（美國河洛易理念書院）

語錄兩則

“河出圖，洛出書，圣人則之（而立易）”；

“道可道，非常道；名可名，非常名；（數(shù)可數(shù)，非常數(shù)）”。

詩一首

陰陽虛實(shí)太極中，宇宙易化變無窮；

天演地適人競道，三才諧振肇生生。

緣 起

1990年10月，筆者參加在中國河南省安陽市召開的國際周易與自然科學(xué)討論會，作成兩件極富意義的工作，一件是向大會呈交并簡介作者所寫的《洛書的數(shù)學(xué)研究》三篇論文，一件是在會議討論中談到中國哲學(xué)家如馮友蘭等多將《易經(jīng)》理解為“宇宙代數(shù)學(xué)”，但卻說不出它的代數(shù)符號和數(shù)目字，這兩件事的巧合對作者啟發(fā)出一種決定性的認(rèn)識：在對中國傳統(tǒng)文化的繼承、重整，與發(fā)揚(yáng)工作中，第一件要事就是如何建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”；而這件事的啟蒙研究工作，恰好正是作者在完成對《河圖》和《洛書》的數(shù)學(xué)內(nèi)涵研究后的必然繼續(xù)。本文就是這一啟蒙研究工作的成果報(bào)告。謹(jǐn)此獻(xiàn)給中國及世界的專家和學(xué)者們，敬請指教和批評。

導(dǎo) 論

世界人類文化眾多，但歷史學(xué)家公認(rèn)有四大古老文化，即巴比倫文化、埃及文化、印度文化，與中國文化；四者皆對現(xiàn)代科學(xué)文化有重大影響與貢獻(xiàn)，一種民族文化的形成，所需構(gòu)成因素甚多，諸如人民、血統(tǒng)、語言、文字、地理、政治、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、工藝等；但是要形成一種光輝燦爛、綿延不斷，并能為人類作出重大貢獻(xiàn)的民族文化，最基本的必需因素就是該民族的“數(shù)學(xué)思維”，在世界人類文化史中最典型的范例就是中華民族的原始文化，它的主流發(fā)源于黃河臨近洛水地區(qū)，就是中國史籍所稱的“河洛文化”。

“河洛文化”雖然源遠(yuǎn)流長，但它的原始基本內(nèi)涵卻是自然數(shù)及其由加、減、乘、除四種演算所衍生的人類的“數(shù)學(xué)思維”，它的具體表征就是傳說中在上古龜甲上所刻畫的《河圖》、《洛圖》和《易卦》三類符號圖型，三者都不是直接用數(shù)字或其演算式來表達(dá)，而是由人類數(shù)學(xué)思維所結(jié)晶出來的數(shù)學(xué)符號模型。

根據(jù)史傳，《河圖》出現(xiàn)在伏羲時(shí)代，（約3332 BC）《洛書》出現(xiàn)在夏禹時(shí)代，（2100 BC）而《易卦》由伏羲畫卦開始到成書為《易經(jīng)》卻歷時(shí)長達(dá)約3000年。河圖和洛書只是兩種數(shù)型圖陣而無文字說明，即《周易 · 系辭傳》所稱：“河出圖，洛出書，圣人則之”，易卦是由陰爻與陽爻兩種符號所形成的不同層次的排列與組合，主為占卜與記事之用。易卦經(jīng)過夏、商兩代的演進(jìn)，直到文王作卦辭，周公作爻辭，孔子等人作《系辭》等傳文，于是一部居“六經(jīng)”之首，開中國文化之源的《易經(jīng)》就在《周易》的名義下流傳于中國，現(xiàn)并擴(kuò)及到全世界。

綜合的講，《周易》的內(nèi)容包括三大部分：《易卦》、《易經(jīng)》、與《易傳》，由《易卦》的起源到《易經(jīng)》的成書，中國經(jīng)過約3000年的時(shí)空發(fā)展，由《易經(jīng)》的成書到《易傳》的論釋，中間又經(jīng)過約500年的時(shí)空發(fā)展，所以《周易》—書蘊(yùn)涵著中華民族在三千余年的歷史洪流中所溶匯而成的原始文化，在中國文化史上，周易孕育了各種學(xué)術(shù)的萌芽、成長和發(fā)展，中國傳統(tǒng)文化從秦漢到明清無不與周易有關(guān)，直到今日，所有研究易卦符號及闡釋周易內(nèi)涵的各種不同學(xué)術(shù)就形成一門龐雜的、包羅萬象的學(xué)術(shù)系統(tǒng)，通稱“易學(xué)”。

