女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我喜歡看、思考或與朋友討論各種各樣的埃舍爾作品。其中包括他畫的野花、意大利風(fēng)景、“不可能的圖形”和周期性的繪畫。我最喜歡的是他的野花。它們既有力度又微妙。它們強(qiáng)調(diào)本質(zhì)而忽略其他，這也是好的自然科學(xué)模型的特征。然而，我預(yù)計(jì)埃舍爾的周期性繪畫將是他所有作品中影響最持久的。本文探討了這些繪畫對(duì)科學(xué)家的吸引力。

當(dāng)引入廢除對(duì)稱平面的概念時(shí)，就意味著對(duì)稱平面已經(jīng)建立。的確如此，因?yàn)榉瓷涫亲畛Ｒ?jiàn)的對(duì)稱。說(shuō)到對(duì)稱，我們首先想到的是人體的兩側(cè)對(duì)稱，無(wú)論這種對(duì)稱多么近似。在這種情況下，對(duì)稱平面將人體一分為二。對(duì)稱平面在自然界和人類的創(chuàng)造物中無(wú)處不在。然而，就空間的良好利用而言，它的作用卻受到了極大的限制。本文要傳達(dá)的信息是，無(wú)論是埃舍爾的周期性繪畫，還是晶體結(jié)構(gòu)，抑或是生物分子的相互作用，對(duì)稱平面都不是常見(jiàn)的對(duì)稱元素。

最密堆積與互補(bǔ)

埃舍爾的周期性繪畫提供了最密堆積的模型。它們被廣泛用于展示二維圖案的對(duì)稱特性。在大多數(shù)情況下，最密堆積是通過(guò)結(jié)構(gòu)元素排列的互補(bǔ)性實(shí)現(xiàn)的。生成這些圖案的對(duì)稱運(yùn)算很少包括對(duì)稱平面。只有在結(jié)構(gòu)元素本身具有高度對(duì)稱性的極端情況下，才會(huì)涉及到對(duì)稱平面。然而，對(duì)于任意形狀的結(jié)構(gòu)，如果使用對(duì)稱平面，就會(huì)使相當(dāng)大塊的表面未被覆蓋，從而排除最密堆積。最密集堆積意味著最大限度地利用可用空間，無(wú)論是表面還是三維空間。當(dāng)然，在埃舍爾的作品和大多數(shù)晶體學(xué)教材中，重點(diǎn)都是二維平面。

最大限度地利用可用空間是最密集堆積的目標(biāo)。自伽利略以來(lái)，“大自然厭惡真空 ”這一經(jīng)驗(yàn)之談被反復(fù)提及，但卻很少有人仔細(xì)研究。我的論斷是，在自然界中尋找結(jié)構(gòu)元素最佳排列方式的最終目標(biāo)并非受這一原則支配。相反，在更深層次上存在著一個(gè)基本原則，即所尋求的排列方式應(yīng)該提供最大的穩(wěn)定性，也就是最低的總能量。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素之間可能發(fā)生的相互作用達(dá)到最大程度時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)這種情況，前提是這些元素具有吸引力。在這種情況下，當(dāng)相互作用的表面積達(dá)到最大時(shí)，相互作用的數(shù)量就會(huì)達(dá)到最大。兩個(gè)任意形狀相同的部件互補(bǔ)排列就能滿足這一條件。在一般情況下，如果兩塊材料通過(guò)一個(gè)對(duì)稱平面相連，互補(bǔ)性就遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到最大化。在此，我們將引用從盧克萊修到分子生物學(xué)最新發(fā)現(xiàn)的一些例子，來(lái)說(shuō)明互補(bǔ)性概念的實(shí)用性。

用盧克萊修的話說(shuō)

埃舍爾的畫是平面上最密集堆積的最美范例。一個(gè)物體的空隙被另一個(gè)物體的突起填滿。

盧克萊修（約公元前 96 年-約公元前 55 年，羅馬共和國(guó)末期的詩(shī)人和哲學(xué)家）在兩千年前就提出了最佳堆積排列的基本原則。事實(shí)上，他提出了互補(bǔ)原則。盧克萊修在他的《自然論》（Deerum natura）中指出：[3]

