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2.在我看來，這是初中階段最難上的一節(jié)課，也是我自從教以來，一直思索的一節(jié)課。對(duì)于本節(jié)課，我想，以下兩個(gè)觀點(diǎn)，不應(yīng)該有爭議：⑴要有“提出問題”的環(huán)節(jié)；⑵寧愿找下面的借口：承認(rèn)自己設(shè)計(jì)無能；這是天才頓悟的結(jié)果；無法解釋前人如何想出來的，也堅(jiān)決不要用虛假探究的方式去忽悠學(xué)生。 3.個(gè)人思考，未必科學(xué)，僅供教學(xué)參考。 2016年8月15日，應(yīng)江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室，南京鳳凰數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所，蘇科版初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書編輯部邀請(qǐng)，我在網(wǎng)上作了“勾股定理的教學(xué)探討”講座。考慮這學(xué)期八年級(jí)有“勾股定理”這一節(jié)課，現(xiàn)將我的講座實(shí)錄在這里發(fā)一下，供一線教師教學(xué)參考。 【主題】 勾股定理的教學(xué)探討 【時(shí)間】 2016年8月15日20:00～21:30 【主持】 王震偉 【主講】 于新華 主講人簡介:于新華，男，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，常州市中學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室領(lǐng)銜人，中國數(shù)學(xué)奧賽教練員，擔(dān)任多年初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教研員，曾獲得
“江蘇省十大杰出青年”，“常州市十佳青年”，“常州市優(yōu)秀教研員”等榮譽(yù)。 任教過從初中到高中各個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作，在多年的教學(xué)實(shí)踐中，逐步形成“視野開闊，情趣交融；居高臨下，深入淺出”教學(xué)風(fēng)格。曾輔導(dǎo)兩名學(xué)生在全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中榮獲壹等獎(jiǎng)。 【特邀嘉賓】 嘉賓1 姜鴻雁，女，鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)版主，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。 嘉賓2 林福凱，男，中學(xué)高級(jí)教師，龍巖市、漳平市名師，骨干教師；全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽、希望杯等競賽輔導(dǎo)中榮獲全國優(yōu)秀園丁、優(yōu)秀教練、優(yōu)秀指導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào)。多次獲龍巖市、漳平市教師技能大賽（說課、片斷教學(xué)、說題、課件制作）一、二等獎(jiǎng)；多次開展龍巖市、漳平市的公開課、觀摩課、優(yōu)質(zhì)課、專題講座等；主要從事初中數(shù)學(xué)試題化歸與通解探尋、復(fù)習(xí)備考與中考命題等研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、湖北《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《中學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》等雜志發(fā)表過論文。 嘉賓3 丁?？?，男，中學(xué)高級(jí)教師，徐州市優(yōu)秀教育工作者，徐州市青年優(yōu)秀骨干教師，徐州市學(xué)科帶頭人，徐州市初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)。 嘉賓4 陳新合，男，現(xiàn)任教于蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校，分別獲得蘇州市市區(qū)青年教師評(píng)優(yōu)課比賽、蘇州市市區(qū)青年教師基本功比賽二、三等獎(jiǎng)，所教學(xué)生多次在省“數(shù)學(xué)文化節(jié)”獲得一等獎(jiǎng)，多篇論文在市論文評(píng)比中獲獎(jiǎng)。 【研討記錄】： 常州王震偉：今晚的研討主題為“勾股定理的教學(xué)探討” 江蘇于新華：可以開始聊起來了。 常州王震偉：OK 江蘇于新華：首先感謝震偉“坑”我，將這樣好的機(jī)會(huì)留給我，鞭策我進(jìn)步。 江蘇于新華：更要感謝四位嘉賓，在這炎炎夏日，應(yīng)當(dāng)是陪伴親人休息的美好時(shí)光，卻要在這里陪我“聊天”，真心感謝。 江蘇于新華：我的講座打算從以下三個(gè)方面展開： 一、一些想法；二、教學(xué)設(shè)計(jì)；三、教學(xué)感想 常州王震偉：洗耳恭聽 江蘇于新華：重點(diǎn)是第二個(gè)方面“教學(xué)過程設(shè)計(jì)” 先講第一個(gè)方面：一、一些想法 江蘇于新華：1．這個(gè)講座之前并沒有成文，只是談?wù)勛约旱囊恍┧伎?，因此無法在一篇論文的基礎(chǔ)上，通過剪貼的方式貼到這里。 江蘇于新華：我的理解，網(wǎng)絡(luò)講座與論文寫作有很大區(qū)別，而論文寫作，正如山東李樹臣老師所說，要追求語言精煉。在我看來，既然是網(wǎng)絡(luò)講座，就要有聊的味道?！傲摹庇袃蓚€(gè)特征，一是話題很多，但形散而神不散；二是有眾人參與，相互交流，觀點(diǎn)既有共鳴，也有碰撞?；蛟S這更能夠體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)講座的價(jià)值。 