上述兩種運(yùn)算滿(mǎn)足一個(gè)線性空間所要求的運(yùn)算定律，從而

\varLambda^1

構(gòu)成一個(gè)線性空間.

（二）二次微分形式

進(jìn)一步，在

(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)

中任取2個(gè)組成二元有序元，記為

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j

，稱(chēng)為

\mathrm dx_i

與

\mathrm dx_j

的外積（暫時(shí)把它看作一種形式記號(hào)）.

仿照向量的外積，規(guī)定

\begin{aligned} \mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j = -\mathrm dx_j\wedge\mathrm dx_i,\quad \mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_i =0,\\ i,j = 1,2,\cdots,n.\end{aligned}

因此有

\mathrm C^2_n

個(gè)有序元

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j,\quad 1\leqslant i<j\leqslant n.

同

\varLambda^1

的構(gòu)造類(lèi)似，以這些有序元為基就可以構(gòu)造一個(gè)

C^1(D)

上的向量空間

\varLambda^2

\varLambda^2

的元素稱(chēng)為二次微分形式，簡(jiǎn)稱(chēng)2-形式. 于是

\varLambda^2

的元素就可以表為

\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}g_{ij}(\boldsymbol x ) \mathrmopkdopnojkx_{i} \wedge \mathrmopkdopnojkx_{j}.

這稱(chēng)為2-形式的標(biāo)準(zhǔn)形式.

（三）

k

次微分形式

進(jìn)一步，現(xiàn)對(duì)任意的

k\ (1 <k\leqslant n)

，在

(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)

中取

k

個(gè)元素，將其形式地記成

\mathrm dx_{i_1}\wedge\mathrm dx_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx_{i_k}

，這里

\wedge

暫且作為一個(gè)形式記號(hào). 然后規(guī)定

\begin{aligned} \mathrmopkdopnojk x_{i_{1}} & \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j}} \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j+1}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{k}} \& =-\mathrmopkdopnojk x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j+1}} \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{k}} \end{aligned}

而且如果

i_1,i_2,\cdots,i_k

有兩個(gè)是相同的，則外積等于0. 因此我們有

\mathrm C^k_n

個(gè)有序元

\mathrmopkdopnojkx_{i_1}\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_k}\quad(1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n).

我們將以這

\mathrm{C}^k_n

個(gè)有序元作為基并且系數(shù)在

{C}^1(D)

的線性空間記為

\varLambda^k

\varLambda^k

中的元素稱(chēng)為

k

次微分形式（differential form of degree

k

），簡(jiǎn)稱(chēng)

k

-形式（

k

-form）. 一般我們還是用

\omega,\eta

等來(lái)記它們. 從定義知道，對(duì)于

\forall \omega\in\varLambda^k

有如下表達(dá)式

\displaystyle\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n}a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})\mathrmopkdopnojkx_{i_1}\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_k},

其中

a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})\in C^1(D)

\omega

的這種表示稱(chēng)為它的標(biāo)準(zhǔn)形式.

（四）特殊的例子

特別地，我們將

C^1(D)

記為

\varLambda^0

，即

\varLambda^0

是

D

內(nèi)連續(xù)可微函數(shù)的全體，它的基是

f(\boldsymbol x)= 1

，從而它是一維線性空間.

另外，我們記

0

為任意次零微分形式.

當(dāng)

k=n

時(shí)，

\varLambda^n

只有一個(gè)基

\mathrm dx_{1}\wedge\mathrm dx_{2}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx_{n}

，從而

\varLambda^n

也是一維線性空間.

在 $\mathbb R^2$ 中可記 $(x_1,x_2)=(x,y)$ . 在 $\mathbb R^3$ 中，我們記 $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$ . 例如，在 $\mathbb R^3$ 中設(shè) $\omega\in\varLambda^2$ ，則 $\omega$ 的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中 $P,Q,R$ 是 $\mathbb R^3$ 中的連續(xù)可微函數(shù).

二、微分形式的外積

（一）定義

現(xiàn)在把

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j

中的

\wedge

理解為一種運(yùn)算. 事實(shí)上，外積運(yùn)算建立了不同次微分形式空間的聯(lián)系.

