西周初年，周公詢問(wèn)商高（商人“高”）如何天文測(cè)量，商高的回答是“圓從方來(lái)（參考割圓術(shù)），方從矩來(lái)，矩根據(jù)乘除計(jì)算而來(lái)”。其中，“乘除計(jì)算”是根據(jù)勾三股四弦五而來(lái)，即勾股定理。

由于當(dāng)時(shí)宇宙觀是天圓地方，且有“影差一寸、地差千里”這把“量天尺”，因此可以勾三股四弦五測(cè)量太陽(yáng)高度、宇宙長(zhǎng)度等，雖然結(jié)論肯定不對(duì)，但卻體現(xiàn)了古人的智慧。比如下圖，有興趣的翻閱筆者此前文章《周朝“宇宙模型”：如何算出日高8萬(wàn)里，宇宙直徑81萬(wàn)里？》。

關(guān)于勾股定理，相信不少人認(rèn)為商高或中國(guó)古人沒(méi)有論證，只是知道“勾三股四弦五”，不如古希臘的畢達(dá)哥拉斯。其實(shí)，《周髀算經(jīng)》并有“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之”等記載，已經(jīng)論證了勾股定理，上個(gè)世紀(jì)臺(tái)灣學(xué)者李國(guó)偉、陳良佐等都發(fā)表論文，考證商高已經(jīng)證明勾股定理。

當(dāng)然，本文重點(diǎn)談的不是商高有沒(méi)有論證這一話題，而是中國(guó)人為何會(huì)發(fā)現(xiàn)“勾股定理”，或者如何會(huì)發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”，考古發(fā)現(xiàn)超乎想象。搞清楚這一淵源，再看西方畢達(dá)哥拉斯定理由來(lái)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)西方歷史實(shí)在太過(guò)神奇。

任何一項(xiàng)偉大的發(fā)明，在出現(xiàn)之前，往往都有漫長(zhǎng)的鋪墊，勾股定理也是如此。

與古埃及蘇美爾不同，中國(guó)地理氣候是“四季分明”，對(duì)農(nóng)業(yè)有很多弊端，比如弊端之一是播種期很短，轉(zhuǎn)瞬即逝，一旦錯(cuò)過(guò)，來(lái)年就可能面臨饑荒。因此，不是想不想、愿不愿的問(wèn)題，而是現(xiàn)實(shí)逼迫古人要掌握農(nóng)時(shí)。

在長(zhǎng)期的天文觀測(cè)中，古人發(fā)現(xiàn)天象與季節(jié)存在關(guān)系，比如北斗星的斗柄轉(zhuǎn)向與季節(jié)、大火星（又稱龍星，非今天的火星，如七月流火意為天氣轉(zhuǎn)涼）變化與季節(jié)存在聯(lián)系等等，于是通過(guò)觀測(cè)星象確定農(nóng)時(shí)，即我們熟知的“觀象授時(shí)”，如此也就有了天文學(xué)。

但星象只能晚上觀測(cè)，如何在白天“觀象”呢？對(duì)此，古人發(fā)明了“立表測(cè)影”，即豎立一根“表”，與之垂直的圭尺放置于地面，觀測(cè)日影長(zhǎng)短。

其中，周髀算經(jīng)中指出“表”即“股”、即“髀”，而“股”就是腿骨。腿骨支撐人站立，表示起初是以人為尺度，即以人為立表測(cè)影之“表”，史記記載大禹就曾“身為度”。立表測(cè)影之“表”，由來(lái)應(yīng)是股—髀—表，不同時(shí)代不同稱呼。

據(jù)此，正午日影照射“表”或“股”，就在圭尺上“勾”出日影，不同季節(jié)日影長(zhǎng)度不一，古人據(jù)此判斷季節(jié)。但與此同時(shí)，這也構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，其中垂直的叫“股”，與“股”垂直的日影可叫“勾”，這就是勾股定理中的“勾股”由來(lái)。由于“立表測(cè)影”不僅能觀測(cè)季節(jié)，后來(lái)也演變?yōu)槿贞校^測(cè)白天各個(gè)時(shí)辰，所以后來(lái)手表才被叫做手表。

從立表測(cè)影到勾三股四弦五，雖然沒(méi)有直接的考古發(fā)現(xiàn)，但考古發(fā)現(xiàn)表明，中國(guó)古人很早就知道直角三角形，然后在漫長(zhǎng)的天文探索實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)勾三股四弦五的規(guī)律。對(duì)此，不妨看看以下三個(gè)考古發(fā)現(xiàn)。

首先，三角形是一個(gè)特殊的幾何形狀，自然界中不存在直接的三角形，因此必然是人造的形狀。以考古看，距今9000余年的賈湖遺址中出土夾炭紅陶三足盆形鼎，此后中國(guó)遺址中三足器等數(shù)不勝數(shù)，甚至等腰三角形的考古發(fā)現(xiàn)。因此，史前中國(guó)人對(duì)三角形已有一定認(rèn)知。