泰州韓新正：確實(shí)如此 江蘇于新華：也正因?yàn)槿绱?，本人也不建議后續(xù)整理成文，因?yàn)檫@樣的講座與一篇規(guī)范工整的論文相比，畢竟很大區(qū)別，刻意去整理成文，工作量非常大，沒有必要。 常州王震偉：沒事，這就是于氏講座 江蘇于新華：2．在我心目中，初中數(shù)學(xué)有兩節(jié)課最難上。一節(jié)就是勾股定理；另一節(jié)是三角函數(shù)定義。 因?yàn)檫@兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)科體系中極其重要的節(jié)點(diǎn)，解決過程既有很大的創(chuàng)造性，又有很強(qiáng)的探究性。 常州王震偉：恩，那下次講三角函數(shù)？ 江蘇于新華：說創(chuàng)造性，這些知識(shí)在歷史真實(shí)的發(fā)生與發(fā)展的過程中，或許要經(jīng)歷很長時(shí)間，又要經(jīng)過許多人的思考，最后頓悟并加工形成今天這樣的知識(shí)，那么如何在短短的一節(jié)課中合理體現(xiàn)這樣的過程？這很困難。正是這個(gè)原因，這兩節(jié)課值得我們持續(xù)探討。 江蘇于新華：事實(shí)上，從做學(xué)生起，直至工作到今天，我的頭腦海中仍時(shí)不時(shí)思考這樣的問題。 蘇州陳新合：嗯，埋個(gè)伏筆 江蘇于新華：也正因?yàn)檫@兩個(gè)知識(shí)的特殊性，可以想象，許多人與我相同，在平時(shí)一直持續(xù)思考與研究。 江蘇于新華：就拿最近時(shí)間來說，萬廣磊才子研究了，特級(jí)教師卜以樓也發(fā)表論文大作了。 徐州丁?？疲何覀?nèi)狈ι疃?，于?/span> 常州王震偉：是的，勾股定理的文章很多，本群也多次研討過這個(gè)話題 江蘇于新華：3．對(duì)于勾股定理的設(shè)計(jì)，我上過課，近期也上過。從2000年擔(dān)任數(shù)學(xué)教研員起，也聽過許多課。傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，要么幾乎直接給出結(jié)論，然后介紹所謂的證明。要么就是設(shè)計(jì)一些假探究的情境，如量一量，拼一拼，從特殊到一般……。再滲透一些相關(guān)的數(shù)學(xué)文化。等等。 江蘇姜鴻雁：在定理的發(fā)現(xiàn)方面，實(shí)在難以做到，至今我已經(jīng)上過兩次這節(jié)公開課，但總覺得遺憾 江蘇于新華：我想強(qiáng)調(diào)說明的是：對(duì)勾股定理結(jié)論的探求，這既不是猜想題，也不是證明題，應(yīng)當(dāng)是求解題。 西安墨菲：拼、探 江蘇于新華：在學(xué)生不知道勾股定理的情況下，由特殊的邊邊關(guān)系猜想結(jié)論是幾乎不可能成功的。 徐州丁?？疲旱拇_如此 江蘇于新華：3，4，5驗(yàn)證完了。假如你讓學(xué)生猜測(cè)，當(dāng)兩直角邊分別是4與5，斜邊是多少時(shí)，…… 江蘇姜鴻雁：視角好獨(dú)到！ 泰州韓新正：這做法基本上不成課 江蘇于新華：許多學(xué)生猜測(cè)結(jié)果為6。是不是有點(diǎn)搞笑？不信，你在教學(xué)實(shí)踐中試試看。 上海劉華為：代表性的引入主要有兩種：測(cè)量式和復(fù)制式（復(fù)制畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)過程） 江蘇于新華：這說明什么問題？是不是要引起我們思索？ 寧波鄭瑞：印象猶深。于特曾經(jīng)說過，勾股定理最好不要預(yù)習(xí)～～ 蘇州陳新合：很多教材的處理也是呈現(xiàn)－證明－應(yīng)用 浙江姜黃飛：可以特殊到一般 江蘇于新華：我認(rèn)可下面事實(shí)（或者說，這個(gè)猜想是合理的），無論古人還是今人，在不知道直角三角形三邊長的關(guān)系前，而想探求這三邊之間的關(guān)系，確實(shí)會(huì)從測(cè)量開始。在得到大量數(shù)據(jù)后，肯定期盼從中找出規(guī)律！問題是，在這些大量數(shù)據(jù)面前，誰有將勾股定理的結(jié)論形式猜想出來的本領(lǐng)？！這是我關(guān)注的焦點(diǎn)！我承認(rèn)，我是沒有這樣能力，真的。測(cè)量是否精確，其實(shí)并不是重要的。因此通過測(cè)量方法來尋找規(guī)律，“無功而返”肯定是一個(gè)大概率事件！如果大家認(rèn)可我的這種說法，那么從教育加工角度講，期盼通過測(cè)量尋找規(guī)律的想法可以對(duì)學(xué)生提及，但未必要真的組織學(xué)生去操作。 什么叫“加工”？就是要努力提高效率。 無錫張鋒：認(rèn)同于特觀點(diǎn) 我個(gè)人建議：摒棄依據(jù)結(jié)論而產(chǎn)生的教學(xué)設(shè)計(jì)；摒棄依據(jù)結(jié)論而設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)探索。 泰州韓新正：因此通過測(cè)量方法來尋找規(guī)律，“無功而返”肯定是一個(gè)大概率事件！如果大家認(rèn)可我這種說法，那么從教育加工角度講，期盼通過測(cè)量尋找規(guī)律的想法可以對(duì)學(xué)生提及，但未必要真的組織學(xué)生去操作。 漳平林福凱：勾股定理，歷史淵源悠久，研究深入的文章及大師眾多，但風(fēng)格、方略各有所異！ 江蘇于新華：對(duì)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)的探討，這是一個(gè)永恒的話題。“一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特”，由于勾股定理本身知識(shí)的特殊性，幾乎無法做到真實(shí)探究而得，注定這是一節(jié)“教育加工”痕跡非常明顯的一節(jié)課，注定了其教學(xué)設(shè)計(jì)沒有最合理的說法，只想更合理的追求。那么現(xiàn)在推敲什么？就是推敲如何加工更加合情合理，如何加工比較真實(shí)自然。 江蘇于新華：再講第二個(gè)方面：二、教學(xué)設(shè)計(jì)。分5個(gè)環(huán)節(jié)。 