事物的面料呈現(xiàn)出相匹配的對(duì)立面、

一個(gè)凹，另一個(gè)凸，就會(huì)形成最緊密的結(jié)合，反之亦然。

重要的預(yù)測(cè)

分子晶體提供了自然界最密集堆積的無(wú)數(shù)實(shí)例。偉大的俄羅斯晶體學(xué)家亞歷山大·基塔哥羅斯基（Aleksandr I. Kitaigorodskii）在這一科學(xué)領(lǐng)域做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)。[4] 他預(yù)言，在晶體結(jié)構(gòu)中，低對(duì)稱性的三維空間群比高對(duì)稱性的空間群更為常見(jiàn)。這是在很少有人通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定晶體結(jié)構(gòu)的情況下做出的預(yù)測(cè)。

Kitaigorodskii曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“第一流的理論預(yù)測(cè)，第二流的理論禁止，第三流的理論在事后解釋?！奔词故堑谌骼碚撘埠苤匾?yàn)榧词刮覀儧](méi)有預(yù)料到我們的發(fā)現(xiàn)，至少我們想在事后理解它們。然而，當(dāng)我們的發(fā)現(xiàn)可以被合適的理論或模型預(yù)測(cè)時(shí)，那就完全是另一回事了。只有當(dāng)我們真正理解所研究的現(xiàn)象時(shí)，這種情況才會(huì)發(fā)生。因此，Kitaigorodskii對(duì)三維空間群分布的成功預(yù)測(cè)意味著對(duì)分子堆積基本原理的理解。

Kitaigorodskii發(fā)現(xiàn)分子的堆積是空間互補(bǔ)的。為了達(dá)到最密集的堆積，任意形狀的分子以最佳的排列互補(bǔ)。因此，如果分子以一個(gè)分子的空腔與另一個(gè)分子的空腔相匹配的方式彼此轉(zhuǎn)向，則具有空腔和突起形狀的分子將不會(huì)最有效地利用可用空間。如果它們通過(guò)反射相關(guān)，就會(huì)是這種情況。相反，最好的排列是當(dāng)一個(gè)分子的突起與另一個(gè)分子的空腔相吻合時(shí)，以此類推。這是互補(bǔ)原則的另一種表達(dá)，它在科學(xué)中以如此多的方式出現(xiàn)，因?yàn)樗谧匀唤缰幸彩侨绱恕?/span>

進(jìn)入分子生物學(xué)

當(dāng)然，空間互補(bǔ)原則本身并不是Kitaigorodskii的發(fā)明。他只是將它發(fā)揮到了極致，最終預(yù)測(cè)出晶體結(jié)構(gòu)中230個(gè)三維空間群的頻率分布。

1940年，兩位未來(lái)的諾貝爾獎(jiǎng)獲得者——結(jié)構(gòu)化學(xué)家萊納斯·鮑林（Linus Pauling）和由物理學(xué)家轉(zhuǎn)為生物學(xué)家的馬克斯·德?tīng)柌紖慰耍∕ax Delbruck）——聯(lián)合發(fā)表了一篇重要文章。他們?cè)凇犊茖W(xué)》上發(fā)表的論文標(biāo)題為 “生物過(guò)程中分子間作用力的性質(zhì)”。[帕斯卡爾·喬丹（Pascal Jordan）曾提出，量子力學(xué)穩(wěn)定相互作用優(yōu)先作用于相同或幾乎相同的分子或分子的一部分。該建議與生物分子合成過(guò)程有關(guān)，導(dǎo)致細(xì)胞中分子的復(fù)制。鮑林和德?tīng)柌紖慰苏J(rèn)為，互補(bǔ)部分之間的相互作用比相同部分之間的相互作用更重要。他們認(rèn)為，范德華吸引和排斥、靜電作用、氫鍵形成等分子間相互作用使兩個(gè)并列的具有互補(bǔ)結(jié)構(gòu)的分子系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，而不是兩個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的分子。因此，他們認(rèn)為在討論分子間相互作用時(shí)應(yīng)首先考慮互補(bǔ)性。