特殊地，先考慮任意一次微分形式

\omega,\eta\in\varLambda^1

：

\omega=a_{1}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{1}+a_{2}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{2}+\cdots+a_{n}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{n},

\eta=b_{1}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{1}+b_{2}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{2}+\cdots+b_{n}\left(\boldsymbol x\right)\mathrmopkdopnojkx_{n},

定義

\omega

與

\eta

的外積是

\begin{aligned} \omega\wedge\eta & =\sum_{i,j=1}^na_i(\boldsymbol x)b_j(\boldsymbol x)\mathrmopkdopnojkx_i\wedge\mathrmopkdopnojkx_j \\[1.5ex] & =\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}(\boldsymbol x)b_{j}(\boldsymbol x)-a_{j}(\boldsymbol x)b_{i}(\boldsymbol x))\mathrmopkdopnojkx_{i}\wedge\mathrmopkdopnojkx_{j} \\[1.5ex] & =\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} \begin{vmatrix} a_i(\boldsymbol{x}) & a_j(\boldsymbol{x}) \\[1.5ex] b_i(\boldsymbol{x}) & b_j(\boldsymbol{x}) \end{vmatrix}\mathrmopkdopnojkx_i\wedge\mathrmopkdopnojkx_j, \end{aligned}

它是

\varLambda^2

中的元素.

一般地，設(shè)

\begin{aligned} & \omega=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_p \leqslant n} a_{i_1 i_2 \cdots i_p}(\boldsymbol{x}) \mathrmopkdopnojk x_{i_1} \wedge \mathrm{~d} x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_p} \in \wedge^p, \\[2ex] & \eta=\sum_{1 \leqslant j_1<j_2<\cdots<j_q \leqslant n} a_{j_1 j_2 \cdots j_q}(\boldsymbol{x}) \mathrmopkdopnojk x_{j_1} \wedge \mathrm{~d} x_{j_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{j_q} \in \wedge^q, \end{aligned}

則

\begin{aligned} \omega \wedge \eta= & \sum_{\substack{1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_p \leqslant n \1 \leqslant j_1<j_2<\cdots<j_q \leqslant n}} a_{i_1 i_2 \cdots i_p}(\boldsymbol{x}) a_{j_1 j_2 \cdots j_q}(\boldsymbol{x}) \\[1.5ex] & \cdot \mathrmopkdopnojk x_{i_1} \wedge \mathrm{~d} x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_p} \wedge \mathrm{~d} x_{j_1} \wedge \mathrm{~d} x_{j_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{j_q} \in \wedge^{p+q}. \end{aligned}

（二）性質(zhì)

(1) 設(shè)

f_{1},f_{2}\in\varLambda^{0},\omega_{1},\omega_{2}\in\varLambda^{p},\eta\in\varLambda^{q}

，則有

(f_{1}\omega_{1}+f_{2}\omega_{2})\wedge\eta=f_{1}\omega_{1}\wedge\eta+f_{2}\omega_{2}\wedge\eta.

(2) (反對(duì)稱(chēng)性) 設(shè)

\omega\in\varLambda^{p},\eta\in\varLambda^{q}

，則有

\omega\wedge\eta=(-1)^{p+q}\eta\wedge\omega.

(3) 設(shè)

\omega,\eta,\theta

是任意三個(gè)微分形式，

\omega\wedge(\eta\wedge\theta)=(\omega\wedge\eta)\wedge\theta.

例設(shè)

\begin{pmatrix} x \y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x(u,v) \y(u,v) \end{pmatrix}

是

D\subset \mathbb R^2

到

\varOmega\in\mathbb R^2

的

C^1

同胚映射，求

\mathrm d x\wedge\mathrm d y

關(guān)于

\mathrm d u\wedge\mathrm d v

的表示.

解由微分定義

\displaystyle\mathrmopkdopnojkx=\frac{\partial x}{\partial u}\mathrmopkdopnojku+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrmopkdopnojkv,\quad\mathrmopkdopnojky=\frac{\partial y}{\partial u}\mathrmopkdopnojku+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrmopkdopnojkv,

因此

\begin{aligned} \mathrmopkdopnojkx\wedge\mathrmopkdopnojky & =\left(\frac{\partial x}{\partial u}\mathrmopkdopnojku+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrmopkdopnojkv\right)\wedge\left(\frac{\partial y}{\partial u}\mathrmopkdopnojku+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrmopkdopnojkv\right) \\[2ex] & =\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}-\frac{\partial v}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\mathrmopkdopnojku\mathrmopkdopnojkv=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\mathrmopkdopnojku\wedge\mathrmopkdopnojkv. \end{aligned}

三、外微分

微分形式的外微分是一個(gè)重要的運(yùn)算，利用它可以將許多我們學(xué)過(guò)的重要定理統(tǒng)一起來(lái).

（一）定義

下面我們先對(duì)

\mathbb R^\ (n\geqslant2)

中區(qū)域

D

內(nèi)的微分形式引進(jìn)外微分這一概念.

定義3.1.1 設(shè) $\omega∈\varLambda ^k\ (1\leqslant k\leqslant n)$ ，其形式為
$\displaystyle\omega=\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}(\boldsymbol{x})\mathrmopkdopnojkx_{i_{1}}\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_{k}},$
稱(chēng) $k+1$ 次微分形式
$\displaystyle\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n}\left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})}{\partial x_j}\mathrmopkdopnojkx_j\right)\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_1}\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrmopkdopnojkx_{i_k}$
為 $\omega$ 的外微分，記為 $\mathrm d\omega$ .