徐州丁海科：我們認(rèn)真聽！ 蘇州陳新合：探究還是從文化的角度入手？ 江蘇于新華：第1個(gè)環(huán)節(jié)，“1．提出問題” 數(shù)學(xué)教學(xué)必須要重視問題提出過程。而這一點(diǎn)恰恰是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)最缺少的環(huán)節(jié)。 蘇州陳新合：為什么學(xué)這個(gè)內(nèi)容？ 江蘇于新華：本節(jié)課開頭要有一個(gè)“提出問題”的環(huán)節(jié)?，F(xiàn)在假情景滿天飛，過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)來源于生活，這些課讓人聽了缺少真正的數(shù)學(xué)味。我的設(shè)計(jì)如下： 蘇州陳新合：日本的教材就是直接給出的，沒有生活情境的 江蘇姜鴻雁：我們先聽聽于特的，然后談?wù)勛约旱脑O(shè)計(jì) 江蘇于新華：⑴三角形中，已知兩個(gè)角，求第三個(gè)角； ⑵三角形中，已知兩條邊，求第三條邊。如△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB的長。
浙江姜黃飛：改變角的大小，看邊的變化 江蘇于新華：第⑵問的設(shè)計(jì)，從反面促進(jìn)學(xué)生感受問題的合理性。當(dāng)下的教學(xué)現(xiàn)狀讓人失望，沒有“提出問題”的過程，沒有“讓學(xué)生感受問題合理性”的環(huán)節(jié)。 張奠宙著的《數(shù)學(xué)教育經(jīng)緯》P122中有一個(gè)“船長年齡”的故事： 一位教育心理專家給上海的孩子出了一道題目：一條船上有75頭牛，32頭羊，請(qǐng)問船長多少歲？ 結(jié)果有90%的學(xué)生給出的答案是75－32＝43歲，另一個(gè)答案是53.5歲，因?yàn)閷W(xué)生剛剛學(xué)過“平均數(shù)”的概念。 只有10%的學(xué)生認(rèn)為此題非常荒謬，無法解答。當(dāng)然，這10%的同學(xué)是答對(duì)了。 事后在對(duì)這90%同學(xué)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，他們之所以會(huì)做出答案來，是因?yàn)橛X得“老師出的題總是對(duì)的，不可能不能做”，“老師平時(shí)教育我們題目做了才能得分，不做的話一分也沒有?！?/span> 這就是應(yīng)試教育的結(jié)果。 鹽城史麗麗：從一般到特殊 徐州丁?？疲哼@樣開放，讓學(xué)生去思考 江蘇于新華：“不在沉默中爆發(fā)，就在沉默中滅亡”。過一段時(shí)間后，肯定會(huì)有個(gè)別學(xué)生會(huì)說：這個(gè)問題不合理，無法求解。我問學(xué)生：為什么？學(xué)生說：AB長是可以變化的。 我啟發(fā)學(xué)生：你能利用身邊素材，生動(dòng)形象地說明AB長度是可以變化的嗎？ 這樣的課我親自上過，所以每一句我都仔細(xì)斟酌過…… 我期盼的效果是：學(xué)生拿起兩支筆，將各自的一個(gè)端點(diǎn)靠在一起，然后說明隨著筆的轉(zhuǎn)動(dòng)，夾角所對(duì)的邊是變化的。  在此基礎(chǔ)上，我會(huì)提出：當(dāng)夾角確定時(shí)，對(duì)邊長確定了沒有？學(xué)生會(huì)感受到“確定了”，那么此時(shí)要你求這個(gè)邊的長度，這樣的問題合理嗎？學(xué)生會(huì)很自然地說：合理。 江蘇于新華：這里設(shè)計(jì)的目的是：我雖然不會(huì)求解某一個(gè)問題，但我能夠感受到這個(gè)問題存在的合理性。 在此基礎(chǔ)上，我會(huì)主動(dòng)引導(dǎo)說明：這就是我們今后在很長一段時(shí)間里要研究的問題。 徐州丁?？疲翰蝗デ蠼庵来嬖?，合理 江蘇于新華：但如果夾角是一個(gè)任意確定的角，那么這個(gè)問題太難了。我們還是從簡單的情形開始研究吧。那么同學(xué)們?cè)?°～180°中，哪一個(gè)角最特殊？學(xué)生：90°。教師：是的，我們就先從這個(gè)特殊情形開始研究。由此打開了話題。 這里有一個(gè)讓學(xué)生“考察圖形確定性，感受問題合理性”的過程。 俗語說：提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要。 為了讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，這應(yīng)該從我們的平時(shí)教學(xué)做起。 漳平林福凱：發(fā)現(xiàn)問題:任意三角形三邊關(guān)系（不等式）， 三角關(guān)系（歐氏幾何，定值） ，邊角關(guān)系:大邊←→大角（不等式）→特殊化:等腰三角形（含等邊△）有等邊←→等角;Rt△有90度定角。 江蘇于新華：這種處理看似曲折，實(shí)際上促進(jìn)了學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，學(xué)會(huì)提出問題，感受問題合理性。 令人悲傷的是，當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的局面是，教師們給出的問題向來都是合理的，條件不多不少。既沒有讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題的過程，也沒有讓學(xué)生感受問題合理性。教師們從來只是告訴學(xué)生結(jié)論，而沒有讓學(xué)生感知存在的過程。 漳平林福凱：提出問題:由于等邊三角形是三角形的特例，性質(zhì)n多且直觀、顯然、易得，因此猜想直角三角形也是特殊化的直角三角形，邊關(guān)系是否也存等量關(guān)系？邊角能否有等價(jià)互化性質(zhì)？或還具何新性質(zhì)? 江蘇于新華：下面講解教學(xué)過程的第2個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：2．主動(dòng)引導(dǎo)。 對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，我經(jīng)常強(qiáng)調(diào)兩個(gè)詞語：“真實(shí)”與“通俗”。 