《周易》是一部熔合哲學(xué)、數(shù)學(xué)和科學(xué)于一爐的古籍，它不只孕育出中國傳統(tǒng)文化的成長與發(fā)展，亦影響著近代世界科學(xué)家的思維與創(chuàng)作，根據(jù)中國傳統(tǒng)觀點(diǎn)，易學(xué)研究可劃分為三大學(xué)派，像數(shù)派、數(shù)理派、與義理派。根據(jù)現(xiàn)代科學(xué)觀點(diǎn)，易學(xué)研究的內(nèi)容可概括為三大范疇：科學(xué)、數(shù)學(xué)、與哲學(xué)。到了今日，由于中外學(xué)術(shù)的交流與融合，易學(xué)中所蘊(yùn)涵的自然法則及其科學(xué)、數(shù)學(xué)、與哲學(xué)的義理，更影響著未來整體人類思維的方式、法則與運(yùn)用。這就驗(yàn)證了中國古語：“周雖舊邦，其命維新”；而周易的生命力也確是歷久彌堅(jiān)了。

易卦符號系統(tǒng)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的掛鉤問題

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)和語言，根據(jù)作者的研究，河圖、洛書和易卦三者都可統(tǒng)屬為由人類數(shù)學(xué)思維所結(jié)晶出來的數(shù)學(xué)模型，代表中國傳統(tǒng)文化生長的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。自漢代以來，中國學(xué)者就將此三類圖型理解并通稱謂，“河、洛、易數(shù)”。宋代理學(xué)家朱熹更將此三圖型同置于《周易本義》一書之首，表示三者間必有相互演化關(guān)系存在。但二千年來，在易學(xué)發(fā)展的歷史洪流中，迄今尚未能建立“河、洛、易數(shù)”的數(shù)學(xué)體系，亦很少學(xué)者根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論闡釋易卦符號系統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。作者認(rèn)為在對中國傳統(tǒng)文化的繼承、重整與發(fā)揚(yáng)工作中，如何建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”實(shí)是一件有重大意義的基本研究命題。

顯然地，《河圖》是數(shù)，《洛書》亦是數(shù)，因?yàn)槎叨际怯命c(diǎn)代表數(shù)所構(gòu)成的數(shù)型圖陣，作者對此二圖陣的數(shù)學(xué)內(nèi)涵已有三篇論文闡釋，關(guān)于河、洛、易數(shù)三者演進(jìn)的關(guān)系當(dāng)再為文論述，本文只論如何建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”，或只簡稱曰“易代數(shù)”。

因?yàn)橐棕灾皇怯藐庁撑c陽爻兩種符號所構(gòu)成的不同層次的排列與組合。其中既無數(shù)字，亦無運(yùn)算法則，所以歷代習(xí)易者均有“易數(shù)”難通之感。在現(xiàn)代易學(xué)研究的論著中，所有關(guān)于易卦符號的數(shù)學(xué)論述，全都局限于陰陽兩爻排列的順序，方位、對稱、置換、平衡等性質(zhì)的描繪，迄未能建立易卦符號系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義，數(shù)值單位與演算法則。所以要將易卦與現(xiàn)代數(shù)學(xué)掛鉤的基本問題是，如果“易”是敗的話，“易數(shù)”是什么？

根據(jù)“易”的開宗明義：“一陰一陽之謂易”，則要建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”的啟蒙核心問題有三：（一）陰或陰爻的代數(shù)定義，符號與數(shù)目是什么？（二）陽或陽爻的代數(shù)定義，符號與數(shù)目是什么？（三）易或易卦的代數(shù)定義、符號與數(shù)目是什么？

由于篇幅所限，作者假定讀者都已掌握了《周易》和《代數(shù)》的基本知識，本文將不再引述周的哲學(xué)與科學(xué)內(nèi)涵，只根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，研究易卦符號系統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，以建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”。又為了行文精簡起見，本文將根據(jù)作者研究結(jié)果，采用開門見山及豁然貫通方式，首先列出建立周易代數(shù)學(xué)的基本命題。并在命題中首先給出函、陽與易的代數(shù)定義，然后再推導(dǎo)建立定義所根據(jù)的數(shù)學(xué)理則，最后，初步敘述了建立周易宇宙代數(shù)學(xué)的三個(gè)理論基礎(chǔ)。

建立周易宇宙代數(shù)學(xué)的基本命題

1. 作者對設(shè)立陰，陽與易的英文符號之前提建議。

（A）陰或陰爻的英文符號：作者建議將陰或陰爻的英文名詞由現(xiàn)時(shí)通用的Ying改作Xin，以取其與陽字不同的字首符號。例如陰爻符號原為“- -”，其英文符號表作X或x，又如坤卦系由三個(gè)陰爻組成，由下到上寫作?，其英文符號則為由左到右表作XXX或xxx，又如艮的陰陽符號為?，其英文符號寫作XXY。

