第2講　勻變速直線運動的規(guī)律

目標要求　1.理解勻變速直線運動的特點，掌握勻變速直線運動的公式，并理解公式中各物理量的含義.2.會靈活應用運動學公式及推論解題．

考點一　勻變速直線運動的基本規(guī)律及應用

1.勻變速直線運動

沿著一條直線且加速度不變的運動．如圖所示，v－t圖線是一條傾斜的直線．

2．勻變速直線運動的兩個基本規(guī)律

(1)速度與時間的關系式：v＝v₀＋at.

(2)位移與時間的關系式：x＝v₀t＋at².

由以上兩式聯立可得速度與位移的關系式：v²－v₀²＝2ax.

3．公式選用原則

以上三個公式共涉及五個物理量，每個公式有四個物理量．選用原則如下：

不涉及位移，選用v＝v₀＋at

不涉及末速度，選用x＝v₀t＋at²

不涉及時間，選用v²－v₀²＝2ax

1．勻變速直線運動是加速度均勻變化的直線運動．(　×　)

2．勻加速直線運動的位移是均勻增加的．(　×　)

3．勻變速直線運動中，經過相同的時間，速度變化量相同．(　√　)

1．基本思路

→→→→

2．正方向的選定

無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，通常以初速度v₀的方向為正方向；當v₀＝0時，一般以加速度a的方向為正方向．速度、加速度、位移的方向與正方向相同時取正，相反時取負．

 考向1　基本公式和速度位移關系式的應用

例1　(2022·全國甲卷·15)長為l的高速列車在平直軌道上正常行駛，速率為v₀，要通過前方一長為L的隧道，當列車的任一部分處于隧道內時，列車速率都不允許超過v(v<v₀)．已知列車加速和減速時加速度的大小分別為a和2a，則列車從減速開始至回到正常行駛速率v₀所用時間至少為(　　)

A.＋                                    B.＋

C.＋                                D.＋

答案　C

解析　由題知當列車的任一部分處于隧道內時，列車速率都不允許超過v(v<v₀)，則列車進隧道前必須減速到v，若用時最少，則列車先勻減速到v進入隧道，再在隧道中勻速運動，出了隧道再勻加速到v₀.則有v＝ v₀－2at₁，解得t₁＝，

在隧道內勻速有t₂＝

列車尾部出隧道后立即加速到v₀，有v₀＝v＋at₃

解得t₃＝

則列車從減速開始至回到正常行駛速率v₀所用時間至少為t＝＋，故選C.

例2　對某汽車剎車性能測試時，當汽車以36 km/h的速率行駛時，可以在18 m的距離被剎??；當汽車以54 km/h的速率行駛時，可以在34.5 m的距離被剎?。僭O兩次測試中駕駛員的反應時間(駕駛員從看到障礙物到做出剎車動作的時間)與剎車的加速度都相同．問：

(1)這位駕駛員的反應時間為多少；

(2)某霧天，該路段能見度為50 m，則行車速率不能超過多少．

 考向2　兩種勻減速直線運動的比較

例3　(2023·福建師范大學附屬中學高三月考)一輛汽車在平直公路上勻速行駛，遇到緊急情況，突然剎車，從開始剎車起運動過程中的位移(單位：m)與時間(單位：s)的關系式為x＝30t－2.5t²(m)，下列分析正確的是(　　)

A．剎車過程中最后1 s內的位移大小是5 m

B．剎車過程中在相鄰1 s內的位移差的絕對值為10 m

C．從剎車開始計時，8 s內通過的位移大小為80 m

D．從剎車開始計時，第1 s內和第2 s內的位移大小之比為11∶9

答案　D

解析　由勻變速直線運動的規(guī)律x＝v₀t＋at²，可得初速度v₀＝30 m/s，加速度a＝－5 m/s²，剎車過程中在相鄰1 s內的位移差的絕對值|Δx|＝|a(Δt)|＝5 m，從剎車開始計時到停下的時間t_m＝＝6 s,8 s內通過的位移大小為x_m＝＝90 m，選項B、C錯誤；把末速度為0的勻減速直線運動看成逆向的勻加速直線運動，剎車過程中最后1 s內的位移大小為x₁＝－at₀²＝2.5 m，從剎車開始計時，第1 s內和第2 s內的位移大小之比為11∶9，選項D正確，A錯誤．