常州王震偉：贊同 江蘇于新華：這里我對(duì)學(xué)生也決不回避解決勾股定理的困難，主動(dòng)向他們闡述問題的難度。 關(guān)于勾股定理，史書上只是說有這樣一個(gè)結(jié)論與誰證明了這個(gè)結(jié)論的記載，至于古人如何想到這個(gè)結(jié)論，又是如何想到證明這個(gè)結(jié)論，這方面的詳細(xì)情況，史書上沒有任何記載。事實(shí)上，要我們現(xiàn)代人努力作出這樣的解釋，這是一件相當(dāng)困難的事情，我們只能作合理揣摩。 所以這里需要我們作主動(dòng)引導(dǎo)。 浙江姜黃飛：體驗(yàn)知識(shí)的生成過程 江蘇于新華：教學(xué)不要喊口號(hào)。許多口號(hào)美妙的。應(yīng)當(dāng)這樣說，有意義的接受式教學(xué)仍應(yīng)當(dāng)是課堂教學(xué)的主要形式。 江蘇姜鴻雁：給學(xué)生一個(gè)真實(shí)的面孔，教育的真諦！ 江蘇于新華：數(shù)學(xué)上，當(dāng)一個(gè)問題直接解決非常困難的時(shí)候，常用策略是：先從特殊情況入手。在解決了特殊情形下的問題后，從中受到解法的啟示，再考慮解決一般情形下問題的解法。 前面是將角度特殊化，現(xiàn)在我們將背景特殊化。具體說，將問題放在網(wǎng)格背景中思考，看看在這種情況下能否找到解決問題的線索。 徐州丁?？疲壕W(wǎng)格有利發(fā)現(xiàn)結(jié)論 男風(fēng)141：過渡自然 江蘇于新華：我們初中教師應(yīng)該了解，學(xué)生從小學(xué)到初中，網(wǎng)格是常用解題背景。因?yàn)檫@一次的講座，我將小學(xué)12冊(cè)教材全部翻了一遍。繼續(xù)講解：如果將原先的問題：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求AB的長。放在格點(diǎn)背景下，你會(huì)解決嗎？
江蘇于新華：啟發(fā)引導(dǎo)：要求邊長的大小，等價(jià)于只要求邊長的平方，等價(jià)于只要求以此邊為邊長的正方形的面積。 就引導(dǎo)而言，這一步似乎顯得生硬，不夠自然，但這里只能如此。數(shù)學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)常常是偶然的火花而迸發(fā)的靈感所致，這就是許多從事研究人員所追求的“尤里卡”效應(yīng)。而事后要你找一個(gè)合理解釋，當(dāng)初究竟是如何想到的，這很困難，有時(shí)候幾乎不可能。 如同要你猜想，  當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)結(jié)果將會(huì)怎樣？是否會(huì)趨向于一個(gè)常數(shù)？只要你耐心探究，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果會(huì)趨向于一個(gè)常數(shù)，大體上這是沒有困難的，但如果進(jìn)一步問你這個(gè)常數(shù)的精確值是什么？無論你猜多少次，你也想象不到，因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)是π^2/6。 其實(shí)如果你對(duì)學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)有所了解的話，這一步的引導(dǎo)也是自然的。這是由于，小學(xué)里在網(wǎng)格背景下，要解決的問題只有面積問題。這種特殊性對(duì)這里的處理技巧形成正遷移。而正方形面積與邊長平方關(guān)聯(lián)，因此要求一條線段長時(shí)，想到只要求以這條線段為邊的正方形的面積還是有可能的。 常州王震偉：畫出圖形，未必想到面積，所以還是要引導(dǎo) 海寧張人杰：其實(shí)于特的問題其實(shí)除了要說明存在性的問題外，還得強(qiáng)調(diào)唯一性。但是這個(gè)問題有個(gè)地方上次研討時(shí)，我回去思考過，是不是能求解，就一定代表有數(shù)學(xué)定理，這個(gè)不是一定有等量轉(zhuǎn)化的，勾股定理真的具有非常特殊的數(shù)學(xué)美。這個(gè)美強(qiáng)求不得 江蘇于新華：當(dāng)然事后也可以勉強(qiáng)解釋，因?yàn)槿绻麧M足一次關(guān)系的話，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以消掉一個(gè)變量，一定可以得到兩個(gè)變量之間的大小關(guān)系。而事先的條件沒有這一點(diǎn)。 泰州韓新正：數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)本就是天才的頓悟，不要指望每個(gè)環(huán)節(jié)都自然流暢 江蘇于新華：啟發(fā)引導(dǎo)：要求邊長的大小，等價(jià)于只要求邊長的平方，等價(jià)于只要求以此邊為邊長的正方形的面積。 繼續(xù)前面講解：
那么如何求解這個(gè)正方形ABDE的面積呢？ 江蘇于新華：這里有兩個(gè)問題需要作出闡述說明： ⑴在格點(diǎn)背景下，學(xué)生會(huì)畫出以已知兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的正方形嗎？ ⑵在格點(diǎn)背景下，學(xué)生求解多邊形面積的技能如何？ 了解學(xué)情是我們教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。先解釋第一個(gè)問題： 在“勾股定理”教學(xué)之前，教材中有大量網(wǎng)格背景下畫平行與垂直的問題。 這里我們以“蘇科版”教材為例，列舉教材中相關(guān)題目：       這里我想告訴老師的是，學(xué)生在網(wǎng)格背景下，畫出正方形的能力大體是具備的。 下面我再解釋第⑵個(gè)問題：⑵在格點(diǎn)背景下，學(xué)生求解多邊形面積的技能如何？ 江蘇于新華：一般來說，教師馬上知道，在網(wǎng)格背景下求多邊形的面積是采用“割補(bǔ)法”。 