（B）陽或陽爻的英文符號：陽或陽爻的英文名詞仍用Yang。例如陽爻符號原為“一”，其英文符號表作Y或y，又如乾卦系由三個(gè)陽爻組成，由下到上寫作?，其英文符號則為由左到右表作YYY或yyy，又如巽的陰陽符號為?，其英文符號寫作XYY。

（C）易或易卦的英文符號：作者建議將《易經(jīng)》的英文翻譯定作Yi-Ching而不用I-Ching，亦即采用Yi作為易的英文符號。當(dāng)將易或易卦作為易數(shù)時(shí)，作者建議從周易之周（Zhou）字，其英文符號用Z或z表示。

作者建議將陰、陽與易的英文符號分別用X、Y與Z代表，乃是根據(jù)對三者代數(shù)定義的研究結(jié)果而定，如下節(jié)所述。

2. 建立陰、陽與易的代數(shù)定義之研究

建立“周易宇宙代數(shù)學(xué)”的首要研究命題就是建立陰、陽與易的代數(shù)定義，更具體點(diǎn)說，要建立陰、陽與易的代數(shù)定義，就必須研究建立易卦陰陽符號體系所依據(jù)的數(shù)域（即數(shù)字系統(tǒng)）是什么？因?yàn)樽匀唤缰忻恳晃锢硐到y(tǒng)的成立，必須建筑在一個(gè)對應(yīng)的數(shù)域上面，以致二者在代數(shù)運(yùn)算中可以建立一與一的對應(yīng)關(guān)系，如此吾人始能將物理體系的性質(zhì)之描繪轉(zhuǎn)換成數(shù)量的計(jì)算。

為了解答上述的問題，讓我們先復(fù)習(xí)一下數(shù)論中的數(shù)域形成原理，作者在前文中已討論過，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所用數(shù)系都是以自然數(shù)集為基礎(chǔ)，再依次衍生出整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集、直到最高最廣的復(fù)數(shù)集。誠然，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯與公理都植基于自然數(shù)集的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與算術(shù)運(yùn)算，并用以來說明宇宙中各種不需證明的現(xiàn)象與事實(shí)。

再回顧一下易學(xué)發(fā)展的歷史過程。第一層次將陰、陽符號與數(shù)字建立對應(yīng)聯(lián)系的創(chuàng)始人是孔子，他在《系辭傳》中說，“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。”天指陽爻，地指陰爻。很明顯地，他用陰陽兩爻代表十進(jìn)制自然數(shù)系中的基數(shù)，陽表奇數(shù)，陰表偶數(shù)。這樣就將自然數(shù)集區(qū)分為兩個(gè)子集：一為奇數(shù)或陽數(shù)子集，一為偶數(shù)或陰數(shù)子集，兩者互為一、一對應(yīng)關(guān)系。但是，孔子的陽奇陰偶概念，只能建立兩個(gè)數(shù)系的一一對應(yīng)關(guān)系，而不能建立兩者的互換恒等等關(guān)系，這亦就不能符合周易體系之“陰陽二重性”的特質(zhì)。（有關(guān)周易體系之陰陽二重性特質(zhì)將在下文中闡述）。事實(shí)證明，孔子以后的易學(xué)家們從未能根據(jù)“陰奇陽偶”的概念而建立起一套整體的周易數(shù)學(xué)體系。

第二層次以數(shù)學(xué)符號代替陰陽兩爻符號的創(chuàng)始人當(dāng)推德國數(shù)學(xué)家萊本尼茲，他是根據(jù)十進(jìn)制創(chuàng)立二進(jìn)制數(shù)系的人。他于18世紀(jì)初提出以0代替陰爻“- -”以1代替陽爻“—”，這樣就可將每個(gè)易卦用二進(jìn)制數(shù)碼表示，各卦的位序亦可按十進(jìn)制的數(shù)序排列出來?，F(xiàn)代全世界的易學(xué)家大都接受了易卦陰陽符號與二進(jìn)制算術(shù)的一致性這一概念，而萊本尼茲闡釋易卦結(jié)構(gòu)的功績亦將永志史冊。但是，作者仍需指出，根據(jù)易卦之陰陽二重性原理來解析，萊氏的陰零與陽一關(guān)系的成立，必須局限于將0與1作為兩個(gè)數(shù)符以置換“- -”與“—”兩個(gè)爻符，它仍然只是一個(gè)二進(jìn)制符號系統(tǒng)，并不能以0與1所構(gòu)成的二進(jìn)制數(shù)值系統(tǒng)，作為陰陽兩爻與易卦的代數(shù)定義建立起一套整體的周易宇宙代數(shù)學(xué)。