通過(guò)雙螺旋最終發(fā)現(xiàn)脫氧核糖核酸（DNA）的功能機(jī)制，是分子生物學(xué)中互補(bǔ)性最著名的例證。這一發(fā)現(xiàn)的直接關(guān)鍵是 Erwin Chargaff 發(fā)現(xiàn)的堿基互補(bǔ)性。

低對(duì)稱性更好地堆積

鮑林和德?tīng)柌祭锟藢?duì)分子間作用力性質(zhì)的描述似乎直接適用于分子晶體的堆積。對(duì)于Kitaigorodskii來(lái)說(shuō)，除了他出色的猜想之外，他還花費(fèi)了多年時(shí)間進(jìn)行艱苦的測(cè)量，才得出了經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)的正確結(jié)論。

在他的科學(xué)研究計(jì)劃的早期，Kitaigorodskii決定使用相同但任意的形狀來(lái)探索平面上可能的最佳排列。他建立了二維層的對(duì)稱性，使得相對(duì)于層晶胞的傾斜軸，分子的任意傾斜角度的配位數(shù)為6。他發(fā)現(xiàn)這樣的排列總是在最密集的排列中。我們?cè)谶@里引用一個(gè)任意形狀分子的一般情況的例子。Kitaigorodskii致力于選擇二維空間群的任務(wù)，對(duì)于這些空間群，有效地堆積任意形狀的分子是可能的。這是一種非常有趣的方法，因?yàn)榻Y(jié)果將回答為什么在晶體中少數(shù)空間群出現(xiàn)率高而許多230空間群幾乎不出現(xiàn)的問(wèn)題。

Kitaigorodskii首先研究了致密堆積問(wèn)題。對(duì)于對(duì)稱性最小的平面群（僅平移對(duì)稱，p1），如果平移周期（t1和t2）以及它們之間的角度選擇得當(dāng)，任何分子形式都有可能實(shí)現(xiàn)最密集的堆積。由兩次旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的平面群（p2）也是如此（圖 1）。另一方面，具有對(duì)稱平面的平面群（pm 和 pmm）不適合最密集堆積。由于在這些排列中存在對(duì)稱平面，分子的凸面部分會(huì)面向其他分子的凸面部分。這種排列方式不利于密集堆積（圖 2）。具有滑移反射的平面群（pg 和pgg）可能適合 6 配位。這一層的密度不是最大的，在分子的不同方向上只能實(shí)現(xiàn) 4 配位（圖 3）。對(duì)于對(duì)稱性較高的平面基團(tuán)，有效利用空間變得越來(lái)越困難。如果分子本身具有反射對(duì)稱性，即保留了一個(gè)對(duì)稱平面，那么即使是在對(duì)稱元素?cái)?shù)目較多的對(duì)稱組中，也有較好的機(jī)會(huì)進(jìn)行更密集的堆積，其中包括對(duì)稱平面。

圖1：空間群p1和p2的最密堆積，摘自 Kitaigorodskii [4]

圖2：空間群pm和pmm中的對(duì)稱平面阻止密集堆積，摘自 Kitaigorodskii [4]

圖3：pgg空間群的兩種堆積形式：一種是最密集的堆積，另一種是利用分子的不同取向?qū)⑴湮粩?shù)從六個(gè)減少到四個(gè)；摘自 Kitaigorodskii [4] 。

在考慮了用于密集堆積的平面群之后，下一步就是應(yīng)用幾何模型來(lái)研究三維空間群是否適于這種堆積。在這種情況下，我們的任務(wù)是選擇那些可以進(jìn)行層間堆積的空間群，使其具有盡可能多的配位數(shù)。顯然，鏡面平面不適用于重復(fù)層。

低對(duì)稱性晶體種類是有機(jī)化合物的典型。通過(guò)與層面成任意角度的平移，或通過(guò)倒置、滑動(dòng)面，或通過(guò)螺旋軸旋轉(zhuǎn)，可以實(shí)現(xiàn)層的最緊密堆積。在極少數(shù)情況下，最緊密的堆積也可以通過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

Kitaigorodskii從最密堆積的角度分析了所有230個(gè)三維空間群，發(fā)現(xiàn)只有6個(gè)空間群可用于任意形式分子的最密堆積(p1，P21，P2J/c，Pea，Pna，P212121)。對(duì)于有對(duì)稱中心的分子，合適的三維空間群就更少了(P1，P21/C，C2/c，Pbca)。在這些情況下，分子的所有相互取向都是可能的，而不會(huì)失去六配位。

