邏輯學(xué)是研究推理有效性的學(xué)問。在具體的邏輯系統(tǒng)中，推理的有效性又集中體現(xiàn)于邏輯常項(xiàng)的推理有效性，因之，邏輯常項(xiàng)是邏輯研究的核心。使用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表示邏輯常項(xiàng)，可以為邏輯研究提供良好的技術(shù)工具和清晰的呈現(xiàn)方式。如何創(chuàng)新邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示法，為邏輯研究提供更加多元、更加適用的工具是邏輯研究的重要課題之一。本文擬在簡要?dú)w納分析不同形態(tài)邏輯表示法的基礎(chǔ)上，提出一種僅僅使用一對(duì)括號(hào)就可以表達(dá)所有邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示法，揭示其與中置法和前置法的表達(dá)差異，并闡明其強(qiáng)大的表達(dá)功能和基本表達(dá)特征。

一、邏輯研究的核心對(duì)象

不同邏輯系統(tǒng)研究不同范圍內(nèi)的邏輯。亞里士多德的詞項(xiàng)邏輯主要研究簡單性質(zhì)命題之間的推理關(guān)系，命題邏輯主要研究以命題為基本單位的若干命題之間的推理關(guān)系，謂詞邏輯則主要研究以個(gè)體詞和謂詞為對(duì)象的各種量詞之間的推理關(guān)系。

根據(jù)范圍的不同，現(xiàn)代邏輯研究一般首先要?jiǎng)?chuàng)制足以表達(dá)該范圍內(nèi)研究對(duì)象的符號(hào)，即構(gòu)建形式語言。在命題邏輯中，需要三類基本的符號(hào)：一類是表達(dá)各種不同命題的符號(hào)，通常用小寫字母加下標(biāo)的形式表示，如p1、p2等等；一類是描述諸命題之間聯(lián)系的符號(hào)，即命題聯(lián)接詞符號(hào)，如否定符號(hào)┐、蘊(yùn)涵符號(hào)→等等；一類是確定命題之間結(jié)合先后順序的輔助性符號(hào)，如左右括號(hào)( )等等。

在一階謂詞邏輯中，為了足以表達(dá)命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)的諸對(duì)象，一般需要如下幾組符號(hào)：

1.表達(dá)命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)的符號(hào)。(1)表達(dá)個(gè)體對(duì)象的符號(hào)；(2)表達(dá)個(gè)體對(duì)象性質(zhì)或者諸個(gè)體對(duì)象之間關(guān)系的符號(hào)；(3)表達(dá)具有某種性質(zhì)或者關(guān)系的諸對(duì)象范圍的符號(hào)，即量詞符號(hào)。

2.表達(dá)諸命題之間聯(lián)系的命題聯(lián)接詞符號(hào)。

3.表達(dá)命題間聯(lián)系之先后順序的符號(hào)。

由命題邏輯和一階謂詞邏輯可以看出，形式語言實(shí)際上主要包括三類符號(hào)，第一類是描述研究范圍內(nèi)特定語言對(duì)象的符號(hào)，如命題邏輯中的命題符號(hào)、一階謂詞邏輯中的個(gè)體對(duì)象符號(hào)和謂詞符號(hào)等；第二類是描述特定范圍內(nèi)具有推理屬性的符號(hào)，如命題邏輯中的各種命題聯(lián)接詞符號(hào)、謂詞邏輯中的量詞符號(hào)、模態(tài)邏輯中的模態(tài)詞符號(hào)等；第三類是其他輔助性符號(hào)，如描述命題之間結(jié)合先后順序的符號(hào)（通常使用各種括號(hào)表示）、個(gè)體詞之間的間隔符號(hào)（通常使用逗號(hào)等表示）等。第一類符號(hào)主要是描述特定范圍內(nèi)的研究對(duì)象，第二類符號(hào)描述的是特定范圍內(nèi)具有推理功能的邏輯對(duì)象。不難看出，真正表達(dá)各種推理功能的是第二類符號(hào)，即通常所說的邏輯常項(xiàng)。所以，邏輯常項(xiàng)是不同邏輯系統(tǒng)的形式語言所要表達(dá)的關(guān)鍵對(duì)象。