浙江姜黃飛：于特很關(guān)注學(xué)生的已有認(rèn)知。 江蘇于新華：我的個(gè)人觀點(diǎn)是，我從來只講“補(bǔ)”的方法。 江蘇于新華：要知道，在一定范圍下，對(duì)于容易的問題，應(yīng)當(dāng)追求“通性通法”。 江蘇于新華：那么在格點(diǎn)背景下，求多邊形的面積的“通性通法”是什么呢？ 所謂“通法”，應(yīng)有兩個(gè)特征：⑴學(xué)生容易掌握；⑵這種方法，“包打天下”。在蘇科版教材中，提供了如下兩幅圖： 這兩種方法看似對(duì)等的，但在我心目中，第一種是“通法”，第二種方法有點(diǎn)讓人“忐忑不安”。正好是正方形，如果是不規(guī)則圖形，可能要費(fèi)腦筋。但“框圖法”是“死”的，操作性極強(qiáng)，“傻瓜法”。 江蘇于新華：我給出的名稱是“框圖法”。 江蘇于新華：舉例來說。假如要求下面這個(gè)圖形的面積： 常州王震偉：框圖學(xué)生易學(xué)易掌握 江蘇于新華：我會(huì)教學(xué)生：不管三七二十一，沿每一個(gè)頂點(diǎn)“橫豎框圖”。 江蘇于新華：得到這個(gè)圖： 最左最右畫豎線，最上最下畫橫線，內(nèi)有分點(diǎn)相同畫，框圖大法自然現(xiàn)！ 江蘇于新華：這樣求任意多邊形面積而言，計(jì)算面積的“算法”是不存在任何問題的。 江蘇于新華：只是運(yùn)算細(xì)心，是否做對(duì)的事情，而不存在不會(huì)做的說法。 江蘇于新華：“框圖法”，沒有“割”的動(dòng)作。“框圖法”幾乎不用動(dòng)腦筋。有“割”有“補(bǔ)”，想得累人的。我不想復(fù)雜，還是單純一點(diǎn)好。學(xué)生容易掌握。 江蘇于新華：事實(shí)上，在格點(diǎn)背景下，求解多邊形的面積，正如前面有人指出，學(xué)生在小學(xué)里就掌握了。 這里我們以“蘇教版”教材為例，列舉教材中相關(guān)題目： 為了這個(gè)講座，我將小學(xué)12冊(cè)數(shù)學(xué)冊(cè)教材全部翻了一遍。 江蘇于新華：下面繼續(xù)接著前面討論。
學(xué)生要求這個(gè)面積。會(huì)立即畫出如下圖形：
這是極為自然的。 西安墨菲：扎實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn) 江蘇于新華：從而將面積求出，為25，因此求得邊長為5。 漳平林福凱：自然！一氣呵成！！ 自然生成 江蘇于新華：下面講解教學(xué)過程的第3個(gè)環(huán)節(jié)：3．深度推進(jìn) 江蘇于新華：嚴(yán)格意義上，上述解法只能對(duì)于兩直角邊長均為有理數(shù)（即兩直角邊的邊長可公度）才行。 因此，我提出新的問題促進(jìn)學(xué)生思考： 提出問題：假如沒有格點(diǎn)背景，你能夠求出直角三角形中在已知兩直角邊長情況下的斜邊長嗎？ 前面的格點(diǎn)背景相當(dāng)是輔助線，只是一個(gè)鋪墊而已。 信陽敖勇：以網(wǎng)格為背景由等腰直角三角形過度一般直角三角形后，再去掉網(wǎng)格，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律 江蘇于新華：在學(xué)生體會(huì)到成就感的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生往前推進(jìn)。 漳平林福凱：陶醉其中，思悟其內(nèi)！享受于特精彩！ 江蘇于新華：能夠解決具體數(shù)字的問題，固然可喜，但相比一般情況，終究價(jià)值有限。 漳平林福凱：拾級(jí)而上，層層深入！ 江蘇于新華：于是我提出，
在這個(gè)圖形中，假如a與b已知了，你會(huì)求c嗎？ 江蘇于新華：這個(gè)時(shí)候，肯定有許多學(xué)生立即類似模仿畫出下圖：
江蘇于新華：為了求面積，進(jìn)一步畫出下圖：
在前面基礎(chǔ)上，適當(dāng)計(jì)算求解，得到結(jié)果：
常州王震偉：非常棒的設(shè)計(jì)，我有點(diǎn)會(huì)上這堂課了 漳平林福凱：特殊到一般，模擬操作贊經(jīng)驗(yàn)，通行通法悟門道 江蘇于新華：將前面的探究過程概括一下：①從有網(wǎng)格背景→無網(wǎng)格背景；②從特殊情況：3，4，5→一般情況：a，b，c。 江蘇于新華：大家有沒有注意，這里推理勾股定理所采用的圖形并非“構(gòu)造”而來，而是由于計(jì)算的需要，非常自然合理地得到。 而傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)中，往往將以三邊向三角形外構(gòu)造的正方形全部作出來，然后不是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行驗(yàn)證性地說明，就是開展暗示性的虛假探究。不管哪一種做法，都是潛在地依據(jù)勾股定理的結(jié)論而進(jìn)行教學(xué)，顯然這并不是真正的探究。 江蘇姜鴻雁：先給腳手架，待學(xué)生長出翅膀后，再拆，然后飛吧！ 漳平林福凱：構(gòu)造雖然美妙，但曲高和寡，并非能夠?yàn)榇蟊娝莆铡＝?jīng)典語錄！ 江蘇于新華：這里的教學(xué)設(shè)計(jì)中，由于將對(duì)“勾股定理”的探求理解成是一道求解題，僅僅只要作出以斜邊為邊的正方形即可。雖然這一個(gè)步驟仍無法回避有人質(zhì)問其中的合理性，相對(duì)來說，除了前面解釋外，還有兩點(diǎn)可以說明：⑴既然無法真實(shí)探究而得，那么就“教育加工”層面，就無法回避“主動(dòng)引導(dǎo)”；⑵為了求出斜邊長，退而求次，只要先求出以斜邊為邊的正方形的面積。不排除因?yàn)榭嗫嗨妓?，而“頓悟”產(chǎn)生信息拓展，這種可能性還是很大的。 徐州張平：解決了問題生成的自然，依然沒有解決“問題解決”的自然，有些道而強(qiáng)牽 江蘇于新華：高潮快過去了，下面只是一些教學(xué)細(xì)節(jié)，也是其他教師在教學(xué)過程中所忽視的。很有意思。 江蘇于新華：繼續(xù)向縱深推進(jìn)： ⅰ結(jié)論的幾何意義：