可以認(rèn)為，筆者開發(fā)了第三層次且建議用現(xiàn)代數(shù)域系統(tǒng)代替易卦陰陽符號系統(tǒng)。為了建立陰爻，陽爻與易卦的代數(shù)定義，筆者擬定了兩個(gè)研究命題，一為周易體系及其數(shù)學(xué)理則的建立，一為建立周易宇宙代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)之研究。根據(jù)此二項(xiàng)研究的結(jié)果，筆者得出以下重要結(jié)論：

（1）易卦陰陽符號系統(tǒng)就是現(xiàn)代數(shù)域中的復(fù)數(shù)數(shù)域系統(tǒng)。

（2）每一易卦代表一個(gè)易數(shù)，每一易數(shù)就是一個(gè)復(fù)數(shù)，其代數(shù)式為Z=X+Yi，式中X為實(shí)部，Y為虛部，i為虛數(shù)單位。

（8）陰爻就是實(shí)數(shù)的單位，表作Re=√1=±1。

（4）陽爻就是虛數(shù)的單位，表作Im==√-1=±i。

根據(jù)這四個(gè)定義，周易宇宙代數(shù)學(xué)的建立就將形成現(xiàn)代復(fù)數(shù)代數(shù)學(xué)的自然基底，也就是說，易數(shù)衍生復(fù)數(shù)域正與自然數(shù)衍生實(shí)數(shù)域相互對應(yīng)。

3. 周易體系及其數(shù)學(xué)理則的建立。

周易體系是人類文化史中最早的一種思維體系，它具有最簡單、最綜合與最抽象的三種特質(zhì)，易卦本體原只是一種陰、陽兩爻符號的系統(tǒng)或體系，但人類對此符號系統(tǒng)的理解與闡釋，自然就形成一種思維體系，根據(jù)周易內(nèi)容及歷代學(xué)者的論述，筆者將周易體系劃分為三大從屬體系，并推導(dǎo)每個(gè)從屬體系的建立其所依據(jù)的數(shù)學(xué)理則于下：

（A）周易陰陽符號體系及其數(shù)學(xué)理則：《周易 · 系辭傳》稱：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四像，四像生八卦”。這一定義是為了解釋八卦衍生順序而定的。根據(jù)這一定義，吾人可譜出八卦符號體系的結(jié)構(gòu)組織如圖1。作者在圖中將陰、陽兩爻符號與其英文符號并列于括號中，并將八卦符號所代表的自然界的對應(yīng)形象列在圖中最下方，如乾表天、坤表地等是。

根據(jù)圖1所示八卦生成原理，讀者不難如法推演出十六，卅二，及易經(jīng)中所論述的全部六十四卦。因?yàn)樽x者已掌握了周易的基本知識，作者建議讀者參考王贛等所著《古易新編》中的伏羲六十四卦次序圖今譯簡表，該圖將周易陰陽符號體系全部構(gòu)成及六十四卦的二進(jìn)制爻位與十進(jìn)制數(shù)值全部示出。

伏羲創(chuàng)立易卦陰陽體系所按照的數(shù)學(xué)理則就是一個(gè)幾何級數(shù)的序列，他采用了比值為2的等比級數(shù)，作者建議將此級數(shù)命名為伏羲級數(shù)，表作符號Fs，按照集論，F(xiàn)s的建立公式為

Fs={1，2，4，8…}={2⁰，2¹，2²，2³…}={2ⁿ：n=0，1，2，3…}

這一Fs亦就是“易數(shù)集”或簡曰“易數(shù)”的公式，現(xiàn)代易學(xué)家亦稱此伏羲數(shù)集為“太極序列”。

易數(shù)集Fs的基本性質(zhì)與結(jié)構(gòu)蘊(yùn)涵著三大數(shù)學(xué)特質(zhì)，（一）它的構(gòu)成元只是一個(gè)自然數(shù)2，構(gòu)成元間的數(shù)學(xué)操作是自乘即平方，平方的還原或逆向操作是開方。（二）2ⁿ的序列亦可寫成（1+1）ⁿ，由此可推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理（x+y）ⁿ。（三）2ⁿ的數(shù)值序列可用作整數(shù)域中二進(jìn)制系統(tǒng)，二者完全吻合，吾人根據(jù)Fs所蘊(yùn)涵的上述三大數(shù)學(xué)特質(zhì)，就可推導(dǎo)出易卦陰陽符號體系的全部數(shù)學(xué)內(nèi)涵，包括周易體系的陰陽二重性等等，將在下面專節(jié)中討論。