低對(duì)稱空間群之一（P21/c）在有機(jī)晶體中占據(jù)著引人注目的特殊地位。該空間群的獨(dú)特之處在于它可以在單位晶胞的所有三個(gè)坐標(biāo)平面上形成密度最高的堆積層。在提供最密集堆積的空間群中，還有另外兩個(gè)空間群（P21 和 P212121）。根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，這三個(gè)群是出現(xiàn)頻率最高的三個(gè)群。對(duì)于手性分子，這些可能性只適用于左旋或右旋形式。

Kitaigorodskii關(guān)于分子有機(jī)化合物在空間群上的分布的開(kāi)創(chuàng)性工作不僅是科學(xué)信息的重要來(lái)源，也是科學(xué)研究的典范。

復(fù)制DNA

DNA分子的作用機(jī)制以互補(bǔ)性為特征，但復(fù)雜程度不同。聚合酶鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的發(fā)現(xiàn)者Kary Mullis這樣描述它：[6]

DNA有一個(gè)非凡的特性，即任何特定的嘌呤和嘧啶堿基序列都有兩種形式可以串聯(lián)在一起?？梢源梢粭l鏈，也可以串成另一條順序相反的鏈；這就是互補(bǔ)，它們被緊緊地連接在一起。這是一個(gè)美麗的螺旋，但它也有扭結(jié)，會(huì)引起很多興奮。不過(guò)，這兩個(gè)螺旋夾得很緊，必須煮沸 DNA 才能把它們分開(kāi)。這也可以通過(guò)酶來(lái)完成，燃燒大量的 ATP（51-三磷酸腺苷）。這種 DNA 可以自我繁殖。粘土也能做到這一點(diǎn)，如果你考慮到它的分層結(jié)構(gòu)，每一層都會(huì)將上一層的互補(bǔ)層結(jié)合在一起。DNA 也具有這種能力。

如果你把 DNA 的一個(gè)字符串做成一小段，比如20個(gè)堿基，這一小段就會(huì)對(duì)互補(bǔ)序列產(chǎn)生巨大的親和力。你把這個(gè)20個(gè)堿基長(zhǎng)的序列放到一個(gè)混合物中，這個(gè)混合物中有十億個(gè)甚至萬(wàn)億個(gè)（10^12）不同的片段，它將在大約 30 秒內(nèi)找到與它完全互補(bǔ)的序列。

開(kāi)爾文勛爵的幾何學(xué)

Kitaigorodskii的主要貢獻(xiàn)集中在晶體結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)，而不是它們的物理性質(zhì)。他的前任之一是開(kāi)爾文爵士。1904年，開(kāi)爾文勛爵發(fā)表了他著名的巴爾的摩講座，關(guān)于分子動(dòng)力學(xué)和光的波動(dòng)理論，最初發(fā)表于1884年。[7]本卷中的二十篇巴爾的摩講演錄由12篇相關(guān)主題的講演錄增補(bǔ)而成。附錄H是“晶體的分子策略”，它討論了晶體結(jié)構(gòu)中分子排列的幾何學(xué)。這是開(kāi)爾文爵士于1893年5月16日在牛津大學(xué)青年科學(xué)俱樂(lè)部發(fā)表的羅伯特·波義耳演講。

這篇演講顯示了開(kāi)爾文勛爵的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)。例如，他向未來(lái)的晶體學(xué)家提出了這樣的建議："我建議你們中任何希望研究晶體學(xué)的人，與木匠或家具流蘇或念珠的珠子制造商簽訂合同，購(gòu)買一千個(gè)每個(gè)直徑約半英寸的木球。在這些木球上穿孔不會(huì)有什么壞處，甚至可能會(huì)有用；但要確保這些木球彼此幾乎相等，而且每個(gè)木球都盡可能接近球形"。