你能否將這個(gè)結(jié)論，從幾何角度，尋找一種新的理解？ 蘇州陳新合：數(shù)形結(jié)合的 江蘇于新華：激發(fā)學(xué)生說出：這個(gè)結(jié)論意味著，以兩直角邊為邊的正方形面積和等于以斜邊為邊的正方形的面積。 蘇州陳新合：互相印證了 江蘇于新華：ⅱ自然地，受結(jié)論的啟發(fā)，有無直接從面積角度入手的其他證法呢？ 激發(fā)同學(xué)們課后研究，或者閱讀一些與勾股定理相關(guān)的科普材料。 江蘇于新華：下面我講解教學(xué)過程的第4個(gè)環(huán)節(jié)：4．文化欣賞 江蘇于新華：在教學(xué)過程中，我是采用下面的語言抒發(fā)對(duì)勾股定理的困惑與欣賞： 問題的提出是那么自然，探究卻是如此艱難，最后的結(jié)論卻又是如此優(yōu)美。后人將其稱為“幾何明珠”，謳歌其是“千古第一定理”。幾千年來，多少人為之著迷。由于她的迷人魅力，千百年來，人們冥思苦想給出近400種證法。 ⑴“勾股定理”在我國歷史上曾被稱為“商高定理”、“陳子定理”， 在《周髀算經(jīng)》一書中，曾記載商高與周王（姓姬名旦，武王之弟）的對(duì)話。 《周髀算經(jīng)》中指出：“昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問古者包犧立周天歷度（作天文測(cè)量和制訂歷法）。夫天不可階而升，地不可尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。” 商高指出夏禹治水（大禹治水，約在公元前21世紀(jì)）時(shí)已經(jīng)知道用3：4：5的辦法構(gòu)成直角三角形。 《周髀算經(jīng)》：約成書于公元前1世紀(jì)，中國古代天文學(xué)著作。周公：公元前11世紀(jì)周武王之弟，姓姬名旦。 在國外又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”、“百牛定理”。無論是中國人發(fā)現(xiàn)的好，還是外國人發(fā)現(xiàn)的也好，都是人類共同的財(cái)富。 漳平林福凱：解決問題:數(shù)學(xué)知識(shí)解決建模一一∵Rt△面積直觀淺顯，∴思構(gòu)（網(wǎng)格）面積割補(bǔ)法，∵Rt△可思構(gòu)矩形面積，∴思悟面積割補(bǔ)法（矩形“一半”），∵Rt△有特例等腰Rt△←→正方形“一半”，∴以 特例等腰Rt△為例實(shí)現(xiàn)猜想結(jié)論探究，樹立探究結(jié)論自信、思想、方法、策略?！话慊?拼構(gòu)正方形（正方形是四邊形最特例，其性質(zhì)直觀顯然易得），以中國舉辦的第？屆國際數(shù)學(xué)家峰會(huì)會(huì)標(biāo)為典例得出結(jié)論（愛國主義教育），介紹國際證明勾股定理典例，其中以美國某總統(tǒng)命名的證法（前人研究），水箱動(dòng)態(tài)驗(yàn)證法（現(xiàn)代技術(shù)）…… 江蘇于新華：下面講解第2點(diǎn) ⑵有趣的是，美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德曾于 江蘇于新華：⑶華羅庚的建議，“宇宙中交流的語言”。 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出用“勾三股四弦五”圖與外星人進(jìn)行溝通交流，這個(gè)圖形是幾何明珠“勾股定理”的象征。選擇數(shù)學(xué)圖形作為與外星人交流的媒介，是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是世界中最本質(zhì)的客觀規(guī)律，這些規(guī)律與星球上是否存在生命無關(guān)。它們是真實(shí)地、永恒地存在世界上，是整個(gè)宇宙間的共性。對(duì)我們地球上的人類來說，這些規(guī)律無論有沒有被揭示出來，我們都不能否定它們的存在。因此，數(shù)學(xué)可能是一種全宇宙的共通語言。 蘇州陳新合：這個(gè)事情了解的還真是不多的 江蘇于新華：因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是世界中最本質(zhì)的客觀規(guī)律，這些規(guī)律與星球上是否存在生命無關(guān)。它們是真實(shí)地、永恒地存在世界上，是整個(gè)宇宙間的共性。對(duì)我們地球上的人類來說，這些規(guī)律無論有沒有被揭示出來，我們都不能否定它們的存在。 江蘇于新華：⑷愛因斯坦的證法 著名科學(xué)家愛因斯坦與意大利文藝復(fù)興時(shí)代的著名畫家達(dá)·芬奇都曾分別給出了勾股定理各自的證明方法。有趣的是，網(wǎng)上有一位署名為“東郭先生”的作者，曾以詼諧幽默的筆墨將愛因斯坦的證明過程寫成如下： 假設(shè)直角三角形三條邊為a，b，c，過直角頂點(diǎn)作斜邊c垂線，垂足為D。假設(shè)原三角形面積為E，根據(jù)相對(duì)論，E=mc^2。同理，內(nèi)部分割出來的兩個(gè)小三角形的面積分別是E(a)=ma^2，E(b)=mb^2。因?yàn)閮?nèi)部兩個(gè)小三角形拼成原三角形，所以E=E(a)+E(b)，也就是mc^2=ma^2+mb^2。兩邊約掉m，就得到了勾股定理c^2=a^2+b^2。 江蘇于新華：說上面證明過程詼諧幽默，在于“根據(jù)相對(duì)論”五個(gè)字上。大家知道，愛因斯坦曾幽默地用女孩與火爐比方相對(duì)論。而直角三角形的斜邊與光速的記號(hào)通常都是c；E是能量，德文中平面一詞也可用E開頭，這就有點(diǎn)雙關(guān)之義了；m在物理中表質(zhì)量，這里表示比例系數(shù)；而恰為愛因斯坦的質(zhì)能方程式。這么幾點(diǎn)合起來，確實(shí)很有意思。 江蘇于新華：由于原來大直角三角形與剖分得到的兩個(gè)小直角三角形彼此相似，因此它們的面積與斜邊平方對(duì)應(yīng)成比例，證明過程中的m即為每個(gè)直角三角形面積與斜邊平方的比值。 2006年，江蘇省初中數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課在我區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)舉行，其中比賽的一節(jié)課題就是“勾股定理”。適逢我與江蘇教育出版社沙國祥老師在一起聊數(shù)學(xué)文化，他是數(shù)學(xué)大神，也是我仰拜的對(duì)象。 江蘇于新華：我興沖沖地告訴他，昨晚我想到“勾股定理”一個(gè)絕妙的證法。 江蘇于新華：他連忙說：巧啊，最近我也想到一種方法了，你說說看呢，你我二人是否想到一塊兒了 浙江姜黃飛：“于”味正濃，愛因斯坦、達(dá)·芬奇都是神人，達(dá)·芬奇的證明方法也很漂亮 江蘇于新華：我當(dāng)時(shí)就說：勾股定理結(jié)論的正確性，在我眼里，就是顯然的。那是“魚翔淺底”的感覺。 江蘇于新華：他問：為什么？ 浙江姜黃飛：萬物相通呀 江蘇于新華：我說，作出斜邊上的高，得到的兩個(gè)小直角三角形的面積之和就是原來的大直角三角形的面積。 徐州丁?？疲壕褪牵瑸樯?？ 江蘇于新華：而面積是可以用邊的平方度量的 這三個(gè)直角三角形是相似的，原直角三角形的三條邊分別是三個(gè)直角三角形的斜邊，它們是對(duì)應(yīng)邊。