例4　(多選)在足夠長的光滑固定斜面上，有一物體以10 m/s的初速度沿斜面向上運動，物體的加速度大小始終為5 m/s²、方向沿斜面向下，當物體的位移大小為7.5 m時，下列說法正確的是(　　)

A．物體運動時間可能為1 s

B．物體運動時間可能為3 s

C．物體運動時間可能為(2＋) s

D．物體此時的速度大小一定為5 m/s

答案　ABC

解析　以沿斜面向上為正方向，則a＝－5 m/s²，當物體的位移為沿斜面向上7.5 m時，x＝7.5 m，由運動學公式x＝v₀t＋at²，解得t₁＝3 s或t₂＝1 s，故A、B正確．當物體的位移為沿斜面向下7.5 m時，x＝－7.5 m，由x＝v₀t＋at²，解得t₃＝(2＋) s或t₄＝(2－) s(舍去)，故C正確．由速度時間公式v＝v₀＋at，解得v₁＝－5 m/s、v₂＝5 m/s、v₃＝－5 m/s，故D錯誤．

 考向3　逆向思維法解決勻變速直線運動問題

例5　假設某次深海探測活動中，“蛟龍?zhí)枴蓖瓿珊５卓瓶既蝿蘸筘Q直上浮，從上浮速度為v時開始勻減速運動并計時，經過時間t，“蛟龍?zhí)枴鄙细〉胶Ｃ?，速度恰好減為零，則“蛟龍?zhí)枴痹?em>t₀(t₀<t)時刻距離海面的深度為(　　)

A．vt₀(1－)                                     B.

C.                                                    D.

答案　B

解析　“蛟龍?zhí)?/span>”上浮時的加速度大小為a＝，根據逆向思維法，可知“蛟龍?zhí)?/span>”在t₀時刻距離海面的深度為h＝a(t－t₀)²＝，故選B.

逆向思維法：對于末速度為零的勻減速直線運動，可把該階段看成逆向的初速度為零、加速度不變的勻加速直線運動．

考點二　勻變速直線運動的推論及應用

1．勻變速直線運動的常用推論

(1)平均速度公式：做勻變速直線運動的物體在一段時間內的平均速度等于這段時間內初、末時刻速度矢量和的一半，還等于中間時刻的瞬時速度．即：＝＝.此公式可以求某時刻的瞬時速度．

(2)位移差公式：連續(xù)相等的相鄰時間間隔T內的位移差相等．

即：Δx＝x₂－x₁＝x₃－x₂＝…＝x_n－x_n－1＝aT².

不相鄰相等的時間間隔T內的位移差x_m－x_n＝(m－n)aT²，此公式可以求加速度．

2．初速度為零的勻加速直線運動的四個重要比例式

(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時速度之比為v₁∶v₂∶v₃∶…∶v_n＝1∶2∶3∶…∶n.

(2)前T內、前2T內、前3T內、…、前nT內的位移之比為x₁∶x₂∶x₃∶…∶x_n＝1∶4∶9∶…∶n².

(3)第1個T內、第2個T內、第3個T內、…、第n個T內的位移之比為x_Ⅰ∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ∶…∶x_N＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．

(4)從靜止開始通過連續(xù)相等的位移所用時間之比為t₁∶t₂∶t₃∶…∶t_n＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．

3．勻變速直線運動中常見思想方法及選取技巧

 考向1　平均速度公式

例6　如圖的平潭海峽公鐵兩用大橋是世界上最長的跨海公鐵兩用大橋，其中元洪航道橋的A、B、C三根橋墩間距分別為AB＝132 m、BC＝196 m．一列高速列車勻加速通過元洪航道橋，車頭經過AB和BC的時間分別為3 s和4 s，則這列高速列車經過元洪航道橋的加速度大小約為(　　)

