組合問題的出現(xiàn)可以說同數(shù)學(xué)一樣古老。近代許多數(shù)學(xué)家及業(yè)余愛好者都提出過、研究過一些問題，但是至今還很難說組合數(shù)學(xué)有什么統(tǒng)一的理論及方法，雖然比起過去，它的問題比較系統(tǒng)及集中了。過去組合問題（包括圖論問題）散在數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)?、幾何、分析、概率、統(tǒng)計乃至趣味數(shù)學(xué)之中，現(xiàn)在已公認(rèn)為一門科學(xué)。不過它究竟在何時建立，仍然是有爭議的。

最古老的組合問題是二項系數(shù)C_n^k的性質(zhì)，到17世紀(jì)已知它與組合問題有關(guān)。1634年埃瑞岡已知道

這公式首先出現(xiàn)在帕斯卡的著作《論算術(shù)三角形》（1665年出版）中，隨著概率論的出現(xiàn)，二項系數(shù)出現(xiàn)在概率公式中，帕斯卡發(fā)現(xiàn)了第一個計算概率的遞歸公式。1666年萊布尼茨首先引進(jìn)組合術(shù)（arte combinatoria）一詞并進(jìn)行系統(tǒng)研究，1730年德·莫伏瓦首先引進(jìn)生成函數(shù)或母函數(shù)方法，這方法通過歐拉等人的工作形成強(qiáng)有力組合方法，至今仍在廣泛運(yùn)用。歐拉等人引進(jìn)組合方法和一系列著名的“數(shù)”，如伯努利數(shù)、歐拉數(shù)、斯特靈數(shù)等在數(shù)學(xué)及物理—系列問題中有重要應(yīng)用。1798年勒讓德首先提出包括—排除方法，1867年約當(dāng)把它推廣成一個普遍原理，它可以用來解決一系列組合及數(shù)論問題，特別是1891年魯卡所提出的n對夫妻圍圓桌而坐的問題。

18到19世紀(jì)一系列組合問題到20世紀(jì)才正式形成一門學(xué)科。1901年德國數(shù)學(xué)家內(nèi)托出版第一本組合學(xué)教科書《組合學(xué)教程》，英國數(shù)學(xué)家麥克馬洪兩大卷《組合分析》于1915～1916年出版。

當(dāng)前組合數(shù)學(xué)的幾個主要領(lǐng)域大都是由18或19世紀(jì)一些特殊問題演化而來的。

（1） 古典組合問題。組合學(xué)中最基本的問題是排列組合問題。這些問題在概率論、統(tǒng)計數(shù)學(xué)及統(tǒng)計物理等領(lǐng)域有許多應(yīng)用。其中二項系數(shù)起著關(guān)鍵的作用。推導(dǎo)這些公式的方法是生成函數(shù)方法，即把C_n^k 與（1＋x）n＝∑C_n^kx^k 聯(lián)系起來。用這種方法可得出伯努利多項式。20世紀(jì)20年代，貝爾引進(jìn)貝爾數(shù)及貝爾多項式，對有限集合的分拆數(shù)有重要作用。

組合計數(shù)理論最重要的成就之一是波伊亞計數(shù)定理。這定理最早的特例是凱雷列舉烷烴的同分異構(gòu)體的數(shù)目定理。波伊亞在1937年發(fā)表論文，把一切有限集合在置換群作用下的等價類數(shù)目用明顯公式表出，其簡單情形已由伯恩賽德得出。波伊亞給出等價函數(shù)類的計數(shù)定理，它在許多領(lǐng)域有重要應(yīng)用。波伊亞定理中主要思想已發(fā)表在10年前瑞德菲爾德的一篇論文中。波伊亞定理還有各種推廣。1964年荷蘭數(shù)學(xué)家德布盧因把這定理推廣到包含兩個置換群的清形。它用于列舉不同構(gòu)的抽象自動機(jī)的數(shù)目。另一項重要成就是數(shù)論中莫比烏斯函數(shù)及反演公式的推廣。維斯納在1935年，浩爾在1936年各自獨立發(fā)現(xiàn)反演公式的推廣，它包含排斥原理、斯特靈反演公式等許多組合定理作為特例。1964年美國數(shù)學(xué)家羅塔系統(tǒng)地研究莫比烏斯函數(shù)，提出一般的影演算 （umbral calculus），為組合數(shù)學(xué)奠定一個可用的基礎(chǔ)。其后，美國數(shù)學(xué)家斯坦利等人把組合數(shù)學(xué)與代數(shù)拓?fù)?、交換代數(shù)結(jié)合起來，得出一系列深刻定理。例如1974年證明組合幾何學(xué)的上界猜想。

（2）組合設(shè)計理論。區(qū)組設(shè)計，即t—（b，v，r，k，λ）設(shè)計，是指如下的組合設(shè)計：

設(shè)S＝｛x₁，x₂，…，x_v｝心 是有限集，｛S_i｝是S的一個子集系，S稱為區(qū)組，|S_i|＝k，l≤i≤b滿足b個子集可以分成r組，且S的每一個t元子集都恰為λ個S_i的子集，其中包含許多特例，如：