開(kāi)爾文繪制的這兩種圖案的不同之處在于，一種圖案中的分子都以相同的方式排列，而另一種圖案中的分子行則以兩種不同的方式交替排列（圖4）。每個(gè)分子的邊界給開(kāi)爾文帶來(lái)了極大的困惑，他認(rèn)為這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，他的后繼者們引入了對(duì)分子間相互作用的考慮，而對(duì)于Kitaigorodskii來(lái)說(shuō)，這最終形成了他所比喻的“給分子穿上范德瓦耳斯域的毛皮外衣”。開(kāi)爾文的平面鑲嵌技術(shù)領(lǐng)先于普拉亞和埃舍爾，但伊斯蘭和摩爾人在他之前幾百年就已經(jīng)開(kāi)始這樣做了。

圖4：開(kāi)爾文勛爵的兩種分子形狀排列[7]。

開(kāi)爾文勛爵一直在尋找一種更有效的方法，也就是在平面上更緊密的堆積，他在代表任意形狀的相同分子的平面圖案周圍移動(dòng)，最終找到了一種更有效的堆積方法。他試圖使用盡可能接近直線的形狀來(lái)分割平面，并且不讓分子相互接觸。除此之外，他還創(chuàng)造了平面分子堆積的現(xiàn)代表現(xiàn)形式。

盡管開(kāi)爾文勛爵確實(shí)認(rèn)識(shí)到了互補(bǔ)性在分子堆積中的重要性，但這一特性并沒(méi)有與他的名字聯(lián)系在一起。原因之一可能是他的其他作品太出名了。另一個(gè)原因可能是他只在附錄中對(duì)此進(jìn)行了描述。還有一個(gè)原因可能是，1893 年他在牛津大學(xué)發(fā)表演講時(shí)，或者 1904 年這些演講出版時(shí)，科學(xué)界還沒(méi)有為這一發(fā)現(xiàn)做好準(zhǔn)備。

埃舍爾圖案

喬治·波利亞（George Po1ya）[8]對(duì) 17 個(gè)二維空間群的介紹最為人熟知，因?yàn)樗猛耆顫M表面、沒(méi)有間隙或重疊的圖案來(lái)說(shuō)明這 17 個(gè)群。今天，我們稱之為埃舍爾式圖案。事實(shí)上，多麗絲·沙特施耐德（Doris Schattschneider）曾描述過(guò)波利亞和埃舍爾之間的重要聯(lián)系。[9]

由于晶體結(jié)構(gòu)也沒(méi)有間隙或重疊，因此填充平面而沒(méi)有間隙或重疊的平面圖形深受晶體學(xué)家的青睞。因此，平面圖形是晶體對(duì)稱性教學(xué)的絕佳工具。阿塞拜疆晶體學(xué)家?guī)於拧ゑR梅多夫（Khudu Mamedov）的圖畫是將其幾何圖形與過(guò)去的圖案聯(lián)系起來(lái)的有趣例子。Mamedov 和他的同事們有意識(shí)地收集和記錄他們的發(fā)現(xiàn)，以保護(hù)他們的文化。在這方面，他們認(rèn)為晶體學(xué)大大有助于他們的人類學(xué)探索。馬梅多夫和埃舍爾之間的密切關(guān)系可以用兩個(gè)簡(jiǎn)單而有力的反對(duì)稱圖案來(lái)象征。反對(duì)稱是對(duì)立面的對(duì)稱，當(dāng)對(duì)稱操作伴隨著屬性逆轉(zhuǎn)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)。馬梅多夫在阿塞拜疆巴庫(kù) 15 世紀(jì)的希爾萬(wàn)夏宮發(fā)現(xiàn)了[10]一個(gè)結(jié)構(gòu)徽章。這塊石刻浮雕徽章上的“阿里”一詞重復(fù)了六次（圖 5）。六次中的三次寫在石頭的凹陷處，另外三次寫在凹陷處之間的突起上。埃舍爾于1941年創(chuàng)作的《爬行動(dòng)物的平面填充圖案》（圖 6）與這幅結(jié)構(gòu)徽章有著密切的關(guān)系。胡杜·馬梅多夫?qū)?M.c. 埃舍爾的藝術(shù)非常尊敬。