A．0.7 m/s²                                        B．1.4 m/s²

C．2.8 m/s²                                        D．6.3 m/s²

答案　B

解析　高速列車在AB段的平均速度為v₁＝＝44 m/s，在BC段的平均速度為v₂＝＝49 m/s，根據勻變速直線運動的平均速度等于中間時刻的瞬時速度，可知a＝≈1.4 m/s²，B正確．

 考向2　位移差公式

例7　(2023·重慶市實驗外國語學校高三檢測)物體從靜止開始做勻加速直線運動，已知第4 s內與第2 s內的位移之差是8 m，則下列說法錯誤的是(　　)

A．物體運動的加速度為4 m/s²

B．第2 s內的位移為6 m

C．第2 s末的速度為2 m/s

D．物體在0～5 s內的平均速度為10 m/s

答案　C

解析　根據位移差公式得x₄－x₂＝2aT²，可知a＝＝ m/s²＝4 m/s²，故A正確，不符合題意；第2 s內的位移為x₂－x₁＝at₂²－at₁²＝×4×(2²－1²) m＝6 m，故B正確，不符合題意；第2 s末的速度為v＝at₂＝4×2 m/s＝8 m/s，故C錯誤，符合題意；物體在0～5 s內的平均速度＝＝＝ m/s＝10 m/s，故D正確，不符合題意．

 考向3　初速度為零的勻變速直線運動比例式

例8　(多選)如圖所示，一冰壺以速度v垂直進入三個完全相同的矩形區(qū)域做勻減速直線運動，且剛要離開第三個矩形區(qū)域時速度恰好為零，則冰壺依次進入每個矩形區(qū)域時的速度之比和穿過每個矩形區(qū)域所用的時間之比分別是(　　)

A．v₁∶v₂∶v₃＝3∶2∶1

B．v₁∶v₂∶v₃＝∶∶1

C．t₁∶t₂∶t₃＝1∶∶

D．t₁∶t₂∶t₃＝(－)∶(－1)∶1

答案　BD

解析　因為冰壺做勻減速直線運動，且末速度為零，故可以看成反向的初速度為零的勻加速直線運動．初速度為零的勻加速直線運動中通過連續(xù)三段相等位移的時間之比為1∶(－1)∶(－)，故t₁∶t₂∶t₃＝(－)∶(－1)∶1，選項C錯誤，D正確；由v²－v₀²＝2ax可得，初速度為零的勻加速直線運動中通過連續(xù)相等位移的速度之比為1∶∶，故v₁∶v₂∶v₃＝∶∶1，選項A錯誤，B正確．

課時精練

1.如圖所示，一小球從A點由靜止開始沿斜面向下做勻變速直線運動，若到達B點時速度為v，到達C點時速度為2v，則AB∶BC等于(　　)

A．1∶1                                             B．1∶2

C．1∶3                                             D．1∶4

答案　C

解析　根據勻變速直線運動的速度位移公式v²－v₀²＝2ax知，x_AB＝，x_AC＝，所以AB∶AC＝1∶4，則AB∶BC＝1∶3，故C正確，A、B、D錯誤．

2．汽車在平直的公路上行駛，發(fā)現險情緊急剎車，汽車立即做勻減速直線運動直到停止，已知汽車剎車時第1 s內的位移為13 m，最后1 s內的位移為2 m，則下列說法正確的是(　　)

A．汽車在第1 s末的速度可能為10 m/s

B．汽車加速度大小可能為3 m/s²

C．汽車在第1 s末的速度一定為11 m/s

D．汽車的加速度大小一定為4.5 m/s²

答案　C

解析　采用逆向思維法，由于最后1 s內的位移為2 m，根據x₂＝at₂²得，汽車加速度大小a＝＝4 m/s²，第1 s內的位移為13 m，根據x₁＝v₀t₁－at₁²，代入數據解得初速度v₀＝15 m/s，則汽車在第1 s末的速度v₁＝v₀－at₁＝15 m/s－4×1 m/s＝11 m/s，故C正確，A、B、D錯誤．

