在求極限時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求兩個(gè)無(wú)窮小(大)量之比的極限。這種極限可能存在，也可能不存在。兩個(gè)無(wú)窮大量或無(wú)窮小量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限。下文介紹求兩類不定式極限的洛必達(dá)法則。

"0/0"型

定理1

若函數(shù)f和g滿足：

（1）

（2）在x0的某去心鄰域

上兩者都可導(dǎo)，且

（3）

(A可為實(shí)數(shù)，也可為±∞或∞)，

則

證:

補(bǔ)充定義

使得f(x)與g(x)在x0連續(xù)。

任取

在區(qū)間[x0, x](或[x, x0])上應(yīng)用柯西中值定理(微分中值定理)，有

即

其中，ξ介于x0與x之間。

當(dāng)

時(shí)，也有

因此，

若將定理中的

換成

對(duì)條件(2)中的鄰域作相應(yīng)的修改，也可以得出同樣的結(jié)論。

"·/∞"型

定理2

若函數(shù)f和g滿足：

（1）在x0的某個(gè)右鄰域

上兩者可導(dǎo)，且

（2）

（3）

(A可為實(shí)數(shù)，也可為±∞或∞)，

則

對(duì)于

的情形也有相同的結(jié)論。類似的，上述定理也可以用柯西中值定理證明。

    其他類型的不定式極限，如0·∞, ∞-∞, 00, ∞0, 1∞等，通常可以轉(zhuǎn)換為化為上述兩類不定式極限。