作者此處必須解答的首要問題為：如何根據(jù)上述Fs的第一項(xiàng)數(shù)學(xué)特質(zhì)推導(dǎo)出陰陽兩爻符號所代表的數(shù)值單位？根據(jù)數(shù)論，自然界中的線性系統(tǒng)是用自然數(shù)集和整數(shù)集來描繪，其中最基本與最簡單的代數(shù)方程式為x+1=0，其解就生出x=-1的負(fù)數(shù)。Fs數(shù)集的建立就可描繪自然界中的非線性系統(tǒng)，它引入了代數(shù)中的二次方程式與平方和開方的操作，其中最簡單與最基本的代數(shù)方程式為y²±1=0，其解就生出實(shí)數(shù)單位，y=√1=±1與虛數(shù)單位y=√-1=±i。作者據(jù)此乃定義陰爻所代表的數(shù)值單位為實(shí)數(shù)單位±1、陽爻所代表的為虛數(shù)單位±i，以符合周易體系的陰陽二重性特質(zhì)。

在各類數(shù)集中，虛數(shù)單位i=√-1的物理意義雖難了解，但它卻為描繪非線性系統(tǒng)中的必需數(shù)值單位。因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)特質(zhì)為不規(guī)則性與混沌性，而i=√-1的建立就是不規(guī)則數(shù)字或混沌數(shù)字的典型范例。

（B）周易天、地、人三才體系及其數(shù)學(xué)理則：根據(jù)傳辭所稱：“易之為書也，廣大悉備，有天道焉，有人道焉，有地道焉”。中國古代學(xué)人就將易卦陰陽體系與自然界的事物比擬互釋，建立了天、地、人三才體系。又根據(jù)系辭下傳二章的解釋：“古者庖犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠(yuǎn)取諸物，于是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情?！边@段話說明易卦陰陽符號是象徵天地間前事萬物與人類生命交織構(gòu)成的像、數(shù)、理系統(tǒng)模型。作者應(yīng)用現(xiàn)代文化語言，可譜出周易的天地人三才應(yīng)用體系，如圖2所示。天、地、人三才的有機(jī)結(jié)合產(chǎn)生出三者中所含像、數(shù)、理的互釋，再進(jìn)而衍生出人類社會與自然環(huán)境間所構(gòu)成的數(shù)、理、哲學(xué)交織合成的總體系，并形成人類文化中的各種信息與系統(tǒng)科學(xué)。

根據(jù)周易三才體系的結(jié)構(gòu)，吾人可解析出建立此體系的數(shù)學(xué)理則有三：（一）它是依據(jù)陰陽二元系統(tǒng)（即太極）在天、地、人三大范疇中的作用而建立的。吾人如將陰陽統(tǒng)—體的太極作為元始單體，它所發(fā)揮與應(yīng)用的范疇就構(gòu)成一個(gè)三維體系。（二）周易像、數(shù)、理應(yīng)用系統(tǒng)的衍生是準(zhǔn)照比值為三的等比級數(shù)而形成，筆者建議將此級數(shù)命名為文王級數(shù)，表作符號Ws，它的建立公式為

Ws={1，3，9，27，…}={3⁰，3¹，3²，3³，…}={3ⁿ：n=0，1，2。3，…}

（三）易卦的本體是陰昍二元體系或二重結(jié)構(gòu)，但易卦的作用空間則是天、地、人三才系統(tǒng)。為了體用兼?zhèn)?，易卦?yīng)用體系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就必須采用2，3兩基數(shù)的結(jié)合。這就形成了建立易卦體系的數(shù)學(xué)公式就是二項(xiàng)式定理中的三次冪與六次冪。這亦說明了文王訂定易卦時(shí)，只用八（2³）卦與六十四（2⁴）卦（不用十六或卅二）的衍生結(jié)果。

周易三才體系形成的數(shù)學(xué)理則在《說卦傳》中載有生動的說明：“昔者圣人之作易也，將以順性命之理。是以立天之道，曰陰與陽，立地之道，曰柔與剛；立人之道，曰仁與義。兼三才而兩之，故易六劃而成卦；分陰分陽，迭用柔剛，故易六位而成章”。這里我們暫不論陰陽二元的各種科學(xué)與哲學(xué)含義，只就易卦的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)論，這段話就闡釋了由（X+Y）³而生8卦，由（X+Y）⁶而生64卦，吾人根據(jù)此二項(xiàng)式展開定理，就可推導(dǎo)出易卦為一封閉的陰、陽循環(huán)系統(tǒng)，其中陰爻與陽爻必須符合排列與組合公式，并遵守置換、平衡與守恒定律。