邏輯研究的核心是推理，不同的邏輯系統(tǒng)研究的是不同邏輯常項(xiàng)的推理結(jié)構(gòu)和推理功能。因此，具體到各種邏輯系統(tǒng)之中，實(shí)際上邏輯常項(xiàng)是邏輯研究的核心對(duì)象。

二、符號(hào)表示法及其發(fā)展

由于邏輯常項(xiàng)在邏輯研究中的核心地位，邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法的發(fā)展伴隨著邏輯學(xué)發(fā)展的始終，并在根本上影響著邏輯學(xué)的最終樣態(tài)。這是因?yàn)榍‘?dāng)?shù)姆?hào)表示法可以方便我們以一種更加明晰的方式、更有效率地表達(dá)邏輯思想，并進(jìn)而構(gòu)建推理工具。

邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法的產(chǎn)生和發(fā)展我們可以將其歸納為三種形態(tài)：

第一種形態(tài)：自然語言表示法

邏輯常項(xiàng)的最初表達(dá)是使用自然語言表示的。

古希臘時(shí)期的亞里士多德在《前分析篇》中就使用如下語言表達(dá)常用的4種命題：

(1) A belongs to every B；

(2) A not belong to any B；

(3) A belongs to some B；

(4) A not belong to some B。

其中，大寫字母A、B分別表示命題的主項(xiàng)和謂項(xiàng)，而“belongs to every”“not belong to any”“belongs to some”“not belong to some”則分別表示“都是”“都不是”“至少有些是”“并非都是”等4種邏輯常項(xiàng)。(參見張家龍，第318頁；亞里士多德,第62頁；cf.Barnes, 1995. p.4, 6, 24)

麥加拉-斯多葛學(xué)派深入地研究了命題邏輯，他們通過公理或推理規(guī)則研究了“否定”“不相容析取”“蘊(yùn)涵”等的推理規(guī)律。他們對(duì)于邏輯常項(xiàng)同樣是使用自然語言來表述的。如他們對(duì)“否定”“合取”“析取”“蘊(yùn)涵”等分別用自然語言“并非”“并且”“或者”“如果”等來表述。（cf.Mates, pp.29-182）中世紀(jì)的邏輯教科書中，一般也使用符號(hào)“和(et)”“或(vel)”“如果(si)”等來表示合取、析取和條件關(guān)系。（cf. Bonevac and Dever, pp.175-233; De Rijk, pp.159-191）

中國先秦時(shí)期的墨家研究“名”“辭”“說”之辯學(xué)，他們對(duì)于邏輯常項(xiàng)也是使用自然語言來表達(dá)的。他們使用“或”來表示邏輯常項(xiàng)“部分是，但不全是”（“或也者，不盡也”），如《小取》中“馬或白者，二馬而或白也，非一馬而或白”。（孫詒讓，第421頁）他們使用“且”表達(dá)通常的時(shí)態(tài)關(guān)系“即將”，如《小取》中“且斗雞，非雞也；……且入井，非入井也；止且入井，止入井也”。（同上，第419頁）另外還有“假”等其他常項(xiàng)。

使用自然語言來表達(dá)邏輯常項(xiàng)，其最大優(yōu)勢是直觀、容易理解。但是也存在缺陷，一是自然語言有歧義、含糊不清，二是作為研究對(duì)象的語言和用來研究的元語言混合在一起。

第二種形態(tài)：符號(hào)表示法

對(duì)于前述亞里士多德研究的四種命題，中世紀(jì)的威廉·謝爾沃德、奧賽爾的拉姆貝特和西班牙的彼得等人分別使用大寫字母A、E、I、O來表示，這開辟了邏輯常項(xiàng)之符號(hào)表示的新紀(jì)元。之所以使用A、E、I、O來表達(dá)，一個(gè)原因是為了便于記憶，A、I分別是拉丁文單詞“affirmo”（肯定）中的第一個(gè)和第二個(gè)元音字母，E、O分別是拉丁文單詞“nego”（否定）中的第一個(gè)和第二個(gè)元音字母。（參見波波夫、斯佳日金，第212-213頁）由此可見，A、E、I、O的使用雖然實(shí)現(xiàn)了邏輯常項(xiàng)由自然語言表示法到符號(hào)表示法的跨越，但是它在某種意義上實(shí)際是自然語言的一種簡寫，帶有明顯的由自然語言表示法到符號(hào)表示法的過渡痕跡。

邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法的使用使得邏輯常項(xiàng)的表示擺脫了自然語言的羈絆和束縛，其涵義更加明確、無歧義。

對(duì)邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法作出巨大貢獻(xiàn)的應(yīng)該是偉大的德國學(xué)者萊布尼茲。他提出了創(chuàng)建普遍語言和思維演算的構(gòu)想，在此構(gòu)想之下，萊布尼茲以符號(hào)“Non-A”“AB或A+B”“A∞B或A=B”等來表述“否定”“合取”“等值”等。（cf. Lenzen, pp.1-83）這開辟了使用符號(hào)來表示邏輯常項(xiàng)的新時(shí)代，這對(duì)后來邏輯學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用并影響深遠(yuǎn)直至今日。

十九世紀(jì)的邏輯學(xué)家皮爾士對(duì)邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示法做了大量的推進(jìn)工作。他以不同類型的符號(hào)來表達(dá)涉及的個(gè)體變?cè)⒑瘮?shù)和關(guān)系等，他區(qū)分了相容析取和不相容析取，并分別以不同的邏輯符號(hào)“x+, y”“x+y”來表述之。(cf. Peirce, 2010, pp.317-378)他還以符號(hào)“∑”“∏”來表達(dá)存在量詞和全稱量詞，使用∑ixi表示“xi+xj+xk+etc.”，使用∏ixi表示“xixjxk, etc.”。這些量詞可以重疊使用，如∑i∏j∑k等。(cf. Peirce, 1996, pp.608-632)

德國邏輯學(xué)家弗雷格使用其獨(dú)創(chuàng)的二維表意符號(hào)來表述邏輯常項(xiàng)。弗雷格區(qū)別觀點(diǎn)的表述和對(duì)觀點(diǎn)的斷定，他使用二維橫線表示內(nèi)容短線，即以“——”表示內(nèi)容短線，短線后是所表示的觀點(diǎn)內(nèi)容。二維符號(hào)：

表示表述觀點(diǎn)A；二維符號(hào)：

表示斷定觀點(diǎn)A。增加的垂直豎線“｜”稱為斷定短線。

在此基礎(chǔ)上，他以內(nèi)容短線下加上垂直豎線，表示否定。即以：

表示A的否定。以：

表示A蘊(yùn)涵B。

通常的推理規(guī)則分離規(guī)則則表示為：由和，可以得到：。

弗雷格還引入如下符號(hào)來表示全稱量詞：。

上述符號(hào)表示“對(duì)于任一個(gè)體a，函數(shù)Ф (a)都成立。”(Frege, pp.1-82)

弗雷格邏輯常項(xiàng)的二維表示法使得符號(hào)同時(shí)具有語法和語義的雙重涵義，即弗雷格的符號(hào)表示法是一種形義兼具的表示法。(cf. ibid., pp.11-13)

一方面，弗雷格依據(jù)這一獨(dú)特的符號(hào)表示法，構(gòu)建了第一個(gè)現(xiàn)代謂項(xiàng)邏輯演算系統(tǒng)，開辟了邏輯學(xué)發(fā)展的新時(shí)代，這成為了現(xiàn)代邏輯誕生的標(biāo)志性事件；另一方面，弗雷格的符號(hào)“雖然相當(dāng)精確，但因?yàn)槭嵌S的，因此很難掌握，也不便于應(yīng)用，從歷史上看，這就是造成弗雷格的《概念文字》在當(dāng)時(shí)未能產(chǎn)生很大影響的重要原因之一”。（鄭毓信，第52-53頁）