圖5：庫(kù)菲克文字中的六個(gè)“阿里”。Shirvanshahs宮，阿塞拜疆巴庫(kù)，15世紀(jì)；馬梅多夫之后，1986年

圖6：M.c .埃舍爾，爬行動(dòng)物的平面填充主題，1941年。木刻

當(dāng)然，埃舍爾的周期圖是最著名的。讓我引用多麗絲·沙茨施耐德對(duì)其重要性的評(píng)論

當(dāng)我教授 “數(shù)學(xué)與裝飾藝術(shù) ”課程時(shí)，我看到了卡羅琳娜·麥吉拉弗里（Carolina MacGillavry）的一本書，書中有埃舍爾的設(shè)計(jì)。書中有40幅圖版，大部分是黑白的，但也有幾幅是彩色的。她的介紹性文章中有一個(gè)誘人的信息，埃舍爾曾做過(guò)筆記本。她是將埃舍爾引入晶體學(xué)世界的人。她在50年代末看過(guò)埃舍爾的一次展覽后，去他的工作室拜訪了他，了解了一些他的對(duì)稱圖。她在他的工作室里看到了他已經(jīng)完成的大量作品。到50年代中期，他已經(jīng)畫了一百多幅對(duì)稱畫。他還向她展示了他的個(gè)人筆記本，上面記錄著他在1938年至1941年間獨(dú)自開(kāi)發(fā)的理論。卡羅琳娜在序言中也提到了這一點(diǎn)。因此，我知道他曾寫過(guò)筆記本，也知道他提出了所謂的外行理論。從那時(shí)起，我就想知道埃舍爾做了什么？他是怎么做的？

卡羅琳娜很有興趣將埃舍爾的周期圖案作為一種教學(xué)手段--向晶體學(xué)初學(xué)者傳授雙色和多色圖案的晶體學(xué)分析。50年代末，當(dāng)她去埃舍爾的工作室拜訪他時(shí)，她萌生了讓他在1960年劍橋（英國(guó)）國(guó)際晶體學(xué)聯(lián)合會(huì)會(huì)議上舉辦展覽的想法。他發(fā)表了演講，演講結(jié)束時(shí)全場(chǎng)起立鼓掌。會(huì)后，她萌生了用埃舍爾的圖畫制作一本書的想法，并得到了國(guó)際聯(lián)盟的贊助。她實(shí)際上與埃舍爾共事過(guò)。她翻閱了埃舍爾所有的周期性圖紙，從中挑選出那些能夠說(shuō)明她想要說(shuō)明的特定顏色對(duì)稱組的圖紙。這時(shí)，她發(fā)現(xiàn)缺少了一個(gè)最簡(jiǎn)單的組，于是她要求埃舍爾畫一幅圖來(lái)說(shuō)明那個(gè)組，他畫了。這就是只有兩種顏色的p2群。（見(jiàn)圖 7）他還重新繪制或修改了其他一些圖紙。順便提一下，p2群在伊斯蘭裝飾中也并不常見(jiàn)，甚至可以說(shuō)完全沒(méi)有。阿爾罕布拉宮中沒(méi)有這種裝飾，除非考慮到某些圖案的上下交織。如果您只在阿爾罕布拉宮中尋找點(diǎn)對(duì)稱的圖案，就不會(huì)看到遍布的p2圖案。