（C）周易宇宙時(shí)空體系及其數(shù)學(xué)理則：在人類文化史中，中華民族是最早認(rèn)識宇宙時(shí)空為一體的。根據(jù)“上下四方之謂宇，古往今來之謂宙”的空間和時(shí)間的定義，可知空間是指上下四方的三維垂直軸系，時(shí)間是指和空間相互垂直的另一線性軸系。這種原始的時(shí)空一體觀念正與現(xiàn)代相對論學(xué)說中的四維時(shí)空體系相符合。古代中國人對時(shí)空一體的最佳描繪就是“日出而作，日入而息”八個(gè)字；再就宏觀世界論，亦有“滄海桑田”之諺。當(dāng)然，人類對時(shí)空結(jié)構(gòu)的認(rèn)識是跟著科學(xué)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)知識的進(jìn)步而深化，由歐氏幾何空間，伽利略落體運(yùn)動，經(jīng)過牛頓的絕對時(shí)空，直到愛因斯坦的時(shí)空相對論，宇宙時(shí)空的性質(zhì)始明于人類，但這些超出本文范圍，作者現(xiàn)只簡論周易宇宙時(shí)空體系的建立。

根據(jù)《易經(jīng)》，周易宇宙時(shí)空體系是由乾、坤、時(shí)、位四大重要概念組成。四者中乾、坤是萬物的根源（太極），時(shí)、位即指時(shí)間與空間，乃萬物變化之所由出，它基本上是一套自然宇宙觀。自然界中各種事物的作用與演化，必須因時(shí)制宜，因地制宜、時(shí)空配合，交織天成，以維持宇宙中的因果關(guān)系。吾人根據(jù)描繪宇宙動態(tài)必須時(shí)空一體的四維幾何架構(gòu)，乃譜出周易宇宙時(shí)空體系的構(gòu)成如圖3，此圖標(biāo)志出宇宙間各種事物的存在與變化必須用時(shí)間和空間不可分割的一體觀點(diǎn)來描繪。易傳中之彖傳主系卦辭發(fā)揮，其重點(diǎn)在言時(shí)、位（空間），尤多言時(shí)，其中盈虛、消長、終始、往復(fù)皆為時(shí)間的屬性。

周易宇宙時(shí)空體系的建立奠定了描繪自然界中各種動態(tài)現(xiàn)象的架構(gòu)。亦構(gòu)成了人類對各種科學(xué)、數(shù)學(xué)與哲學(xué)的思維與體驗(yàn)的底基。根據(jù)集論，吾人可定義“宇宙”為自然界中所有時(shí)空體系的集合，而自然界中的一切事物均可視作時(shí)空四維體系中的點(diǎn)集，數(shù)學(xué)中所有函數(shù)的建立、分析與操作均以時(shí)空一體為理則，而以時(shí)間變數(shù)為基底的微分與積分更是函數(shù)分析中的主體，關(guān)于時(shí)空四維體系的幾何性質(zhì)及軸系轉(zhuǎn)換，讀者可參閱專書，本處為篇幅所限，作者只提出周易時(shí)空體系的代表矩陣及它的特征方程式和特征值的數(shù)學(xué)理則于下。

在線性系統(tǒng)中，一個(gè)三維空間的代表矩陣就是眾所周知的三維單位矩陣或恒等矩陣I₃，如圖4a所示，當(dāng)引入第四維時(shí)間軸系時(shí)，它必須與三維空間軸系相垂直，則所構(gòu)成的四維時(shí)空矩陣代表必須表如圖4b，或其轉(zhuǎn)置形式如圖4c。作者建議將此四維時(shí)空矩陣名作“周易矩陣”或簡稱為“易矩陣"，表作〔A〕。關(guān)于周易矩陣的性質(zhì)及其轉(zhuǎn)變?yōu)楦鞣N不同形式如對稱、恒等及三角矩陣的操作，本文不能多作論述?，F(xiàn)只說明在時(shí)空四維方陣〔A〕的作用下，代表某一事物的一個(gè)特定矢量〔X）可以生出數(shù)值為入的盈虛消長的數(shù)學(xué)理則于下：

根據(jù)線性代數(shù)學(xué)，當(dāng)-n階方陣〔A〕作用到矢量〔X〕時(shí)，如果不令〔X〕的方向改變，只令其長度發(fā)生倍值為X的增長或縮短時(shí)，吾人就可建立一基本方程式AX=λX，并命名合乎此式的λ為〔A〕的特征值，〔X〕為其特征矢量，如果吾人應(yīng)用恒等矩陣I，將λ值寫作矢量形式λI時(shí)，則上述基本方程式AX-λX=0就可寫作矩陣方程式〔A-λI〕X=0，吾人稱此〔A-λI〕為〔A〕的特征矩陣。此一矩陣方程式的意義有二：（一）特征值λ的選定可令〔A-λI〕具有0維空間（nullspace）。（二）特征矢量X位于〔A-λI〕的零維空間內(nèi)，為了達(dá)成此二要求，吾人自不能選用〔X〕為零值的矢量，而必須令〔A-λI〕成為奇異矩陣（Singular matrix），亦即令其行列式值為零，換句話說，λ值可能成為〔A〕的特征值的必需充分條件就是〔A -λI〕=det〔A-λI〕=0，此式的展開就是λ的n-次多項(xiàng)式，即曰〔A〕的特征多項(xiàng)式，其解就是所求的n個(gè)特征值λn。將每一λ值代回到〔A-λI〕X=0式內(nèi)，就求得每一λ值所對應(yīng)的特征矢量X。