意大利數(shù)學(xué)家皮阿諾給出了一套非常簡潔的邏輯符號(hào)表示法：用符號(hào)“a∩b”“-a”“a∪b”“a?b”“a=b”來分別表示“合取”“否定”“析取”“蘊(yùn)涵”和“等值”，使用符號(hào)“x,y,……”表示全稱量詞，符號(hào)“a?x,y,……b”就表示“對(duì)任意的x,y,……，都有a蘊(yùn)涵b”。

皮阿諾創(chuàng)制的邏輯符號(hào)給羅素以極大啟發(fā)，使得他將數(shù)學(xué)還原為邏輯的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究工作得以順利進(jìn)展。羅素和懷特海基于皮阿諾的符號(hào)系統(tǒng)創(chuàng)制了他們自己的邏輯符號(hào)系統(tǒng)。他們用符號(hào)“~p”“p∨q”分別表示“否定”“析取”，并以之作為初始聯(lián)結(jié)詞，定義引入其他聯(lián)結(jié)詞如“?”等。符號(hào)“p·q”“p?q”“p≡q”分別表示“合取”“蘊(yùn)涵”和“等值”。在此基礎(chǔ)上，他們以包含符號(hào)“p∨q”和“p?q”的公式，如“p∨p?p”“(q?r)?(p∨q?p∨r)”等作為公理，構(gòu)建了命題邏輯的公理系統(tǒng)。他以符號(hào)“(x)”“(?x)”分別表示“全稱量詞”和“存在量詞”。（cf.Russell, 1967a, pp.124-125; Russell, 1967b, pp.150-182）其析取詞符號(hào)“∨”和存在量詞符號(hào)“?x”直至今日仍然是被最廣泛使用的邏輯常項(xiàng)符號(hào)。

盡管一階謂詞邏輯演算是由弗雷格首創(chuàng)的，但是真正引起人們廣泛關(guān)注的是羅素和懷特海的《數(shù)學(xué)原理》，其中一個(gè)關(guān)鍵因素是羅素繼承并進(jìn)一步改進(jìn)了皮亞諾的符號(hào)表示法體系。

數(shù)學(xué)家希爾伯特和阿克曼在《數(shù)理邏輯原理》中給出了與羅素系統(tǒng)稍有差別的符號(hào)表示法系統(tǒng)，其中至今被廣泛使用的差別之一是以“X→Y”取代“p?q”。《數(shù)理邏輯原理》與其符號(hào)表示法相關(guān)的是對(duì)命題邏輯、一階謂詞邏輯和二階謂詞邏輯進(jìn)行了區(qū)分，并分別給出了相應(yīng)系統(tǒng)的邏輯符號(hào)體系。(cf. Hilbert and Ackermann)

第三種形態(tài)：形式化表示法

當(dāng)符號(hào)表示法中的符號(hào)不再僅僅表達(dá)某一個(gè)確定的邏輯常項(xiàng)，符號(hào)的涵義僅僅由表達(dá)它的公式或者規(guī)則來唯一規(guī)定時(shí)，這時(shí)的符號(hào)表示法就實(shí)現(xiàn)了向形式化表示法的華麗轉(zhuǎn)身。

英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家布爾創(chuàng)立了布爾代數(shù)。其中含有3個(gè)邏輯常項(xiàng)符號(hào)：“×”“+”“-”，這些符號(hào)的意義僅僅由表達(dá)它的公式?jīng)Q定：（1）X+Y=Y+X，X×Y=Y×X；（2）X×(Y+Z)=(X×Y)+(X×Z)，X+(Y×Z)=(X+Y)×(X+Z)；（3）X+0=X，X×1=X；（4）X+(-X)=1，X×(-X)=0。這些常項(xiàng)并不表示某一個(gè)確定的涵義，只要對(duì)這些常項(xiàng)所給的解釋符合上述公式的規(guī)定，都可以作為這些常項(xiàng)的解釋。例如，可以將“×”“+”“-”解釋為集合論中的“交”“并”“補(bǔ)”運(yùn)算，也可以將“×”“+”“-”解釋為開關(guān)電路中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”“開關(guān)”運(yùn)算，還可以將“×”“+”“-”解釋為邏輯運(yùn)算中的“合取”“析取”“否定”。布爾代數(shù)中的常項(xiàng)符號(hào)表示法就屬于形式化表示法。