3．汽車在水平面上剎車，其位移與時間的關系是x＝24t－6t²(m)，則它在前3 s內的平均速度為(　　)

A．8 m/s                                            B．10 m/s

C．12 m/s                                          D．14 m/s

答案　A

解析　由位移與時間的關系結合運動學公式可知，v₀＝24 m/s，a＝－12 m/s²，則由v＝v₀＋at可知，汽車在2 s末停止運動，故它在前3 s內的位移等于前2 s內的位移，Δx＝24×2 m－6×4 m＝24 m，則汽車在前3 s內的平均速度＝＝ m/s＝8 m/s，故A正確．

4.(2023·廣東潮州市高三月考)超音速巡航是指飛機在不開啟后燃器的情況下能夠持續(xù)在1.5倍音速以上進行超過30分鐘的超音速飛行．超音速巡航的提出主要是基于快速突防的戰(zhàn)術思想，因此，該技術在未來的超視距作戰(zhàn)中具有很大的優(yōu)勢，超音速巡航是第五代戰(zhàn)斗機的主要技術特征之一．某第五代戰(zhàn)機在一次直線加速飛行中，速度由270 m/s提升至510 m/s，耗時一分鐘，假設加速過程為勻加速運動，則該過程飛行的距離為(　　)

A．16 200 m                                      B．23 400 m

C．30 600 m                                      D．46 800 m

答案　B

解析　該過程飛行的距離為s＝t＝×60 m＝23 400 m，故選B.

5．在2021年東京奧運會上，我國運動健兒摘金奪銀，為國爭光．其中在跳水男子3米板決賽中，我國選手謝思埸奪得金牌！在某次比賽中，若將運動員入水后向下的運動視為勻減速直線運動，該運動過程的時間為8t.設運動員入水后向下運動過程中，第一個t時間內的位移大小為x₁，最后兩個t時間內的總位移大小為x₂，則x₁∶x₂為(　　)

A．17∶4  B．13∶4  C．15∶4  D．15∶8

答案　C

解析　初速度為零的勻加速直線運動，在第一個t時間內、第二個t時間內、第三個t時間內、…的位移之比x_Ⅰ∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ∶…＝1∶3∶5∶…，將運動員的勻減速直線運動看作反向的初速度為零的勻加速直線運動，運動員運動總時間為8t，則第一個t時間內的位移可視為初速度為零的勻加速直線運動中，第八個t時間內的位移，最后兩個t時間內的總位移可視為初速度為零的勻加速直線運動中，前兩個t時間內的位移，故x₁∶x₂＝15∶(1＋3)＝15∶4，故選C.

6．(2023·湖南長沙市第一中學月考)如圖所示，一質點做勻加速直線運動先后經過A、B、C三點，已知從A到B和從B到C速度的增加量Δv均為6 m/s，AB間的距離x₁＝3 m，BC間的距離x₂＝13 m，則該質點的加速度為(　　)

A．3.6 m/s²                                        B．4 m/s²

C．4.2 m/s²                                        D．4.8 m/s²

答案　A

解析　因為從A到B和從B到C速度的增加量Δv均為6 m/s，可知從A到B的時間和從B到C的時間相等，有Δv＝aT＝6 m/s，Δx＝x₂－x₁＝aT²＝10 m，聯立可得T＝ s，a＝3.6 m/s²，A正確．

7.(2023·云南昆明市第一中學高三檢測)如圖所示，一小球(可視為質點)以初速度10 m/s從斜面底端O沖上一固定斜面，A、B、C依次是斜面上的三個點，AC間距為8 m，B為AC中點．小球經過2 s第一次通過A點，又經4 s第二次通過C點，不計一切摩擦，則下列說法正確的是(　　)

