在不同數(shù)學(xué)培訓(xùn)階段，大腦運(yùn)作方式存在一個(gè)關(guān)鍵區(qū)別。對(duì)于高中生，他們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練主要集中在將課程中的具體知識(shí)應(yīng)用于特定問(wèn)題上。這些問(wèn)題通常涉及具體的數(shù)值、對(duì)象或函數(shù)，例如整數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或整數(shù)多項(xiàng)式。通過(guò)處理這些有限的、具體的內(nèi)容，學(xué)生能夠磨煉成為專業(yè)數(shù)學(xué)家所需的基本知識(shí)，并培養(yǎng)識(shí)別數(shù)學(xué)模式的能力。這種訓(xùn)練方式為他們未來(lái)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域可能需要的更抽象和廣泛的思維方式打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

然而，成熟的專業(yè)數(shù)學(xué)家在訓(xùn)練中注重推廣和抽象他們的思維方式。他們不再局限于處理具體的數(shù)值或日常數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如整數(shù)或?qū)崝?shù)），而是專注于研究更加抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、?；蛴颉＿@些抽象結(jié)構(gòu)能夠概括出許多已知的、更具體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而使他們的研究成果更具普遍性和影響力。因?yàn)檫@些成果可以應(yīng)用于更廣泛的數(shù)學(xué)問(wèn)題和結(jié)構(gòu)，專業(yè)數(shù)學(xué)家能夠解決更復(fù)雜和多樣化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

讓我給你展示一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，說(shuō)明如何通過(guò)抓住數(shù)學(xué)洞見(jiàn)的可推廣性來(lái)使它們更具力量。在這道來(lái)自牛津數(shù)學(xué)入學(xué)考試的問(wèn)題中，高中生被要求對(duì)一個(gè)特定案例得出結(jié)論。然而，如果我們花點(diǎn)時(shí)間發(fā)現(xiàn)這種方法的可推廣性，實(shí)際上可以得出一個(gè)更普遍的結(jié)論。讓我們從考試試卷中問(wèn)題的原始表述開(kāi)始。

一道MAT題目

Miriam 和 Adam 想通過(guò)吃糖果來(lái)消除假期的無(wú)聊感，但他們的母親要求他們遵循以下規(guī)則來(lái)限制糖果的攝入量。

• Miriam 在假期的每一天所吃的糖果數(shù)量，等于從假期開(kāi)始到那一天為止出現(xiàn)的晴天總數(shù)（包括當(dāng)天在內(nèi)）。

• Adam 只在下雨天吃糖果。如果假期的第 k 天是雨天，那么他在那天吃 k 顆糖果。

例如，如果假期有八天，并且開(kāi)始的天氣是雨天、晴天、晴天，……，那么糖果消耗的統(tǒng)計(jì)可能如下所示：

在這種情況下，Miriam 和 Adam 總共吃了相同數(shù)量的糖果。

問(wèn)題：

1. 如果假期有30天，其中15天是晴天，15天是雨天，哪種晴天和雨天的排列會(huì)使 Miriam 吃到最多數(shù)量的糖果，哪種排列會(huì)使她吃到最少數(shù)量？分別給出 Miriam 在每種情況下吃到的糖果數(shù)量。

2. 證明，在第1部分中提到的兩種情況下，Adam 吃的糖果數(shù)量與 Miriam 相同。

3. 假設(shè)在一系列的晴天和雨天中，我們將一個(gè)雨天與緊接其后的一個(gè)晴天交換。Miriam 吃的糖果總數(shù)如何變化？Adam 吃的糖果總數(shù)呢？

4. 如果假期有15天是晴天，15天是雨天，Miriam 和 Adam 必須吃相同數(shù)量的糖果嗎？解釋你的回答。

我們先解題。然后我們?cè)倩剡^(guò)頭看看是否能發(fā)現(xiàn)我們解答中有可推廣的東西。

對(duì)于第1個(gè)問(wèn)題，我們可以看到在任何特定的日子里，Miriam 都能從所有先前的晴天中受益。因此，如果所有的晴天盡早出現(xiàn)在假期中，Miriam 將獲得最大的收益。因此，Miriam 將在前15 天全是晴天而后 15 天全是雨天的情況下獲得最多的糖果。在前 15 天中，她每天會(huì)逐漸增加一顆糖果，因此她在 15 天結(jié)束時(shí)的總糖果數(shù)將是前 15 個(gè)整數(shù)的和，即120 顆糖果。然后她在最后 15 天里每天會(huì)再收到 15 顆糖果，總共再得到 225 顆糖果。因此，Miriam 能獲得的最多糖果數(shù)量為 120 + 225 = 345 顆糖果。

不難看出，相反的情況是 Miriam 獲得最少糖果的情況。也就是說(shuō)，前 15 天是雨天，她什么糖果都拿不到，然后在接下來(lái)的 15 個(gè)晴天里，她每天會(huì)額外得到一顆糖果，這樣她在這種情況下總共得到 120 顆糖果。

對(duì)于第2個(gè)問(wèn)題，如果前 15 天是晴天，Adam 在這些天里得不到任何糖果。然后他在第 16 天得到 16 顆糖果，第 17 天得到 17 顆糖果，以此類推，直到第 30 天他得到 30 顆糖果。所以 Adam 的糖果總數(shù)是從 16 到 30 的所有整數(shù)的和，這與 Miriam 的一樣，也是 345 顆糖果。在前 15 天是雨天的情況下，Adam 在第 1 天得到 1 顆糖果，第 2 天得到 2 顆糖果，以此類推，直到第 15 天他得到 15 顆糖果。之后他就不再得到糖果了。所以在這種情況下，Adam 的糖果數(shù)量與 Miriam 一樣，也是通過(guò)計(jì)算前 15 個(gè)整數(shù)的和得到的，Adam 也得到了 120 顆糖果。

