2021江蘇泰州26

如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA=1，PB=(為常數(shù)，且＞0)．過(guò)點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合)，AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．
(1)若=3．
①求證：∠OAD=60°；
②求的值；
(2)用含的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；
(3)存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ-2DH+PB的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．

解法分析(1)①

特殊角

∵PA=1，PB=3，
∴AB=4，
∴OA=2，OP=1，
連接OD，
在Rt△OPD中，
cos∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=60°.

解法分析(1)②

相似三角形的判定和性質(zhì)

由(1)①得:AB=4，AD=2，
連接AQ，則:∠AQB=90°，
∵∠AHD=∠AQB，∠ABQ=∠ADH，
∴△ABQ～△ADH，
∴===2.

解法分析(2)

“求AD長(zhǎng)”方法一
直角三角形中的多重相似

如左圖，連接BD，
∵PA=1，PB=，
∴AB=+1，
根據(jù)“兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似”證明:△ABD～△ADP，
∴=，
即:=，
∴AD=；

“求AD長(zhǎng)”方法二
復(fù)合勾股定理

如中圖，連接OD，
∵PA=1，PB=，
∴AB=+1，
∴OA=OD=，OP=OA-1=，
在Rt△OPD和Rt△APD中，
OD-OP=AD-AP，
即:-=AD-1，
∴AD=；

類(lèi)比遷移

如右圖，連接AQ，
與(1)②同理可證:
△ABQ?△ADH，
∴===.

解法分析(3)

由(2)得:
∴=，
∴BQ=(+1)DH，
∴BQ-2DH+PB
=(-1)DH+PB，
∵BQ-2DH+PB是一個(gè)定值，
∴-1=0，即:=1，
BQ-2DH+PB=1，
此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)O重合，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠Q=∠BAD=45°，
∴存在一個(gè)半徑為1的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ-2DH+PB=1，此時(shí)∠Q的度數(shù)為45°．