§2.4　函數(shù)的對稱性

考試要求　1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題．

知識梳理

1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性

(1)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱．

(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(－2,0)．

2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；

若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱．

3．兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱

(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對稱；

(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對稱；

(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對稱．

思考辨析

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?span style="font-family:"Times New Roman","serif"">)

(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(　√　)

(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱．(　×　)

(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(　×　)

(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．(　√　)

教材改編題

1．函數(shù)f(x)＝圖象的對稱中心為(　　)

A．(0,0)                                        B．(0,1)

C．(1,0)                                        D．(1,1)

答案　B

解析　因?yàn)?/span>f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一個(gè)單位長度得到y＝1＋，又y＝關(guān)于(0,0)對稱，

所以f(x)＝1＋的圖象關(guān)于(0,1)對稱．

2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系為________．

答案　f(－4)>f(1)

解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，

∴f(x)關(guān)于直線x＝－2對稱，

又f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴f(－4)＝f(0)>f(1)，

故f(－4)>f(1)．

3．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.

答案　5

解析　∵f(x)為偶函數(shù)，

∴f(－1)＝f(1)，

由f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，

可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.

題型一　軸對稱問題

例1　(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時(shí)，則f(2 023)等于(　　)

A．－2  B．2  C．0  D．－4

答案　B

解析　定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，

∴f(x)＝f(2－x)，

故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，

∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．

則f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.

(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?strong>R，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為________．

答案　(2,4)

解析　∵f(x＋2)是偶函數(shù)，

∴f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，

∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，

又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增．

又f(x－1)>f(1)，

∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，

解得2<x<4，

∴原不等式的解集為(2,4)．

思維升華　函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；

若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝成軸對稱．

跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)f(x)＝－x²＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是(　　)

A．f(－1)<f(1)<f(2)

B．f(1)<f(2)<f(－1)

C．f(2)<f(－1)<f(1)

D．f(－1)<f(2)<f(1)

答案　D

解析　因?yàn)?/span>f(x＋1)是偶函數(shù)，所以其對稱軸為x＝0，

所以f(x)的對稱軸為x＝1，

又二次函數(shù)f(x)＝－x²＋bx＋c的開口向下，根據(jù)自變量離對稱軸的距離可得f(－1)<f(2)<f(1)．

(2)如果函數(shù)f(x)對任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當(dāng)x≥時(shí)，f(x)＝log₂(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和為(　　)

A．2  B．3  C．4  D．－1

答案　C

解析　根據(jù)f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱，

那么求函數(shù)f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值與最小值之和，

因?yàn)?/span>f(x)＝log₂(3x－1)在上單調(diào)遞增，所以最小值與最大值分別為f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.

題型二　中心對稱問題

例2　(1)(多選)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，則下列說法正確的是(　　)

A．f(x)＝f(－x)

B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0

C．f(－x)＝－f(x＋4)

D．f(x＋2)＝f(x－2)

答案　ABC

解析　因?yàn)?/span>f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)，故A正確；

因?yàn)?/span>f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，對于f(x)的圖象上的點(diǎn)(x，y)關(guān)于(2,0)的對稱點(diǎn)(4－x，－y)也在函數(shù)圖象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替換x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正確；

由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正確；

由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D錯誤．

(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個(gè)交點(diǎn)，則這4個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為________．

答案　4

解析　因?yàn)?/span>f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，

y＝g(x)＝＋1的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，則交點(diǎn)關(guān)于(0,1)對稱，

所以4個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為2×2＝4.

思維升華　函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱．

跟蹤訓(xùn)練2　(1)函數(shù)f(x)＝e^x－2－e^2－x的圖象關(guān)于(　　)

A．點(diǎn)(－2,0)對稱                          B．直線x＝－2對稱

C．點(diǎn)(2,0)對稱                              D．直線x＝2對稱

答案　C

解析　∵f(x)＝e^x－2－e^2－x，∴f(2＋x)＝e^2＋x－2－e^2－(2＋x)＝e^x－e^－x，

f(2－x)＝e^2－x－2－e^2－(2－x)＝e^－x－e^x，

所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，

因此，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱．

(2)(2023·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)