A．小球的加速度大小為3 m/s²

B．OA間距為8 m

C．第一次通過B點的速度大小一定為2 m/s

D．第3 s末經過B點

答案　C

解析　根據勻變速直線運動規(guī)律，設OA間距為x，有x＝v₀t－at²，小球又經4 s第二次通過C點，有x＋8 m＝v₀(t＋4 s)－a(t＋4 s)²，聯立可得a＝2 m/s²，x＝16 m，故A、B錯誤；B點為AC的中間位置，OB間距為x₁＝x＋4 m＝20 m，由v_B²－v₀²＝－2ax₁，得v_B＝2 m/s，故C正確；由x₁＝t₁，得t₁＝(5－) s，故D錯誤．

8．為了研究運動員起跑階段的運動情況，用頻率為2 Hz頻閃照相機記錄運動員起跑階段不同時刻的位置，如圖所示，用厘米刻度尺測量照片上運動員不同位置間的距離，已知照片與實物的尺寸比例為1∶50，運動員起跑階段的運動可視為勻加速直線運動．下列說法正確的是(　　)

A．運動員起跑階段的加速度為2 m/s²

B．運動員通過照片中3 cm位置時速度為1 m/s

C．照片中0位置為運動員的起跑位置

D．運動員在照片前6 cm內的平均速度為4 m/s

答案　A

解析　頻率為2 Hz頻閃照相機，時間為T＝＝0.5 s，根據勻變速直線運動的公式有(2－1)×10^－2×50 m＝Δx＝aT²，解得a＝2 m/s²，故A正確；勻變速直線運動的平均速度等于中間時刻的瞬時速度，則運動員通過照片中3 cm位置時速度為v₁＝ m/s＝2.5 m/s，故B錯誤；根據0位置到3 cm位置的速度時間公式，有v₁＝v₀＋a×2T，解得v₀＝0.5 m/s，即照片中0位置的速度為0.5 m/s，故不是起跑位置，故C錯誤；運動員在照片前6 cm內的平均速度為＝ m/s＝2 m/s，故D錯誤．

9．(2023·遼寧省實驗中學模擬)高鐵站臺上，5位旅客在各自車廂候車線處候車，若動車每節(jié)車廂長均為l，動車進站時做勻減速直線運動．站在2號候車線處的旅客發(fā)現1號車廂經過他所用的時間為t，動車停下時該旅客剛好在2號車廂門口(2號車廂最前端)，如圖所示，則(　　)

A．動車從經過5號候車線處的旅客開始到停止運動，經歷的時間為3t

B．動車從經過5號候車線處的旅客開始到停止運動，平均速度為

C．1號車廂頭部經過5號候車線處的旅客時的速度為

D．動車的加速度大小為

答案　C

解析　采用逆向思維，可認為動車反向做初速度為0的勻加速直線運動，由題意可知，動車1號車廂最前端經過2號候車線處的旅客的位移為l時，時間為t，有l＝at²，動車1號車廂最前端經過5號候車線處的旅客的位移為4l時，時間為t₅，有4l＝at₅²，解得t₅＝2t，選項A錯誤；動車1號車廂最前端從經過5號候車線處的旅客到停下總位移為4l，用時為2t，則平均速度為＝＝，選項B錯誤；設1號車廂頭部經過5號候車線處的旅客時的速度為v₅，則有4l＝×2t，解得v₅＝，選項C正確；動車從經過5號候車線處的旅客開始到停止運動過程，有0＝v₅－a×2t，解得a＝＝，選項D錯誤．

10.(2023·新疆哈密市第十五中學月考)測速儀安裝有超聲波發(fā)射和接收裝置，如圖所示，B為測速儀，A為汽車，兩者相距335 m，某時刻B發(fā)出超聲波，同時A由靜止開始做勻加速直線運動，當B接收到反射回來的超聲波信號時，A、B相距355 m，已知聲速為340 m/s，則汽車的加速度大小為(　　)

A．20 m/s²                                         B．10 m/s²

C．5 m/s²                                           D．無法確定

答案　B

解析　超聲波從B發(fā)出到A與被A反射到被B接收所需的時間相等，在這個過程中，汽車的位移為x＝355 m－335 m＝20 m，初速度為零的勻變速直線運動在開始相等時間內的位移之比為1∶3，所以x₁＝5 m，x₂＝15 m，則超聲波被A接收時，AB間的距離x′＝335 m＋5 m＝340 m，所以超聲波從B發(fā)出到被A反射所需的時間t＝＝ s＝1 s，根據Δx＝at²，可得15 m－5 m＝a×(1 s)²，解得a＝10 m/s²，故B正確，A、C、D錯誤．