所以“勾股定理”是顯然正確的。 西安墨菲：射影定理證明 江蘇于新華：沙老師聽后大笑：真巧，我也是這樣想的。奇怪，難道冥冥之中，真的有一股神的力量，讓我們兩人不約而同想到？！ 江蘇于新華：后來才知道，“似是而非”的愛因斯坦的證法，其實(shí)本質(zhì)與我前面所說的想法是一致的。 男風(fēng)141：英雄所見略同 江蘇于新華：關(guān)于數(shù)學(xué)文化，再說最后一點(diǎn)。 江蘇于新華：⑸著名的“費(fèi)馬大定理”就是勾股定理的推廣問題。這也可以講出許多故事。這里略了。 江蘇于新華：第5個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：5．鞏固運(yùn)用（略） 江蘇于新華：最后講第三個(gè)方面：三、教學(xué)感想 ⑴重視“提出問題” 現(xiàn)在的課標(biāo)中也非常重視這一點(diǎn)，加進(jìn)這方面內(nèi)容了 其實(shí)這個(gè)不僅是素質(zhì)教育的要求，而且不回避地說，對(duì)你的應(yīng)試作用也很大。 漳平林福凱：勾股定理逆定理能否與此同課并上？！ 江蘇于新華：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，感受問題產(chǎn)生的合理性。 這里，我需要強(qiáng)調(diào)的是：“可以求”與“如何求”是兩個(gè)層次。 安徽阜陽劉國超：于特風(fēng)格，愛氏風(fēng)格 江蘇于新華：學(xué)生能夠提出問題就是一個(gè)能力，至于會(huì)不會(huì)解決問題，那是第二個(gè)能力。 漳平林福凱：同課并上：類比逆向探究得出勾股定理逆命題正確性?！瘹w結(jié)論:勾股定理及其逆定理?！\(yùn)用（直接→間接，正向←→逆向）… 徐州張平：關(guān)鍵如何教學(xué)生提出問題是個(gè)難點(diǎn) 江蘇于新華：下面講解“教學(xué)感想”的第2點(diǎn)： ⑵反對(duì)虛假探究 這里舉一個(gè)高中數(shù)學(xué)教材中的例子。 漳平林福凱：“四能”：發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題能力。分析、解決問題能力屬于制造，發(fā)現(xiàn)、提出問題能力屬于創(chuàng)造。 江蘇于新華：比如說，對(duì)于一個(gè)△ABC來說，當(dāng)AAS知道了，那么這個(gè)三角形必定可解。 a與∠A已知，出于“地位對(duì)等”思考：如何求∠B所對(duì)的邊長b呢？ 大家有沒有注意：這個(gè)問題的提出是非常合理的。 徐州張平：這樣的講座有利于我們對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)，期待于特更多的引領(lǐng) 徐州丁?？疲汉侠硌?/span> 江蘇于新華：AAS已經(jīng)使△ABC確定了，要求b的長當(dāng)然合理啊。 即使在初中，解決這樣的問題也不困難。如果出現(xiàn)鈍角，只要考慮其補(bǔ)角的正弦值。 江蘇于新華：現(xiàn)在我們來看這本高中數(shù)學(xué)教材是如何編寫這一段內(nèi)容的： 請(qǐng)大家注意：這是如何猜想的？你能夠看得懂嗎？ 這是從直角三角形中三角形函數(shù)的定義出發(fā)，然后適當(dāng)變形，最后提出了“正弦定理”的一般形式。 鹽城李建華：為結(jié)論，不合情 江蘇于新華：不清楚，大家覺得這個(gè)過程是否合理。 鹽城李建華：我與你觀點(diǎn)相同。 江蘇姜鴻雁：從小學(xué)、初中、高中教材，于特不僅在傳授教學(xué)策略，還在向我們展示治學(xué)方法 江蘇于新華：然后再“假惺惺”地在電腦中驗(yàn)證一下 江蘇于新華：最后提出猜想 男風(fēng)141：驗(yàn)證不可以吧 蘇州陳新合：這個(gè)是驗(yàn)證，不是證明 江蘇于新華：不管怎么說，我是非常不贊同這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)。不多說了。 科學(xué)研究中有許多思想方法既是非常樸素的，也是非常深刻的。比如“確定性思想”，在確定性思想下，無論對(duì)小學(xué)生，還是初一學(xué)生，提出：對(duì)于一個(gè)三角形，當(dāng)邊角邊確定時(shí)，整個(gè)三角形為之確定，剩下的一條邊長一定可以求，但如何求呢？這樣，在很早的時(shí)候就可以激發(fā)學(xué)生的好奇心與研究的精神。 由于勾股定理知識(shí)的特殊性，而問題是可以非常容易合理地提出的 因此我個(gè)人建議：勾股定理的問題完全可以及早提出來讓學(xué)生思考，而沒有必要等到快要教勾股定理的前一天，再讓學(xué)生思考。 我的另一個(gè)觀點(diǎn)是：對(duì)于本節(jié)課是否需要自學(xué)的看法 我個(gè)人堅(jiān)決反對(duì)簡單看書與事先看到結(jié)論的預(yù)習(xí)！在我看來，科學(xué)的預(yù)習(xí)方式，可以在學(xué)生感受問題合理性的基礎(chǔ)上，將這個(gè)問題視為一道“題目”讓學(xué)生去探究。至于學(xué)生能否探討得出正確結(jié)果，那并非關(guān)注的重點(diǎn)，只要讓學(xué)生經(jīng)歷這種好奇與探究過程就行。 