A．f(x－1)－1                                    B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1                                    D．f(x＋1)＋1

答案　D

解析　因?yàn)?/span>f(2－x)＋f(x)＝－2，

所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱，

所以將f(x)向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1，該函數(shù)的對稱中心為(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù)．

題型三　兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱

例3　已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)?strong>R的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象(　　)

A．關(guān)于直線x＝1對稱

B．關(guān)于直線x＝3對稱

C．關(guān)于直線y＝3對稱

D．關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱

答案　A

解析　設(shè)P(x₀，y₀)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點(diǎn)，

則y₀＝f(x₀＋2)＝f(4－(2－x₀))，

所以點(diǎn)Q(2－x₀，y₀)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，

而P(x₀，y₀)與Q(2－x₀，y₀)關(guān)于直線x＝1對稱，

所以函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．

思維升華　函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．

跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?strong>R，則函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與y＝f(1－x)的圖象(　　)

A．關(guān)于y軸對稱

B．關(guān)于x軸對稱

C．關(guān)于直線x＝1對稱

D．關(guān)于直線y＝1對稱

答案　C

解析　A選項(xiàng)，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A錯誤；

B選項(xiàng)，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)為y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B錯誤；

C選項(xiàng)，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于直線x＝1對稱的函數(shù)為y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正確；

D選項(xiàng)，函數(shù)y＝f(x－1)關(guān)于直線y＝1對稱的函數(shù)為y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D錯誤．

課時(shí)精練

1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn)(　　)

A．(－1,2)                                    B．(1,2)

C．(－1，－2)                               D．(－2,1)

答案　A

解析　函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，又y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn)(－1,2)．

2．已知函數(shù)f(x)＝2^|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則a等于(　　)

A．1  B．2  C．0  D．－2

答案　B

解析　函數(shù)y＝2^|x|的圖象關(guān)于y軸對稱，

將函數(shù)y＝2^|x|的圖象向右平移2個(gè)單位長度可得函數(shù)y＝2^|x－2|的圖象，

所以函數(shù)y＝2^|x－2|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故a＝2.

3．已知奇函數(shù)f(x)滿足f(5)＝1，且f(x－2)的圖象關(guān)于x＝3對稱，則f(2 025)等于(　　)

A．－1  B．1  C．0  D．3

答案　B

解析　∵函數(shù)f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，

∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，

∴f(－x)＝f(x＋2)，

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f(x)，

∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，

∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1.

4．(2023·鄭州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝2，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是(　　)

A．f(x－1)－1                               B．f(x＋1)＋1

C．f(x)－1                                     D．f(x)＋1

答案　C

解析　∵f(－x)＋f(x)＝2，

∴f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，

將y＝f(x)的圖象向下平移1個(gè)單位長度得函數(shù)y＝f(x)－1的圖象，該圖象關(guān)于(0,0)對稱，

∴y＝f(x)－1為奇函數(shù)．

5．已知函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x₁≠x₂)，則不等式f(ln x)>f(1)的解集為(　　)

A．(－∞，e)∪(e³，＋∞)             B．(1，e²)

C．(e，e³)                                     D．(e，＋∞)

答案　C

解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，在[2，＋∞)上恒有<0(x₁≠x₂)，當(dāng)x₁<x₂時(shí)，f(x₁)>f(x₂)，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，不等式f(ln x)>f(1)需滿足|ln x－2|<|1－2|?1<ln x<3，解得e<x<e³.

6．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞增，則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中正確的有(　　)

A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱

B．f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增

C．f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減

D．f(2)＝f(0)

答案　AD

解析　根據(jù)題意，若f(x＋1)＝－f(x)，

則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

則有f(2)＝f(0)，故D正確；

若f(x＋2)＝f(x)，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

則有f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故A正確；

f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，故B錯誤；

f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，且f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

則函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，故C錯誤．

7．與f(x)＝e^x關(guān)于直線x＝1對稱的函數(shù)是________．

答案　y＝e^2－x

解析　f(x)＝e^x關(guān)于直線x＝1對稱的是f(2－x)＝e^2－x，

即y＝e^2－x.

8．(2022·江蘇七市聯(lián)考)寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________.