讀者根據(jù)上述理則，就可求得周易矩陣〔A〕的三項(xiàng)特征如下：

（1）周易矩陣的特征多項(xiàng)式：λ⁴-1=（λ²+1）（λ²-1）=0

（2）周易矩陣的特征值：λ₁=1；λ₂=-1；λ₃=+i；λ₄=-i。

（3）周易矩陣的特征矢量：X₁=（1，1，1，1）ⁱ；X₂=（1，-1，1，-1）ⁱ；X₃=（1，i，-1，-i）＇；X₄=（-1，-i，1，i）＇。

作者曾定義陰或陰爻的數(shù)值單位為實(shí)數(shù)單位Re=√1=±1，陽或陽爻的數(shù)值單位為虛數(shù)單位Im=√-1=±i，于此可得證明。

4. 建立周易宇宙代數(shù)學(xué)的三個(gè)理論基礎(chǔ)

（A）宇宙二重性原理（The principle of Cosmos Duality）：在人類對宇宙的體驗(yàn)認(rèn)知過程中，從開始到現(xiàn)在，不斷地在建立著一個(gè)宇宙二重性原理。就是說，宇宙間各種事物現(xiàn)象的組成、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、作用與功能，都可用性質(zhì)相異的兩重實(shí)質(zhì)或兩個(gè)部分來解析與組合（或?qū)α⑴c統(tǒng)一）。我們現(xiàn)舉例說明如下。

在原始時(shí)代、人類體認(rèn)了宇宙中天與地的蓋載萬物，日與月的運(yùn)行規(guī)律，山與川所構(gòu)成的地理，水與火所表現(xiàn)的相異性質(zhì)與功能，以及人類必由男女兩性所組成的家庭與社會。

隨著科學(xué)知識的進(jìn)步，人類體驗(yàn)出各種科學(xué)范疇中的二重性，例如，地球?yàn)橐淮朋w，而磁體必然呈現(xiàn)南北兩極；物質(zhì)可以帶電，而電必分陰陽兩荷。物理為質(zhì)量與能量的二重組合，化學(xué)為無機(jī)與有機(jī)的二重組合，生物為生長與生殖的二重組合，哲學(xué)為物與心或物質(zhì)與精神的二重組合等等。

到了20世紀(jì)，宇宙二重性原理更為人類所認(rèn)識。愛因斯坦的相對論證明了時(shí)間和空間互為一體，及物質(zhì)的質(zhì)量與能量可按照E=C²M的關(guān)系相互轉(zhuǎn)變。在微觀世界的研究中，量子力學(xué)的建立證明了組成物質(zhì)的一切基本質(zhì)點(diǎn)的行為和狀態(tài)都必須由粒子和波動這二重性來闡釋。

展望未來，人類文化的內(nèi)涵將再如何繼續(xù)充實(shí)，以求發(fā)現(xiàn)宇宙二重性的更高境界，實(shí)為人類前途發(fā)展的希望與挑戰(zhàn)。

（B）數(shù)學(xué)體系中的二重性特質(zhì)（The Dualin Mathematics）；根據(jù)近代世界數(shù)學(xué)史的記載，我們可以看出近200年來數(shù)學(xué)家特別注意到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的二重性特質(zhì)。在各類數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)定義、結(jié)構(gòu)、操作，及定理的形成大都需用二重性質(zhì)的構(gòu)成單元（或單位）來組成，當(dāng)此兩個(gè)互為二重性的單元互換時(shí)，數(shù)學(xué)定理仍維持不變，現(xiàn)試以三個(gè)最基本的例子說明：（—）在三角學(xué)中，角與邊構(gòu)成兩個(gè)互為二重性的部分，在有關(guān)角與邊的定理中，如將角與邊相互置換，定理的真實(shí)性不變，例如銳角三角形的兩角（邊）之和大于第三角（邊）。（二）在平面幾何中，點(diǎn)與直線互為二重性，在有關(guān)點(diǎn)與線的定理中，如將二者置換，定理仍當(dāng)成立。例如兩點(diǎn)（直線）之間只有一個(gè)直線（交點(diǎn)）。（三）在代數(shù)學(xué)中，系數(shù)與未知數(shù)兩者互為二重性，如將一恒等式中的系數(shù)與未知數(shù)相互置換，恒等關(guān)系仍然不變，例如ax+by+cz=k，如將系數(shù)a、b、c與未知數(shù)x，y，z互換，則xa+yb+zc=k仍然恒等。

