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【學(xué)習(xí)導(dǎo)引】本期課我們來學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)。 一、對數(shù)函數(shù)的定義 一般地，函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是。 特別地，以為底的對數(shù)函數(shù)叫做常用對數(shù)函數(shù)，以無理數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)叫自然對數(shù)函數(shù)。 判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的依據(jù)： （1）形如; （2）底數(shù)滿足且； （3）真數(shù)為，而不是的函數(shù)，比如就不是對數(shù)函數(shù)； （4）定義域為。 二、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) （1）當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖所示：  函數(shù)性質(zhì)： ①定義域:; ②值域:; ③恒過定點; ④在上是增函數(shù); ⑤當(dāng)時;當(dāng)時; （2）當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖所示：  函數(shù)性質(zhì)： ①定義域:; ②值域:; ③恒過定點; ④在上是減函數(shù); ⑤當(dāng)時;當(dāng)時; 共有性質(zhì)： ⑥與關(guān)于軸對稱; ⑦軸是漸近線，即圖像向上、下無限延伸； ⑧與互為反函數(shù). 【知識點1】對數(shù)函數(shù)的概念 【例題1】已知下列函數(shù)： ①; ②; ③; ④是常數(shù)); 其中是對數(shù)函數(shù)的有___（填序號）. 詳解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義： 選項①，②是關(guān)于的函數(shù)，而不是，所以①②不是對數(shù)函數(shù). 選項③：底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)，定義域為,是對數(shù)函數(shù)； 選項④：參數(shù)不滿足恒成立，故不是對數(shù)函數(shù). 答案：③. 【例題2】若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則的值為___. 詳解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，有： 解得：. 答案：. 【例題3】若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍. 詳解：原命題等價于恒成立時求的取值范圍. ①當(dāng)時：. 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，. ∴不成立； ②當(dāng)時: . 解得：. ∴實數(shù)的取值范圍為. 【知識點2】對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例題3】函數(shù)且的圖像恒過點__. 詳解：對數(shù)函數(shù)的圖像恒過點,將該點沿軸向左平移個單位，再沿軸向下平移個單位，得到點,該點在函數(shù)的圖像上,如圖所示：  即函數(shù)恒過點. 答案：. 【例題4】已知且，則函數(shù)與的圖象只能是（ ）.  詳解：的圖像是把的圖像沿軸對稱得到. .根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像,則是減函數(shù)，在第二,三象限;.正確; .根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像,則是增函數(shù)，在第二,三象限，故均錯誤. 答案：. 【例題5】如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù),,,的圖象，則與的大小關(guān)系為__.  詳解：由,為增函數(shù)可知且; 由,為減函數(shù)可知且; 過點作一條平行于軸的直線，如圖所示：  這條直線與四個對數(shù)函數(shù)形成的交點的縱坐標(biāo)相同，即指數(shù)相同，自變量代表真數(shù)。在指數(shù)相同的情況下，真數(shù)越大，說明底數(shù)越大，即. 答案：. 【知識點3】對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用 【例題6】已知函數(shù) . （1）當(dāng)時，求在區(qū)間[]內(nèi)的最小值； （2）若對任意都有不等式恒成立，求的取值范圍. 詳解：（1）因為,所以： . 令,易知與在上單調(diào)遞增. 設(shè),則, , 則. ∴在上單調(diào)遞增. 又∵與在上單調(diào)遞增， ∴在上單調(diào)遞增. ∴ 在上單調(diào)遞增. ∴ . （2）由（1）知， 在上單調(diào)遞增. 所以對任意，有： . 因為對任意都有不等式恒成立, ∴， 整理得：， 解得：. ∵∴. 綜上所述，的取值范圍為]. |
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