①f(x)是定義域?yàn)?strong>R的奇函數(shù)；

②f(1＋x)＝f(1－x)；

③f(1)＝2.

答案　2sin x(答案不唯一)

解析　由①②③可知函數(shù)f(x)是對稱軸為x＝1，定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且f(1)＝2，可寫出滿足條件的函數(shù)f(x)＝2sin x.

9．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求a的值，并解關(guān)于x的不等式f(x)>；

(2)求函數(shù)g(x)＝圖象的對稱中心．

解　(1)對任意的x∈R,2^x＋2^－x>0，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則f(0)＝＝0，解得a＝1，

所以f(x)＝，下面驗(yàn)證函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，

f(－x)＝＝－f(x)，故函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，

由f(x)＝＝＝>，得2·4^x>4，即2^2x＋1>2²，

所以2x＋1>2，解得x>，

因此不等式f(x)>的解集為.

(2)g(x)＝＝，

則g(－x)＝，

所以g(x)＋g(－x)＝＝2，

因此函數(shù)g(x)＝圖象的對稱中心為(0,1)．

10．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．

(1)若f(x)＝x³－3x².求此函數(shù)圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論．

解　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x³－3x²圖象的對稱中心為P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，

則g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，

即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，

即[(－x＋a)³－3(－x＋a)²]＋[(x＋a)³－3(x＋a)²]＝2b.

整理得(3a－3)x²＋a³－3a²－b＝0，故解得

所以函數(shù)f(x)＝x³－3x²圖象的對稱中心為(1，－2)．

(2)推論：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)．

11．(多選)已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，下列4個(gè)命題中是真命題的是(　　)

A．若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象自身關(guān)于直線x＝1對稱

B．函數(shù)f(x－1)與f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱

C．若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，則f(x)的圖象自身關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

D．若f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，則f(x)的圖象自身關(guān)于直線x＝1對稱

答案　ABD

解析　對于A，若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝0對稱，故y＝f(x＋1)的圖象向右平移1個(gè)單位長度得f(x)的圖象，故f(x)的圖象自身關(guān)于直線x＝1對稱，正確；

對于B，將f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，可得f(x－1)的圖象，將f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱得f(－x)的圖象，然后將其圖象向右平移1個(gè)單位長度得f(1－x)的圖象，故f(x－1)與f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故正確；

對于C，若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的圖象自身關(guān)于直線x＝1對稱，故不正確；

對于D，因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象自身關(guān)于直線x＝1對稱，故正確．

12．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)是偶函數(shù)，若函數(shù)y＝|x²－4x－5|與函數(shù)y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，則橫坐標(biāo)之和x₁＋x₂＋…＋x_n＝________.

答案　2n

解析　因?yàn)?/span>f(x＋2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)f(x)的圖象，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，

因?yàn)?/span>y＝|x²－4x－5|＝|(x－2)²－9|，

所以函數(shù)y＝|x²－4x－5|的圖象也關(guān)于直線x＝2對稱，

所以x₁＋x₂＋…＋x_n＝·4＝2n.

13．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有(　　)

A．0對  B．1對  C．2對  D．3對

答案　B

解析　作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示，

再作出－y＝f(－x)，記為曲線C，

由圖象可知，滿足條件的對稱點(diǎn)只有一對，圖中的A，B就是符合題意的點(diǎn)．

14．已知函數(shù)f(x)＝則滿足f(2＋log₄x)>f(1－log₄x)的x的取值范圍是(　　)

A.                                       B.

C．(0,2)                                        D．(2，＋∞)

答案　A

解析　當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝^x－2－4＝2^2－x－4＝2^|x－2|－4，

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝2^x－2－4＝2^|x－2|－4，

所以對任意的x∈R，f(x)＝2^|x－2|－4，

則f(4－x)＝2^|4－x－2|－4＝2^|x－2|－4＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，

由f(2＋log₄x)>f(1－log₄x)可得|2＋log₄x－2|>|1－log₄x－2|，

即|log₄x|>|1＋log₄x|，不等式|log₄x|>|1＋log₄x|兩邊平方得log₄x<－，解得0<x<.