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證明費(fèi)爾馬大定理
文/施承忠
我們先來看看z^1-x^1=y^1是怎么升冪的
3^1-1^1=2^1
3^2-1^2=2^3
5^2-2^1=3^1`
5^2-2^2=3^2+12
5^2-3^2=3^2+7
5^2-4^2=3^2
5^1-1^1=4^1`
5^2-1^2=4^2+8
5^2-2^2=4^2+5
5^2-3^2=4^2
7^1-2^1=5^1`
7^2-2^2=5^2+20
7^2-3^2=5^2+15
7^2-4^2=5^2+8
7^2-5^2=5^2-1
8^2-5^2=5^2+14
8^2-6^2=5^2+3
8^2-7^2=5^2-10
9^2-8^2=5^2-8
10^2-9^2=5^2-6
11^2-10^2=5^2-4
12^2-11^2=5^2-2
13^2-12^2=5^2
它是先增大x,使致z-x=1,然后增大z，使得z^2-x^2=y^2.
當(dāng)2升冪到n時(shí)，必然要增大x，使得z-x<1,導(dǎo)致z,x,y至少有一個(gè)不是正整數(shù).
我們有z^2-x^2=y^n，z,x,y都是正整數(shù)成立.但此時(shí)n√z^2,n√x^2,z-x<1,一定不是正整數(shù)，至少其中之一個(gè)不是正整數(shù).
又z^2-x^2=y^2，對(duì)于所有的z,x,y,正整數(shù)成立.但z^2-x^2=y^2升冪為z^n-x^n=y^n時(shí)產(chǎn)生了y^n的一個(gè)余項(xiàng)群.y^n+h1,y^n+h2,y^n+h3,...,y^n+ht，其中y^n+ht是一個(gè)最小余項(xiàng).
我們也可以將z^2-x^2=y^n升冪得到z^n-x^n=y^n的一個(gè)余項(xiàng)群，x^n+r1,x^n+r2,x^n+r3,...,x^n+rf，并且rf=ht.此時(shí)z^2-x^2=y^2的升冪余項(xiàng)群是
z^n-x^n=y^n的升冪余項(xiàng)群的一個(gè)子群.因?yàn)閦-x<1，所以在升冪群中沒有一個(gè)余項(xiàng)為零的解，所以在z,x,y中至少有一個(gè)不是正整數(shù).
我們有13^3-12^3=5^3+h的一個(gè)余項(xiàng)群.
13^2-12^2=5^2
13^3-12^3=5^3+344
12^3-11^3=5^3+272
11^3-10^3=5^3+206
10^3-9^3=5^3+146
9^3-8^3=5^3+92
8^3-7^3=5^3+44
7^3-6^3=5^3+2
其中5^3+2是它的一個(gè)最小余項(xiàng).
所以n>2任意的z^n-x^n=y^n+ht都帶余項(xiàng),而且都可以大于最小余項(xiàng).
證畢.
附件：
因?yàn)閦^2=x^2+y^2=(z^2-y^2)+y^2,此時(shí)z^2-y^2=x^2成立，且z,x,y都是正整數(shù).
當(dāng)n>2時(shí)(z^n-y^n)=x^n,x不是正整數(shù)，此時(shí)根據(jù)余項(xiàng)定理x^n=x*^n+h,x*,h是正整數(shù).z^n=x^n+y^n,當(dāng)n不斷增大時(shí)它是一個(gè)緊縮群.
z^2-x^2=y^2
5^2-4^2=3^2
5^2-3^2=4^2
13^2-12^2=5^2
10^2-8^2=6^2
25^2-24^2=7^2
17^2-15^2=8^2
41^2-40^2=9^2
26^2-24^2=10^2
61^2-60^2=11^2
37^2-35^2=12^2
85^2-84^2=13^2
50^2-48^2=14^2
113^2-112^2=15^2
65^2-63^2=16^2
145^2-144^2=17^2
82^2-80^2=18^2
181^2-180^2=19^2
101^2-99^2=20^2
221^2-220^2=21^2
122^2-120^2=22^2
z^3-x^3=y^3+ht的最小余項(xiàng)
4^3-3^3=3^3+10
5^3-3^3=4^3+34
7^3-6^3=5^3+2
9^3-8^3=6^3+1
12^3-11^3=7^3+54
15^3-14^3=8^3+119
17^3-16^3=9^3+88
19^3-18^3=10^3+27
21^3-20^3=11^3+56
25^3-24^3=12^3+73
28^3-27^3=13^3+72
31^3-30^3=14^3+47
35^3-34^3=15^3+196
38^3-37^3=16^3+123
41^3-40^3=17^3+8
45^3-44^3=18^3+109
49^3-48^3=19^3+198
53^3-52^3=20^3+269
57^3-56^3=21^3+316
61^3-60^3=22^3+333
z^4-x^4=y^4+ht的最小余項(xiàng)
4^4-3^4=2^4+111
5^4-4^4=3^4+288
6^4-5^4=4^4+415
7^4-6^4=5^4+480
8^4-7^4=6^4+399
9^4-8^4=7^4+64
11^4-10^4=8^4+545
13^4-12^4=9^4+1264
15^4-14^4=10^4+2 209
17^4-16^4=11^4+3344
19^4-18^4=12^4+4609
21^4-20^4=13^4+5920
23^4-22^4=14^4+7169
25^4-24^4=15^4+8224
27^4-26^4=16^4+8929
29^4-28^4=17^4+9104
31^4-30^4=18^4+8545
33^4-32^4=19^4+7024
35^4-34^4=20^4+4289
37^4-36^4=21^4+64
40^4-39^4=22^4+12 303
z^5-x^5=y^5+ht的最小余項(xiàng)
4^5-3^5=2^5+749
5^5-4^5=3^5+1858
6^5-5^5=4^5+3627
7^5-6^5=5^5+5906
8^5-7^5=6^5+8185
9^5-8^5=7^5+9474
10^5-9^5=8^5+8183
11^5-10^5=9^5+2002
13^5-12^5=10^5+22 461
15^5-14^5=11^5+60 500
17^5-16^5=12^5+122 449
19^5-18^5=13^5+215 238
21^5-20^5=14^5+346 277
23^5-22^5=15^5+523 336
25^5-24^5=16^5+754 425
27^5-26^5=17^5+1 047 674
29^5-28^5=18^5+1 411 213
31^5-30^5=19^5+1 853 052
33^5-32^5=20^5+2 380 961
35^5-34^5=21^5+3 002 350
37^5-36^5=22^5+3 724 149
從上面的舉例中可以看出：
n=2時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,z=122
n=3時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,z緊縮到61
n=4時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,z緊縮到40
n=5時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,z緊縮到37
并且
n=2時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,余項(xiàng)=0
n=3時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,余項(xiàng)=333
n=4時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,余項(xiàng)=12 303
n=5時(shí)計(jì)算到y(tǒng)=22,余項(xiàng)=3 724 149
余項(xiàng)愈來愈大.此時(shí)y^n+ht緊縮到x^n
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