圖7：M·C·埃舍爾。115號(hào)對(duì)稱圖。這幅畫是埃舍爾應(yīng)卡羅琳·麥克吉拉夫里的要求為她1965年的書而畫的

哈吉泰:“埃舍爾似乎也不喜歡反射對(duì)稱?！?/span>

我認(rèn)為這是因?yàn)樗胗锌勺R(shí)別的形狀，完全可識(shí)別的輪廓。他還希望這些生物不是對(duì)稱的。如果你有鳥在飛，爬行動(dòng)物在蠕動(dòng)，它們就不是對(duì)稱的。如果你把它們排成一行并固定住，就像你用一只蝴蝶來(lái)展示它一樣，這就是對(duì)稱，但在自然界和行動(dòng)中，這種對(duì)稱消失了。他有一些反射對(duì)稱的圖案，它們看起來(lái)很靜態(tài)；他真的很喜歡運(yùn)動(dòng)這個(gè)想法。在他自己的分類系統(tǒng)中，他不談?wù)摲瓷?，他只談?wù)摶品瓷洹Ｖ挥挟?dāng)主題對(duì)稱時(shí)，整體圖案中的反射對(duì)稱才會(huì)被引入——這就是他如何看待它的。因此，他自己的分類系統(tǒng)只使用旋轉(zhuǎn)、平移和滑移反射。當(dāng)他碰巧有一個(gè)對(duì)稱的主題時(shí)，他會(huì)在分類符號(hào)上加一個(gè)小星號(hào)，表示這個(gè)也有反射。從這個(gè)意義上說(shuō)，這只是誘導(dǎo)反射對(duì)稱。他根本沒(méi)有想到全局反射對(duì)稱，只想到局部反射，當(dāng)然，局部反射有時(shí)會(huì)引起全局反射。一個(gè)例子是鳥、蝙蝠、蝴蝶和蜜蜂的圖案，這是當(dāng)時(shí)為菲利普斯公司展覽室的天花板設(shè)計(jì)的。這些形狀的輪廓是從大約一平方米的木板上切割下來(lái)的，在洞上放一層薄膜，然后畫上圖案。天花板是背光的，有這些飛行物體的形狀。相當(dāng)奇妙的景象。這個(gè)天花板的某些部分是最近才從儲(chǔ)藏室搶救出來(lái)的。

對(duì)稱越少越好

推翻對(duì)稱平面就等同于鼓吹不對(duì)稱的優(yōu)點(diǎn)嗎？完全不是。重復(fù)也是一種對(duì)稱，大自然中重復(fù)出現(xiàn)的圖案數(shù)量相當(dāng)有限，這讓我們有希望了解更多。正如最常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu)一樣，埃舍爾的周期圖也充滿了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、反轉(zhuǎn)、滑移反射以及平移。然而，其中幾乎沒(méi)有反射。不對(duì)稱就是完全沒(méi)有對(duì)稱。事實(shí)證明，埃舍爾的周期圖就像晶體結(jié)構(gòu)一樣，具有“較少對(duì)稱性”的特點(diǎn)，即對(duì)稱性少于最大可能量。

我想提兩個(gè)有啟發(fā)性的例子來(lái)說(shuō)明“對(duì)稱性越少越好”的論點(diǎn)。當(dāng)萊納斯·鮑林（Linus Pauling）尋找α-角蛋白結(jié)構(gòu)模型時(shí)，他突破性地認(rèn)識(shí)到，關(guān)鍵在于將非對(duì)稱圖案（即氨基酸）做成螺旋狀排列。[121] 當(dāng)他發(fā)現(xiàn)部分實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果與他的模型不符時(shí)，他甚至置之不理。當(dāng)然，他之所以能如此大膽，只是因?yàn)樗e累了大量關(guān)于化學(xué)結(jié)構(gòu)及其規(guī)律性的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

我舉的另一個(gè)例子是，在探索生命的化學(xué)基礎(chǔ)時(shí)，不那么完美的結(jié)構(gòu)相對(duì)于更完美的結(jié)構(gòu)的重要性。分子生物學(xué)奠基人之一德斯蒙德·貝納爾（J. Desmond Bernal）寫道：[13

我應(yīng)該在這里說(shuō)，完全和部分晶體結(jié)構(gòu)之間的區(qū)別在實(shí)踐中充分認(rèn)識(shí)到阿斯特伯里和我自己。我拿的是結(jié)晶物質(zhì)，他拿的是無(wú)定形的或雜亂的物質(zhì)。起初，似乎我必須擁有最好的，但事實(shí)證明并非如此。我的名字沒(méi)有出現(xiàn)在雙螺旋結(jié)構(gòu)的故事中，這是正確的。事實(shí)上，這是一個(gè)至關(guān)重要的區(qū)別。螺旋結(jié)構(gòu)的圖片包含的斑點(diǎn)比常規(guī)三維晶體結(jié)構(gòu)少得多，因此原子位置的詳細(xì)信息也少得多，但它更容易粗略地解釋，因此為整體提供了一個(gè)很好的線索。盡管一般的結(jié)構(gòu)是眾所周知的，但還沒(méi)有研究出原子規(guī)模的核酸結(jié)構(gòu)?？赡苊艿氖牵瑪y帶信息越多的方法被認(rèn)為對(duì)檢測(cè)真正復(fù)雜的分子越?jīng)]用，但這是分析策略而不是準(zhǔn)確性的問(wèn)題。