當(dāng)然，高等數(shù)學(xué)中的二重性特質(zhì)遠(yuǎn)為深奧復(fù)雜、難，絕非如上三例之淺顯易明，讀者需自行探索研究。為了讀者的方便，作者現(xiàn)用線性程序設(shè)計(jì)（linear programming）中求最大值與最小值的問題，說明數(shù)學(xué)中二重性結(jié)構(gòu)的建立：在一件商品的制造與銷售體系中，最小成本與最大利潤就構(gòu)成了系統(tǒng)中的互為二重性的兩個(gè)部分，設(shè)獲得最大利潤的函數(shù)式為h₁x₁+ h₂x₂+…+h_nx_n，而達(dá)到最小成本的函數(shù)式為c₁y₁+ c₂y₂+…+c_ny_n，兩式中的未知數(shù)自都必須為正值，設(shè)獲得最大利潤所必須遵從的約束條件可用一不等矩陣方程式表示，則不等關(guān)系必須采用（≤），方程式必須合乎〔A〕_mn ·〔X〕_n≤〔C〕_m，此式中右邊的參數(shù)矢量（c₁，c₂，…，c_m）正是最小成本函數(shù)式的系數(shù)，而式中左邊的每一約束條件就構(gòu)成最小成本函數(shù)中的未知數(shù)。此種數(shù)學(xué)關(guān)系與結(jié)構(gòu)自可同樣用到最小成本問題中，二者互成一種二重性特質(zhì)。則最小成本必須準(zhǔn)照的約束條件亦可用一不等矩陣方程式表示，但不等關(guān)系必須采用（≥），方程式必須合乎〔A〕_mn ·〔y〕_m≥〔b〕_n，此式中右邊的參數(shù)矢量（b₁，b₂，…，b_m）就是最大利潤函數(shù)式的關(guān)系，左邊矩陣〔A〕_nm正是〔A〕_mn的轉(zhuǎn)置形式，而每一約束條件正是最大利潤函數(shù)中的未知數(shù)。

再以數(shù)論為例，在一系列整數(shù)所成的集合中，最小數(shù)與最大數(shù)就構(gòu)成互為二重性的單元，求該數(shù)集的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)就構(gòu)成互為二重性的操作，在有關(guān)最大公約和最小公倍的定理中，如將二者互為置換，定理仍然成立。最后，作者要特別指出：在所有數(shù)系中，只有復(fù)數(shù)系最符合標(biāo)準(zhǔn)二重性的特質(zhì)，復(fù)數(shù)中的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分構(gòu)成互為二重性的部分；在有關(guān)復(fù)數(shù)的操作和定理中，如將二者互相置換，亦即應(yīng)用“實(shí)者虛之，虛者實(shí)之”的轉(zhuǎn)變，則操作結(jié)果和定理真實(shí)性仍然不變，作者將易卦陰陽體系與復(fù)數(shù)系統(tǒng)等同掛鉤，理由在此大明。

（C）周易體系之陰陽二重性（Xin-Yang Duality of The Yi System）：周易體系的基本特質(zhì)為太極一體的陰陽二重性，西方學(xué)者稱之謂中國的“陰陽學(xué)說”。易卦陰陽符號系統(tǒng)雖為人類中最古老的思維體系，但它卻符合最新的科學(xué)理論如相對論和量子力學(xué)?，F(xiàn)時(shí)有人稱贊《周易》為中華文化之母，人類文化之精，世界科學(xué)之神。其寓意即指易卦陰陽符號體系可能作為自然界中一個(gè)基本普遍原理的代表模型，作者提出將宇宙現(xiàn)象的二重性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的二重性與易卦陰陽符號的二重性三者結(jié)合一起，它們不只組成建立周易宇宙代數(shù)學(xué)的三個(gè)理論基礎(chǔ)，亦可構(gòu)成一個(gè)綜合的、抽象的、到處存在的“陰陽二重性體系”，可用來闡釋宇宙本體與人類生命的各種存在狀態(tài)與現(xiàn)象。

“陰”與“陽”只是兩個(gè)抽象的概念或符號，用來代表一個(gè)體系的兩個(gè)構(gòu)成部分，二者價(jià)值相當(dāng)，功能相當(dāng)，相互可以置換而體系的組成、性質(zhì)、作用與功能卻維持不變。建立陰與陽的基本邏輯式哲學(xué)意義超出本文范圍，由于篇幅所限，作者在此只提出以《雜卦傳》中所謂：“以同相類，以異相名”暫作為本文之結(jié)束語。