平衡不完全區(qū)組設(shè)計（BIBD） t＝2；

對稱完全區(qū)組設(shè)計 t＝2，b＝v；

史坦納三元系 t＝2，k＝3，λ＝1；

一般史坦納系 λ＝1；

有限射影平面t＝2，v＝ n²＋n＋1，k＝n＋1，λ＝1，n稱為平面的階。

組合設(shè)計理論討論哪種t—（b，v，r，k，λ）設(shè)計存在；如存在，有多少種？在應(yīng)用中總是希望具體構(gòu)造出來。在計算機(jī)的幫助下，已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)步，但結(jié)果仍是零散的。另一方面，組合設(shè)計與統(tǒng)計正交表，正交拉丁方，阿達(dá)馬矩陣，循環(huán)差集等有密切關(guān)系。另外上述區(qū)組設(shè)計也有一系列推廣，并有廣泛的實用價值，如編碼理論。特殊的組合設(shè)計問題首先來自英國數(shù)學(xué)家柯克曼在1847年提出的柯克曼15女生問題：15個女生每天散步，排成5排，每排3人，問應(yīng)該如何排隊使得每一星期中每一對女生恰巧只有一天排在一排中？這是一個2—（15，35，7，3，1）設(shè)計。柯克曼給出一組解，其后進(jìn)步不大。20世紀(jì)30年代開始的巨大進(jìn)展有三個源泉：

①有限幾何學(xué)；

②抽象代數(shù)，如有限置換群論；

③統(tǒng)計的實驗設(shè)計。

對于t≥3，至今仍所知甚少，t＞5只知道較為簡單的情形。對于t＝4及t＝5，1938年德國數(shù)學(xué)家維特給出t—（v，k，λ）的史坦納系。4—（11，5，1），5—（12，6，1），4—（23，7，1）及5—（24，8，1）。1976年丁尼斯通又給出兩個新設(shè)計5—（28，7，1），5—（48，6，1）。另外的5—設(shè)計λ≠1，與編碼理論有關(guān)。對于t＝3，已知無窮多組合設(shè)計，例如莫比烏斯平面3—（q²＋1，q＋1，1），其中q為素數(shù)冪。

對t＝2的情形已有系統(tǒng)的研究，特別是BIBD以及特殊情形有限射影平面及其有關(guān)的拉丁方問題。1938年，印度數(shù)學(xué)家玻色首先引進(jìn)BIBD，并得出BIBD存在的必要條件：vr＝bk，λ（v－1）＝r（k－1），以及費舍爾不等式b≥r。1961年漢納尼證明，對于k＝3，4，上述條件也是充分的，但k≥5條件并不充分。對于對稱的BIBD，即v＝b，r＝k時，存在2—（v，k，λ）的必要條件在1949年由周拉及賴瑟給出：

①若v為偶數(shù)，則k—λ是一平方數(shù)；

②若v為奇數(shù)，則不定方程

有不全為零的整數(shù)解。

有限射影幾何是美國數(shù)學(xué)家凡勃侖在1904年提出的，其后幾年他和同事構(gòu)造出小階射影平面，由瑞瑟定理，如果 n≡1，2（mod4），n階有限射影平面存在的必要條件是n＝x²＋y²，由此可知6階射影平面不存在。但是10階射影平面的存在問題，長期令組合學(xué)家困擾。經(jīng)過幾年的計算機(jī)搜索，1989年終于證明10階射影平面不存在。

有限射影平面的重要性在于它與拉丁方密切相關(guān)。正交拉丁方問題來源于歐拉的36軍官問題。它是問，有36位來自6個軍團(tuán)具有6種軍銜的軍官，能否使他們排成6行6列的方陣，使每行和每列都包含各軍銜的軍官和各軍團(tuán)的軍官？他猜想這個問題無解，并進(jìn)一步推斷n＝4a＋2（a是正整數(shù)）也無解。n＝2時顯然無解，n＝6時無解由塔里在1900年證明。由于拉丁方對于實驗設(shè)計密切相關(guān)，因此拉丁方的構(gòu)造至關(guān)重要，而且玻色證明當(dāng)n≥3，如果有t個互相正交n階拉丁方，則t＜n－l，而且n－l個互相正交n階拉丁方，存在的充分必要條件是n階射影平面存在，這就解釋了為什么6階射影平面不存在，下面的問題是對10階以及4a＋2階正交拉丁方歐拉猜想是否成立？結(jié)果大大出人意料，玻色等人在1959年構(gòu)造一對10階正交拉丁方。1960年帕克構(gòu)造一對10階拉丁方，接著他們又證明所有4a＋2階正交拉丁方都存在。對于其他階的正交拉丁方不斷有新結(jié)果。1991年，有人構(gòu)造4個互相正交的28階與52階拉丁方。