《葉家山出土三足青銅器的地域特征分析》中，指出湖北隨州葉家山墓地出土的青銅器上，“三個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形”。從史前大量三足器等來(lái)看，葉家山出現(xiàn)等腰三角形絕非偶然，背后折射的是古人對(duì)此已有一定探索。

其次，湖北秭歸柳林溪遺址，距今7000年以上，其中出土的陶?qǐng)A盤上，顯示的是原始洛書，也就是九宮圖前身。立表測(cè)影除了測(cè)時(shí)之外，還能辨方正位，太陽(yáng)東升西落，日影就指出東西方向，與之垂直的是南北。反過(guò)來(lái)說(shuō)，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)已有立表測(cè)影，應(yīng)該已經(jīng)關(guān)注直角三角形。

柳林溪之后，河南濮陽(yáng)西水坡遺址也有立表測(cè)影證據(jù)，山西陶寺遺址更進(jìn)一步。其中，陶寺遺址出土的圭尺表明當(dāng)時(shí)已有20節(jié)氣，可觀測(cè)20個(gè)節(jié)氣的觀象臺(tái)布置更是需要精確計(jì)算。

第三，甘肅大地灣仰韶晚期，出土了一組質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)器，其中條形盤容積約為264.3立方厘米，鏟形抄容積約為2650.7，箕形抄約為5288.4立方厘米，深腹罐容積約為26082.1。顯然，大地灣先民必然已經(jīng)掌握十進(jìn)制，也掌握一定幾何與計(jì)算知識(shí)，否則很難造出如此質(zhì)量器。

因此，至少在7000年前，中國(guó)古人在立表測(cè)影實(shí)踐中，應(yīng)該已經(jīng)關(guān)注直角三角形。長(zhǎng)期立表測(cè)影實(shí)踐，長(zhǎng)期天文觀測(cè)確定農(nóng)時(shí)的需求，且是在中國(guó)廣大區(qū)域內(nèi)的實(shí)踐，最終能發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”符合認(rèn)知邏輯。況且，商高生活在商末周初，相距柳林溪遺址有4000年，這么長(zhǎng)時(shí)間才探索出“勾三股四弦五”無(wú)疑更顯真實(shí)。

與中國(guó)勾股定理的由來(lái)截然不同，“畢達(dá)哥拉斯定理”的由來(lái)，實(shí)在.......太神奇了！

無(wú)論對(duì)三角形、還是對(duì)直角三角形，中國(guó)人很早就有認(rèn)知，勾股定理的出現(xiàn)更有漫長(zhǎng)的歷史。但西方問(wèn)題有二：其一，很晚才認(rèn)識(shí)到三角形；其二，運(yùn)用勾股數(shù)組卻很早。

古埃及認(rèn)識(shí)到三角形，據(jù)說(shuō)是因?yàn)樾枰熬_”分配被尼羅河泛濫的土地。既是精確分配土地，理應(yīng)進(jìn)入階級(jí)社會(huì)，且發(fā)展到一定程度，以古埃及歷史看，大概距今5000年左右。以考古看，蘇美爾認(rèn)識(shí)到三角形的時(shí)間，大概是距今5300年，此前沒(méi)有帶有三角形痕跡的實(shí)物出土。

接下來(lái)，就是見(jiàn)證奇跡的時(shí)候了。西方歷史說(shuō)：4500年前的古埃及，在建金字塔與測(cè)量土地時(shí)已運(yùn)用了勾股定理；5000年前的蘇美爾，已經(jīng)知道和應(yīng)用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組，“普林頓322”的泥板文書上還有很多勾股數(shù)。

也就是說(shuō)，此前連三角形都不知道的古埃及、蘇美爾，仿佛突然吃了“仙丹”一樣，然后就什么都懂了，壓根就不需要什么探索過(guò)程。以中國(guó)探索勾股定理的歷史來(lái)看，古埃及或蘇美爾大概是看一眼、想幾分鐘，然后就知道勾股定理了，神不神？

按照西方歷史描述，公元前六世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，于是西方稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

畢達(dá)哥拉斯嚴(yán)謹(jǐn)吧，但他認(rèn)為圓形最完美，于是“覺(jué)得”地球是圓形的，于是以理性著稱的古希臘科學(xué)家紛紛“覺(jué)得”畢達(dá)哥拉斯的“覺(jué)得”很合理。畢達(dá)哥拉斯又嚴(yán)謹(jǐn)、又感性，既科學(xué)又文藝，西方敘事中的類似科學(xué)家層出不窮！

參考資料：《周髀算經(jīng)》等