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【原】從如何折趙爽弦圖到十字形模型的應用

 妍小青 2024-07-22 發(fā)布于上海
如下圖所示為“趙爽弦圖”，如何通過折正方形紙片，既能折出外弦圖，又能折出內(nèi)弦圖呢？

如下圖，呈現(xiàn)了利用正方形紙片折出趙爽外弦圖和內(nèi)弦圖的一般方法：
首先，將正方形ABCD兩次對折找出正方形的中心O；其次，在邊AD上任意取一點E，將紙片沿著EO折疊，與邊BC交于點F；再通過折疊紙片，使得GH與折痕EF垂直，點G、H分別在AB和CD上；然后，順次聯(lián)結E、G、F、H，即可得到外弦圖；最后，將正方形紙片沿著GE、EH、HK、GF翻折，即可得到內(nèi)弦圖。

我們可以發(fā)現(xiàn)，能夠折出趙爽弦圖的原理在于利用了正方形的旋轉對稱性，再通過4對全等的直角三角形，結合翻折的性質(zhì)就可以折出趙爽弦圖。
其中的圖2是典型的“十字型”模型，下面我們就來仔細分析下十字型模型的特點及其典型變式。

十字形模型及其典型變式

如圖1所示是典型的“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相垂直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角以及一組全等的三角形。將基本模型進行變式，得到了以下的三種特殊情況：

如圖3和4所示是“十字形”模型的變式1和2，即將正方形中的頂點移動到邊上，即正方形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的長度是相等的。通過平移線段構造如圖1所示的基本圖形，再借助全等三角形和平行四邊的性質(zhì)證明線段相等。

如圖9所示是“十字形”模型的變式3，即將變式2中的正方形變?yōu)榱司匦?，，?/span>矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構造如圖1所示的基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關系。



十字形模型在幾何證明和計算中的應用

在與“十字形”模型相關的幾何證明和計算中，其難點在于發(fā)現(xiàn)隱含的模型，再將其“還原”成正方形或矩形背景下的基本圖形。

練習1中的十字形模型是正方形背景下的，通過DE⊥CF，發(fā)現(xiàn)全等三角形，再結合平行四邊形的判定得到FG//CE且FG=CE。

練習2中有兩組矩形背景下的十字形模型，要求CN:BM的值，就是求CD:BC的值。而根據(jù)EF:GH的值，通過平移線段化為變式3的基本圖形，得到EF:GH=AB:BC，從而求得CN:BM=AB:BC。

練習3不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠ACB=90° ，CE⊥BD，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，再根據(jù)圖中的相似三角形以及X型基本圖形，求得AE的長度。


十字形模型在翻折運動的應用

在翻折問題中，當出現(xiàn)隱含的“十字形”模型時，可以將圖形還原成變式2和變式3的基本圖形，再結合圖中的全等三角形或相似三角形求得線段的長度或線段的比值。

練習1通過聯(lián)結對應點A和E，即構造了十字形模型，根據(jù)變式1的基本圖形，可得折痕FG的長度就是AE的長度，通過勾股定理即可求解。

練習2中不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠B=90° ，AM⊥DN，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，根據(jù)翻折后的全等三角形的性質(zhì)以及一線三等角的基本圖形，借助比例線段求得BE的長度，最后得到DN:AM=BE:AB.

練習3不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠ADB=90° ，AB⊥OD，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，通過設出點D的坐標，再根據(jù)圖中的相似三角形以及勾股定理，求得點D的坐標，再求出比例系數(shù)k的值。

練習4中通過借助圖中的十字形模型，發(fā)現(xiàn)等角，繼而借助相似三角形的性質(zhì)以及銳角三角比進行計算。

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