參數(shù)估計-區(qū)間估計

一知半解檢測員 2024-10-31

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參數(shù)估計（Parameter Estimation）是統(tǒng)計推斷的一種，指根據(jù)從總體中抽取的隨機(jī)樣本來估計總體分布中未知參數(shù)的過程。它主要處理兩個問題：一是求出未知參數(shù)的估計量；二是在一定信度（可靠程度）下指出所求的估計量的精度。信度一般用概率表示，如可信程度為95%；精度則用估計量與被估參數(shù)之間的接近程度或誤差來度量。

區(qū)間估計（Interval Estimation）是參數(shù)估計的一種形式，它在點估計的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍。這個區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到，用于表達(dá)估計值的不確定性。

區(qū)間估計的核心概念是置信區(qū)間和置信水平。置信區(qū)間是指按一定的概率或可信度（置信水平）用一個區(qū)間來估計總體參數(shù)所在的范圍。例如，我們可以說某藥品所含雜質(zhì)的比率在95%的置信水平下位于1%～2%之間。這里的“95%”就是置信水平，“1%～2%”則是置信區(qū)間。

在正態(tài)分布當(dāng)中，均值上下1.65個標(biāo)準(zhǔn)差可以覆蓋90%的樣本，均值上下1.96個標(biāo)準(zhǔn)差可以覆蓋95%的樣本，均值上下2.58個標(biāo)準(zhǔn)差可以覆蓋99%的樣本。也即

當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，

的值通?？梢酝ㄟ^查表獲得。

總體服從正態(tài)分布的情況下，樣本的均值。因此對于總體均值的估計的95%的置信水平下的區(qū)間估計為

總體正態(tài)分布，方差不可知的情況下，小樣本數(shù)據(jù)樣本均值的區(qū)間估計使用T統(tǒng)計量：

但是在總體正態(tài)分布，方差不可知的情況下，大樣本數(shù)據(jù)（樣本量大于30）可以近似認(rèn)為樣本均值。區(qū)間估計為因為大樣本的情況下T分布非常接近正態(tài)分布。其統(tǒng)計誤差可以忽略。

例子：估計某產(chǎn)品重量的置信區(qū)間

假設(shè)一家生產(chǎn)公司想要了解其生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的平均重量（以克為單位），但由于成本和實際操作的考慮，無法對所有產(chǎn)品進(jìn)行稱重。因此，公司決定從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個產(chǎn)品作為樣本，并測量這些產(chǎn)品的重量。樣本的平均重量為150克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10克?，F(xiàn)在，公司想要估計總體平均重量的95%置信區(qū)間。

步驟一：確定統(tǒng)計量和分布

在這個例子中，樣本均值（X?）是已知的，為150克。樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s）為10克，但總體標(biāo)準(zhǔn)差（σ）未知。由于樣本量（n=100）相對較大（通常認(rèn)為n≥30即為大樣本），我們可以使用正態(tài)分布來近似樣本均值的抽樣分布，即使總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，我們也可以利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計。

步驟二：選擇置信水平

公司選擇了95%的置信水平，這意味著我們希望總體平均重量落在所估計的區(qū)間內(nèi)的概率為95%。

步驟三：計算臨界值

對于95%的置信水平，我們需要找到正態(tài)分布中對應(yīng)于0.025和0.975的分位數(shù)（即Z值）。這些分位數(shù)分別是-1.96和1.96（這是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中得到的近似值）。

步驟四：計算置信區(qū)間

將已知的數(shù)值代入?yún)^(qū)間估計的公式中：

因此，我們可以說，在95%的置信水平下，該產(chǎn)品的總體平均重量位于148.04克到151.96克之間。

python 實現(xiàn)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 假設(shè)的總體參數(shù)
mu_true = 149  # 真實的總體均值
sigma_true = 11  # 真實的總體標(biāo)準(zhǔn)差

# 置信區(qū)間計算所需的參數(shù)
mu_sample = 150  # 樣本均值（假設(shè)）
sigma_sample = 10  # 樣本標(biāo)準(zhǔn)差（假設(shè)）
n = 100  # 樣本量
alpha = 0.05  # 顯著性水平

# 計算置信區(qū)間的臨界Z值（這里我們假設(shè)使用Z分布，實際上當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時應(yīng)使用T分布）
# 但為了簡化，我們假設(shè)樣本量足夠大，可以使用Z分布近似
z_crit = norm.ppf(1 - alpha / 2)

# 計算置信區(qū)間的上下界
lower_bound = mu_sample - z_crit * (sigma_sample / np.sqrt(n))
upper_bound = mu_sample   z_crit * (sigma_sample / np.sqrt(n))

# 繪制正態(tài)分布曲線
x = np.linspace(mu_true - 4*sigma_true, mu_true   4*sigma_true, 1000)
y = norm.pdf(x, mu_true, sigma_true)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, 'b-', label='Normal Distribution (True)')
# 標(biāo)記樣本均值
plt.axvline(x=mu_sample,c = 'orange',label='bar{x}')

# 標(biāo)記置信區(qū)間
plt.axvline(x=lower_bound, color='r', linestyle='--')
plt.axvline(x=upper_bound, color='r', linestyle='--')

# 填充置信區(qū)間區(qū)域
plt.fill_between(x, y, where=(x >= lower_bound) & (x <= upper_bound),
                 color='green', alpha=0.3, interpolate=True, label='95% Confidence Interval')

plt.title('Normal Distribution with 95% Confidence Interval')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.show()

注意

在實際應(yīng)用中，如果樣本量不是特別大且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，應(yīng)使用T分布而不是正態(tài)分布來計算置信區(qū)間。
置信區(qū)間的寬度取決于樣本量、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和置信水平。樣本量越大、樣本標(biāo)準(zhǔn)差越小、置信水平越低，置信區(qū)間越窄；反之則越寬。
置信區(qū)間是一個估計范圍，它并不能保證總體參數(shù)一定落在這個范圍內(nèi)，但我們可以根據(jù)置信水平來量化這種不確定性的程度。