我常常對(duì)老師是這樣說的：除非你不理解數(shù)學(xué)，除非你不喜歡數(shù)學(xué)，除非你不知道什么是數(shù)學(xué)探究，除非你無可奈何，沒有自己的思考，否則“勾股定理”這一節(jié)課，你是怎么也不會(huì)愿意讓學(xué)生先看教材自學(xué)的。 在學(xué)生自學(xué)后，你可以通過各種方式說明這個(gè)結(jié)論是正確的。但沒有自學(xué)時(shí)，隨你怎么努力，哪怕你做一輩子夢(mèng)，也無法得到這樣的結(jié)論。我曾多少次捫心自問，假如我事先不知道勾股定理，或許我一輩子也發(fā)現(xiàn)不了她。在這個(gè)問題上，任何人都難以做英雄。當(dāng)然不排除上帝會(huì)給某一個(gè)人的“頓悟”機(jī)會(huì)，賜予他靈感，讓他偶然發(fā)現(xiàn)。 為了很好地體現(xiàn)勾股定理的探究過程，我將不惜代價(jià)，哪怕一節(jié)課沒有任何常規(guī)練習(xí)都無怨無悔。當(dāng)然如果是評(píng)優(yōu)課，那另當(dāng)別論。 蘇州陳新合：是的，很難想到的 淄博耿化彪：畢達(dá)哥拉斯做到了 江蘇于新華：下面講教學(xué)感想的第4點(diǎn)：⑷整體教學(xué)觀念 如果你認(rèn)可上述的設(shè)計(jì)過程，那么在格點(diǎn)背景中“求多邊形面積”以及“如何畫平行與垂直”，包括如何求兩個(gè)格點(diǎn)之間的距離，你會(huì)自然及早強(qiáng)化。與其技巧扎堆噴發(fā)，不如循序漸進(jìn)布局。 江蘇于新華：有了這些基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生獨(dú)立探討勾股定理，自然要容易得多了。 江蘇姜鴻雁：整體的教學(xué)觀 江蘇于新華：所以教師要做一名有心人，有整體教學(xué)的意識(shí)。這樣，教師教學(xué)時(shí)，才不會(huì)將“從學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，尋找新舊知識(shí)生長點(diǎn)”這一句話淪為空話。 江蘇于新華：⑸也談“有效的課” 江蘇于新華：談?wù)勎业拇譁\認(rèn)識(shí) 我個(gè)人理解，可粗糙地作一個(gè)分類，分為兩種：一是創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生有意義地接受新知；二是設(shè)置問題，讓學(xué)生在積極探究中力求解決問題，從中學(xué)生學(xué)習(xí)新知。 現(xiàn)在有許多人，聽到“接受”往往就會(huì)皺眉頭，認(rèn)為這是品味不高的課，不符合新課程理念；認(rèn)為從頭到尾充滿“探究”的課才是理想的課，才是符合新課程理念的課。 西安墨菲：整體教學(xué)觀及長遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)規(guī)劃意識(shí)很重要！ 徐州張平：臺(tái)上三分鐘，臺(tái)下千日功 蘇州陳新合：系統(tǒng)的整體的把握知識(shí)，有目的的逐步滲透 漳平林福凱：力爭做一名有心人的數(shù)學(xué)教師——致自己 江蘇于新華：其實(shí)這種理解是有誤區(qū)的。應(yīng)該承認(rèn)，我們平時(shí)大多數(shù)課都是采用“接受”方式讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知的。不管到哪一天，“接受式學(xué)習(xí)”仍是學(xué)習(xí)的主要形式。 浙江姜黃飛：教育的成功與否，需要長周期，長時(shí)間來檢驗(yàn) 江蘇于新華：關(guān)鍵在于你如何讓學(xué)生“接受”，是“灌注”，還是“有意義地接受”，這還是有講究的。 江蘇于新華：⑹閱讀數(shù)學(xué)文化 漳平林福凱：“慢”教育方有“真”成長！ 江蘇于新華：勾股定理作為一條古老的數(shù)學(xué)定理，具有如此悠久的歷史，為什么幾乎所有的文明古國在不同時(shí)期、不同地點(diǎn)都能夠發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)論？ 從世界四大文明古國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史可見（中國，印度，埃及，古巴比倫），人類早期的數(shù)學(xué)實(shí)踐是十分相似的。人類的祖先在不同的時(shí)期、不同的地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的勾股定理，顯然不僅僅是哪一個(gè)民族的私有財(cái)產(chǎn)，而是全人類的共同財(cái)富。 我要強(qiáng)調(diào)這一句話：人類早期的數(shù)學(xué)實(shí)踐是十分相似的。不要有狹窄的民族主義，這沒有意思。 蘇州陳新合：數(shù)學(xué)語言應(yīng)該是世界最通用的語言了 漳平林福凱：“大”教育觀 江蘇于新華：我的理解是：勾股定理問題的產(chǎn)生極其自然，因此這里更多是各個(gè)民族相繼互相獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。 江蘇姜鴻雁：因?yàn)槭侨祟惖模圆庞袕?qiáng)大的生命力 蘇州陳新合：有不少文章在討論勾股定理到底誰最早的，感覺這個(gè)沒有什么意義。 江蘇于新華：過于探討誰先誰后是沒有意思的。 可以想象，“勾股定理”在歷史上被發(fā)現(xiàn)，必定是“時(shí)間積累”與“靈感降臨”這兩個(gè)效應(yīng)疊加的結(jié)果。 雖然勾股定理早為眾人所知，但假如現(xiàn)在有一位學(xué)生經(jīng)過自己獨(dú)立探究，最終得出了勾股定理結(jié)論，那么這在我眼里，依舊是一個(gè)讓人無比激動(dòng)的偉大發(fā)現(xiàn)，雖然勾股定理早為眾人所知。 江蘇于新華：好的。今天講座到此為止。感謝各位傾聽。感謝大家支持。 常見問題： 加我微信的時(shí)候，請(qǐng)附上“地區(qū)+姓名”信息，方便我保存。謝謝。 5.多少人參加會(huì)議。我上傳幾張現(xiàn)場(chǎng)照片……，權(quán)當(dāng)解釋，順帶宣傳。
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