11．(多選)(2023·吉林長春市模擬)一輛汽車以速度v₀勻速行駛，司機觀察到前方人行橫道有行人要通過，于是立即剎車．從剎車到停止，汽車正好經過了24塊規(guī)格相同的路邊石，汽車剎車過程可視為勻減速直線運動．下列說法正確的是(　　)

A．汽車經過第1塊路邊石末端時的速度大小為v₀

B．汽車經過第18塊路邊石末端時的速度大小為v₀

C．汽車經過前12塊路邊石與后12塊路邊石的時間之比為1∶

D．汽車經過前18塊路邊石與后6塊路邊石的時間之比為1∶1

答案　AD

解析　從剎車到停止，汽車正好經過了24塊規(guī)格相同的路邊石，設路邊石的長度為L，則有0－v₀²＝－2a·24L，解得a＝，則汽車經過第1塊路邊石末端時的速度大小為v₁＝＝v₀，A正確；汽車經過第18塊路邊石末端時的速度大小為v₁₈＝＝，B錯誤；根據初速度為零的勻變速運動在連續(xù)相等的位移內所用時間比例關系可得：汽車經過前12塊路邊石與后12塊路邊石的時間之比為(－1)∶1，C錯誤；根據初速度為零的勻變速運動在連續(xù)相等時間內通過位移比例關系可得：汽車經過前18塊路邊石與后6塊路邊石的時間之比為1∶1，D正確．

12．(2023·安徽省六安一中月考)ETC是不停車電子收費系統(tǒng)的簡稱．最近，某ETC通道的通行車速由原來的20 km/h提高至40 km/h，車通過ETC通道的流程如圖所示．為簡便計算，假設汽車以v₀＝30 m/s的速度朝收費站沿直線勻速行駛，如過ETC通道，需要在收費站中心線前d＝10 m處正好勻減速至v₁＝4 m/s，勻速通過中心線后，再勻加速至v₀正常行駛．設汽車勻加速和勻減速過程中的加速度大小均為1 m/s²，忽略汽車車身長度．

(1)求汽車過ETC通道時，從開始減速到恢復正常行駛過程中的位移大??；

(2)如果汽車以v₂＝10 m/s的速度通過勻速行駛區(qū)間，其他條件不變，求汽車提速后過收費站過程中比提速前節(jié)省的時間．

答案　(1)894 m　(2)10.7 s

解析　(1)設汽車勻減速過程位移大小為d₁，

由運動學公式得v₁²－v₀²＝－2ad₁

解得d₁＝442 m

根據對稱性可知從開始減速到恢復正常行駛過程中的位移大小

x₁＝2d₁＋d＝894 m

(2)如果汽車以v₂＝10 m/s的速度通過勻速行駛區(qū)間，設汽車提速后勻減速過程位移大小為d₂，

由運動學公式得v₂²－v₀²＝－2ad₂

解得d₂＝400 m

提速前，汽車勻減速過程時間為t₁，

則d₁＝t₁

解得t₁＝26 s

通過勻速行駛區(qū)間的時間為t₁′，有d＝v₁t₁′

解得t₁′＝2.5 s

從開始減速到恢復正常行駛過程中的總時間為T₁＝2t₁＋t₁′＝54.5 s

提速后，汽車勻減速過程時間為t₂，

則d₂＝t₂

解得t₂＝20 s

通過勻速行駛區(qū)間的時間為t₂′，

則d＝v₂t₂′

解得t₂′＝1 s

勻速通過(d₁－d₂)位移時間Δt＝＝1.4 s

通過與提速前相同位移的總時間為T₂＝2t₂＋t₂′＋2Δt＝43.8 s

所以汽車提速后過收費站過程中比提速前節(jié)省的時間ΔT＝T₁－T₂＝10.7 s.