對(duì)于第3個(gè)問(wèn)題，讓我們考慮 Miriam 在某個(gè)雨天后跟著一個(gè)晴天的情況，并且假設(shè) k 是假期中到目前為止（包括當(dāng)天）已經(jīng)出現(xiàn)的晴天數(shù)量。然后我們知道今天將為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) k 顆糖果，明天將貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，因此今天和明天總共為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) 2k+1 顆糖果。現(xiàn)在交換這兩天。然后今天將為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，明天也將貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，因此這兩天總共為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) 2k+2 顆糖果。注意到這種交換對(duì)假期中其他天數(shù)對(duì) Miriam 總數(shù)的貢獻(xiàn)沒(méi)有影響，我們可以得出結(jié)論，這次交換使 Miriam 的總糖果增加了一顆。我們用同樣的方法來(lái)考慮 Adam 的情況，假設(shè)第 k 天是雨天，然后接著第 k+1 天是晴天。那么第 k 天將為 Adam 的總數(shù)貢獻(xiàn) k 顆糖果，第 k+1 天將貢獻(xiàn) 0 顆糖果，因此這兩天總共為 Adam 的總數(shù)貢獻(xiàn) k 顆糖果。如果交換它們，第 k 天將貢獻(xiàn) 0 顆糖果，第 k+1 天將貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，因此總共貢獻(xiàn) k+1 顆糖果。因此，在 Adam 的情況下，這次交換也使他的糖果總數(shù)增加了一顆。

在第4個(gè)問(wèn)題中，我們實(shí)際上被引導(dǎo)著做了一些對(duì)我們到目前為止的工作的細(xì)微推廣。從前兩部分中我們知道，在任何前 15 天是雨天后 15 天是晴天的假期中，Adam 和 Miriam 吃到的糖果數(shù)量是相同的。但這里的關(guān)鍵認(rèn)識(shí)是，如果我們從這個(gè)場(chǎng)景開(kāi)始，我們可以通過(guò)逐步交換相鄰的雨天和晴天來(lái)獲得任意排列的 15 個(gè)雨天和晴天。為了看清這一點(diǎn)，假設(shè)對(duì)于給定的排列，第一個(gè)晴天是第 k 天（k < 16）。那么我們從初始場(chǎng)景開(kāi)始，交換第 15 天和第 16 天。如果 k < 15，我們?cè)俳粨Q第 14 天和第 15 天，依此類推，直到把第一個(gè)晴天定位在第 k 天。然后我們重復(fù)這一過(guò)程，把下一個(gè)晴天定位在某個(gè) j > k 的位置，依此類推?，F(xiàn)在我們注意到從第3個(gè)問(wèn)題可以得出，任何這樣的交換序列對(duì) Miriam 和 Adam 的糖果總數(shù)有相同的影響。因此，他們一開(kāi)始的糖果總數(shù)相同，每次我們進(jìn)行相鄰交換，對(duì)他們的糖果總數(shù)影響相同，所以我們得出結(jié)論，對(duì)于任何有 15 個(gè)雨天和 15 個(gè)晴天的假期，Miriam 和 Adam 的糖果總數(shù)都是相同的，問(wèn)題解決。

推廣

你是否發(fā)現(xiàn)了一個(gè)機(jī)會(huì)，可以推廣我們上面所做的工作來(lái)計(jì)算 Miriam 和 Adam 的糖果數(shù)量之差，無(wú)論他們的假期有多長(zhǎng)，或者天氣如何？讓我們?cè)倏纯矗@次讓我們對(duì)我們的計(jì)算稍微抽象一下！

假設(shè)假期是 q 天，其中有 k ≤ q 個(gè)雨天和 q-k 個(gè)晴天。

根據(jù)上面的方法，可以假設(shè) k 個(gè)雨天都在月初，因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)一系列交換相鄰的雨天和晴天的操作從這個(gè)初始情況推導(dǎo)出任何排列，并且我們知道這不會(huì)改變孩子們得到的糖果總數(shù)。因此，只需計(jì)算這種初始配置，即 k 個(gè)雨天之后的 q-k 個(gè)晴天的糖果數(shù)量差異即可。

對(duì)于 Adam，在這種配置中，他將從零糖果開(kāi)始，并在前 k 天每天增加一顆糖果，然后他將不再得到糖果。所以 Adam 得到的糖果數(shù)量如下：

對(duì)于Miriam，她將在前k天沒(méi)有收到糖果，然后在第k+1天收到一個(gè)糖果，然后在每一天收到一個(gè)額外的糖果，直到最后一天(第q天)。所以Miriam將收到以下數(shù)量的糖果：

如果求差并做一點(diǎn)代數(shù)化簡(jiǎn)，我們就得到了一個(gè)一般表達(dá)式，表示在k≤q個(gè)雨天的任何長(zhǎng)度為q的假期中，Miriam和Adam收到的糖果數(shù)量的差值：

我們可以直接從中看出，在任何長(zhǎng)度的假期中，如果雨天和晴天的數(shù)量相等（即 q = 2k），孩子們將獲得相同數(shù)量的糖果。還可以看出，當(dāng)晴天比雨天多時(shí)，差值為正數(shù)（有利于 Miriam），而當(dāng)雨天比晴天多時(shí)，差值為負(fù)數(shù)（有利于 Adam）。