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當(dāng)涉及到車輛運(yùn)動(dòng)控制時(shí)，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型是至關(guān)重要的。模型的建立越準(zhǔn)確，對(duì)車輛運(yùn)動(dòng)的描述越準(zhǔn)確，對(duì)車輛的跟蹤控制的效果就越好。除了真實(shí)反映車輛特性外，建立的模型也應(yīng)該盡可能的簡(jiǎn)單易用。車輛模型按不同應(yīng)用場(chǎng)景可以分為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、動(dòng)力學(xué)模型、純幾何模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型、混合模型等。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（Kinematic Model）和動(dòng)力學(xué)(Dynamical Model)模型一般用于車輛的運(yùn)動(dòng)控制。車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是一種簡(jiǎn)化的模型，旨在描述車輛的基本運(yùn)動(dòng)特性，如轉(zhuǎn)向、速度和位置。該模型忽略了物理力和動(dòng)力影響，側(cè)重于幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型通常用于路徑規(guī)劃、軌跡生成和簡(jiǎn)單行駛決策。動(dòng)力學(xué)模型考慮了車輛的物理動(dòng)力學(xué)特性和輪地耦合關(guān)系，包括慣性、載荷、摩擦、輪胎特性等，因此更能準(zhǔn)確地模擬車輛在各種工況下的行為特性。這種模型適用于需要更高精度控制的情況，如高速行駛、急剎車、轉(zhuǎn)彎時(shí)的縱向與側(cè)向力等。首先介紹一下車輛建模中非常重要的阿克曼轉(zhuǎn)向幾何（Ackermann steering geometry）問題。在車輛轉(zhuǎn)向時(shí)，內(nèi)外側(cè)轉(zhuǎn)向輪路徑的曲率并不相同即車輛轉(zhuǎn)向的內(nèi)徑差特性，為使車輛能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)的過彎，車輛轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)采用阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理，使內(nèi)外側(cè)車輪能夠在過彎時(shí)轉(zhuǎn)角保持一定關(guān)系，從而使車輪路徑圓心在同一處相交，如下圖所示。 
圖1 阿克曼轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu) 在車速較低時(shí)，后輪側(cè)偏角和車身側(cè)偏角 近似等于0，則：
可以看出，內(nèi)外側(cè)輪轉(zhuǎn)角差值隨著轉(zhuǎn)角的增大而增大。在車輛運(yùn)動(dòng)控制問題中，一般求解的轉(zhuǎn)角輸入為 ，而不去具體的區(qū)分 ，當(dāng)然，帶有角模塊的分布式驅(qū)動(dòng)車輛除外。 接下來，將對(duì)常用的車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行介紹。—— 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 —— 自行車模型(Bicycle Model) 對(duì)阿克曼轉(zhuǎn)向模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到車輛單軌模型——自行車模型，即為車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。
圖2 自行車模型 1）橫擺角速度 如上圖所示，在三角形OCA中，存在以下數(shù)學(xué)關(guān)系：
車輛低速行駛時(shí)，車輛橫擺角速度可以近似等于車輛的角速度，即則車輛橫擺角速度為：
將（15）帶入（14），就可以得到橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角和車輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系：
由圖2所示，車輛在笛卡爾坐標(biāo)系下的速度與車輛的速度關(guān)系:
綜上可以得到以車輛重心為中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（記為模型1）：
僅前輪驅(qū)動(dòng)的自行車車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型由于大部分汽車是前輪轉(zhuǎn)向，因此在自行車模型基礎(chǔ)上，當(dāng)后輪轉(zhuǎn)角為0，則模型可以簡(jiǎn)化如下圖:
圖3 僅前輪驅(qū)動(dòng)的自行車模型 這時(shí)，OBC為直角三角形，那么OBC中的幾何關(guān)系為：
車輛質(zhì)心側(cè)偏角的推導(dǎo)如上文一樣：
整理可以得到前驅(qū)的自行車（運(yùn)動(dòng)學(xué)）模型（記為模型2）：
以后軸中心為車輛中心時(shí)的前輪驅(qū)動(dòng)的自行車模型上面介紹的兩種自行車模型都是以車輛重心為中心，如果以后軸中心為車輛中心時(shí)，后輪速度方向便是車輛速度方向，也就是與車身重合，此時(shí)，質(zhì)心側(cè)偏角近似為0，模型如下圖所示：
圖4 以后軸中心為中心的自行車模型 這時(shí)，模型中只有直角三角形OBA，可以得到：
—— 動(dòng)力學(xué)模型 —— 在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，我們假設(shè)車輪的速度方向與車輪矢量方向一致，即車輪的側(cè)偏角為0。但當(dāng)車速很高時(shí)，兩者的方向便不再一致，這時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型無法準(zhǔn)確描述車輛行駛狀態(tài)，應(yīng)該采用更加精確的動(dòng)力學(xué)模型。基本模型建立 構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型，首先假設(shè)車輛為質(zhì)點(diǎn)，并做受力分析：
對(duì)于車輛的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系為：
結(jié)合（28），得到動(dòng)力學(xué)模型：
輪胎受力分析對(duì)于車輛的受力關(guān)系中，輪胎的受力狀態(tài)起決定作用。根據(jù)dugoff輪胎模型：
對(duì)于前輪驅(qū)動(dòng)的車輛，輪胎側(cè)偏角計(jì)算公式為：
其中，表示輪胎速度角，即輪胎速度方向與輪胎矢量方向的夾角，
圖5 前輪側(cè)偏角與速度角 由于相比于縱向速度，橫向速度一般較小，所以前后輪的速度角表示為：
縱向滑移率的計(jì)算公式為：
同理，輪胎縱向力簡(jiǎn)化為：
綜上，整理可以得到動(dòng)力學(xué)模型的速度表達(dá)式：
另外，在笛卡爾坐標(biāo)系下，橫縱向車速與車身坐標(biāo)系下的車速的關(guān)系為：
整理得到車輛的動(dòng)力學(xué)模型（記為模型4）：
注意：上述動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)建立在車輛側(cè)滑角很小的情況下，這時(shí)的輪胎作用力與側(cè)滑角可以近似為線性關(guān)系。當(dāng)側(cè)滑角很大時(shí)，輪胎作用力與側(cè)滑角就不再是線性關(guān)系。但是，針對(duì)自動(dòng)駕駛中的車輛運(yùn)動(dòng)控制問題，大多數(shù)情況下都可以采用這種近似關(guān)系。 —— 四種模型的仿真比較 —— 利用以上4個(gè)模型進(jìn)行循跡仿真，結(jié)果如下圖，可以看到，相比之下動(dòng)力學(xué)模型的控制精度更加高一些。附件：可點(diǎn)擊鏈接2dofModel.rar 獲取本文中的仿真模型。
圖6 四種模型的循跡仿真結(jié)果
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