策略上的錯(cuò)誤可能與事實(shí)錯(cuò)誤一樣糟糕。我的情況也是如此。我信守與阿斯特伯里的君子協(xié)定，從研究無(wú)定形核酸轉(zhuǎn)向研究核酸的結(jié)晶成分--核苷。

這是對(duì)20世紀(jì)最具獨(dú)創(chuàng)性的科學(xué)家之一的思想的非凡洞察。

總而言之，用埃舍爾的周期圖進(jìn)行創(chuàng)新可能有助于我們避免研究中的錯(cuò)誤，并幫助我們理解我們周圍世界的復(fù)雜性。

參考文獻(xiàn)

[1] Much of the message of the present contribution and details, background information, and numerous references can be found in I. Hargittai, M. Hargittai, In Our Own Image: Personal Symmetry in Discovery, Kluwer Academic/Plenum Press, New York and London, 2000.

[2] To dedicate such a contribution to the memory of Caroline MacGillavry does not need much justification. She, more than anyone else, built the bridge between M.e. Escher and the scientific community. See e.H. MacGillavry, Symmetry Aspects of M.e. Escher's Periodic Drawings, A. Oosthoek's Uitgeversmaatschappij, Utrecht, 1965 (republished as Fantasy and Symmetry, Harry Abrams, New York, 1976). See also e.H. MacGillavry, "The Symmetry of M.c. Escher's 'Impossible' Images," in I. Hargittai, ed., Symmetry: Unifying Human Understanding. Pergamon Press, New York, 1986, pp. 123-138. She was, however, first of all an outstanding crystallographer, a scientist of structure. My personal encounters with Caroline MacGillavry were very enriching and memorable. I thank Henk Schenk, president of the International Union of Crystallography, for providing the photo of her, taken on the occasion of her farewell lecture at the University of Amsterdam.

[3] Lucretius, The Nature of Things, De rerum natura, translated by EO. Copley. W.W. Norton & Co., New York, first edition, 1977. This quoted passage is from Book VI, lines 1084-1086. I am grateful to Jack D. Dunitz for calling my attention to this quotation.

[4] A.I. Kitaigorodskii, Molekulyarnie Kristalli. Nauka, Moscow, 1971. English translation Molecular Crystals and Molecules. Academic Press, New York, 1973.

[5] L. Pauling, M. Delbriick, "The Nature of the Intermolecular Forces Operative in Biological Processes." Science vol. 92 (1940), pp. 77-79.

[6] I. Hargittai, Candid Science II: Conversations with Famous Biomedical Scientists, Imperial College Press, London, 2002. Dr. Mullis shared the 1993 Nobel Prize in chemistry, "for contributions to the development of methods within DNA-based chemistry, for his invention of the polymerase chain reaction (PCR) method."

[7] Kelvin, Lord, Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light, Appendix H, pp. 618-619. London: e.J. Clay & Sons, 1904.

[8] G. P6lya, "Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene." Z. Kristall. vol. 60 (1924), pp. 278-282.

[9] D. Schattschneider, "The P6lya-Escher Connection," Mathematics Magazine, vol. 60 (1987), pp. 293-298.

[10] Kh.S. Mamedov, "Crystallographic patterns." In I. Hargittai, ed., Symmetry: Unifying Human Understanding. Pergamon Press, New York, 1986, pp. 511-529.

[II] I. Hargittai, "Transmitting M.C. Escher's Symmetries: A Conversation with Doris Schattschneider." HyperSpace (Kyoto), vol. 6, no. 3 (1997), pp. 16-28.

[12] L. Pauling, "Discovery of the Alpha Helix." The Chemical Intelligencer, vol. 2, no. I (1996), pp.32-38. This was a posthumous publication of Linus Pauling, communicated by his associates.

[13] J.D. Bernal, "The Material Theory of Life." Labour Monthly, (1968), pp. 323-326.

[14] Istvan Hargittai, Dethronement of the Symmetry Plane [1]

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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