顯然，當(dāng)

\omega\in \varLambda^n

時(shí)，

\mathrm d\omega =0

當(dāng)

\omega\in\varLambda^k

，且

\omega

在

\varLambda^k

的基元素前面的系數(shù)函數(shù)是

D

內(nèi)的

C^1

函數(shù)時(shí)，稱(chēng)

\omega

是

C^1

微分形式，這時(shí)

\mathrm d\omega

的系數(shù)僅在

D

內(nèi)連續(xù). 若要討論二次外微分

\mathrm d(\mathrm d\omega)\equiv\mathrm d^2\omega

，則要假定

\omega

是

C^2

微分形式，即

\omega

中在基前面的系數(shù)函數(shù)在

D

內(nèi)具有各個(gè)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

（二）性質(zhì)

由定義直接知道外微分具有下述性質(zhì)：

(1) 設(shè)

\omega_1,\omega_2\in \varLambda^k

，則

\mathrm d(\omega_1+\omega_2) = \mathrm d\omega_1+\mathrm d\omega_2.

(2) 設(shè)

\omega\in \varLambda^k,\ \eta\in \varLambda^l

，則

\mathrm d(\omega\wedge\eta) = \mathrm d\omega\wedge\eta + (-1)^k\omega\wedge\mathrm d\eta

(3) 當(dāng)

\omega \in \varLambda^k

，且

\omega

是

C^2

微分形式時(shí)，

\mathrm d(\mathrm d\omega) = \mathrm d^2\omega = 0

下面求一些微分形式的外微分.

(1) 設(shè)

\omega=P(x,y)\mathrmopkdopnojkx+Q(x,y)\mathrmopkdopnojky,

\displaystyle\mathrmopkdopnojk\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrmopkdopnojkx\wedge\mathrmopkdopnojky.

(2) 設(shè)

\eta=P(x,y,z)\mathrmopkdopnojkx+Q(x,y,z)\mathrmopkdopnojky+R(x,y,z)\mathrmopkdopnojkz,

\begin{aligned} \mathrmopkdopnojk\eta & =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrmopkdopnojky\wedge\mathrmopkdopnojkz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrmopkdopnojkz\wedge\mathrmopkdopnojkx \\[2ex] & +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrmopkdopnojkx\wedge\mathrmopkdopnojky. \end{aligned}

(3) 設(shè)

\theta=P(x,y,z)\mathrmopkdopnojky\wedge\mathrmopkdopnojkz+Q(x,y,z)\mathrmopkdopnojkz\wedge\mathrmopkdopnojkx+R(x,y,z)\mathrmopkdopnojkx\wedge\mathrmopkdopnojky,

則

\displaystyle\mathrmopkdopnojk\theta=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrmopkdopnojkx\wedge\mathrmopkdopnojky\wedge\mathrmopkdopnojkz.

（三）統(tǒng)一的Stokes公式

我們?cè)赋?，給了 $\mathbb R^3$ 中的一個(gè)微分形式，我們很清楚它在 $\mathbb R^3$ 中什么樣的子集上可積分. 對(duì)于一個(gè)幾何體 $D$ （閉區(qū)域、曲面、曲線等），由上述外微分的表達(dá)式，Green公式、Gauss公式和Stokes公式可以統(tǒng)一地寫(xiě)成

\displaystyle\int_D\mathrm d\omega = \int_{\partial D}\omega,

其中

\omega

是

\overline D

上的一個(gè)微分形式，

\partial D

取正向. 這個(gè)公式也稱(chēng)為Stokes公式. 盡管如此，任何積分公式最后的計(jì)算以及它們的證明都必須要用到牛頓-萊布尼茨公式，所以人們還是稱(chēng)牛頓-萊布尼茨公式為微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）.

另外，當(dāng) $n\geqslant4$ 時(shí)，微分形式具有更多的形式，因此在 $\mathbb R^n$ 中具有更多可以討論積分問(wèn)題的子集. 關(guān)于這些問(wèn)題在微分流形課程中將做系統(tǒng)的介紹，在這里我們就不展開(kāi)這方面的內(nèi)容了.

參考文獻(xiàn)

陳紀(jì)修、於崇華、金路，2019：《數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）》第三版，高等教育出版社。

陳維桓，2017：《微分幾何》第二版，北京大學(xué)出版社。

伍勝健，2010：《數(shù)學(xué)分析（第三冊(cè)）》，北京大學(xué)出版社。

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來(lái)自： taotao_2016 > 《幾何》

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