現(xiàn)代邏輯各種形式系統(tǒng)中，所采取的基本都是語法和語義相分離的構(gòu)建模式。在這些形式系統(tǒng)中，邏輯常項(xiàng)的意義唯一地由表達(dá)它的公理和變形規(guī)則決定。例如，同樣是符號(hào)“┐”和“→”，在經(jīng)典命題邏輯中，其意義由公理“(┐A→B)→((┐A→┐B)→A)”等和規(guī)則“若A且A→B，則B”決定；而在直覺主義命題邏輯中，其意義則由公理“┐A→(A→B)”等和規(guī)則“若A且A→B，則B”決定。再如，對(duì)于模態(tài)聯(lián)接詞符號(hào)“□”在K、D、T、S4、S5等不同的系統(tǒng)中，由于表達(dá)“□”的公理不盡相同，其所表達(dá)的也是不同意義的“必然”。

綜觀邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法的產(chǎn)生和發(fā)展歷程，可以看出：歷史上的邏輯符號(hào)表示法經(jīng)歷了由自然語言表示法到人工語言表示法的發(fā)展歷程。人工語言表示法又經(jīng)歷了人工表意符號(hào)語言和形式化語言兩個(gè)階段。在世界三大邏輯發(fā)源地的早期邏輯研究中，都比較普遍地使用自然語言來研究推理關(guān)系。并且在古代中國的名辯研究、印度的因明研究中，這種傳統(tǒng)一直在保持著；只有在西方，邏輯表示法經(jīng)歷了由自然語言到人工語言的嬗變，并進(jìn)一步發(fā)展到形式化語言的新階段，也正是在西方，邏輯學(xué)獲得了持續(xù)而深入的不斷發(fā)展，并進(jìn)而誕生了現(xiàn)代邏輯。即使同樣是人工語言，相較于一般的符號(hào)表示法，形式化表示法推動(dòng)邏輯學(xué)研究實(shí)現(xiàn)了由基于推理實(shí)際的具體思維規(guī)律的描述性研究到基于結(jié)構(gòu)變換的純粹推理模式的規(guī)范性研究的轉(zhuǎn)變。這種轉(zhuǎn)變從根本上改變了邏輯的樣貌，拓展了邏輯研究的廣度和深度。

由此可見，邏輯常項(xiàng)表示法的變遷，不僅決定著邏輯形態(tài)的呈現(xiàn)形式，而且決定著邏輯研究的持續(xù)和深入發(fā)展。對(duì)此，著名邏輯學(xué)家皮亞諾非常明確地指出，有些研究之所以還沒有滿意的結(jié)果，其“困難的根源是語言含混?！彼J(rèn)為，符號(hào)語言對(duì)于剖析出算術(shù)和幾何的原理，以及辨別其初始的和從屬的概念、定義、公理和定理等等都是不可少的工具，同時(shí)也是陳述那些日常語言幾乎不能表述的復(fù)雜思維過程的手段。（參見王憲鈞，第299頁）19世紀(jì)末至今現(xiàn)代邏輯的發(fā)展也充分地證明了這一點(diǎn)。

三、括號(hào)表示法

當(dāng)下，國際通行的邏輯常項(xiàng)表示法主要有兩種，即皮阿諾、羅素等人創(chuàng)制的中置表示法（簡稱中置法）和波蘭邏輯學(xué)家盧卡西維茨等人發(fā)明的前置表示法（簡稱前置法）。其中，前置法又稱波蘭表示法，簡稱波蘭記法。與波蘭記法相類的還有后置法，其與前置法的差異只是順序相反。

與這兩種表示法不同，下面我們將闡述一種新的邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法——括號(hào)表示法。

括號(hào)表示法是一種僅使用一對(duì)括號(hào)來表達(dá)所有邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示法。將完全純粹的括號(hào)表示法作為一種獨(dú)立的邏輯常項(xiàng)表示法是作者于2019年提出的。（參見杜國平，2019年a，第7-12頁）

（一）括號(hào)表示法的源起

括號(hào)表示法的明確提出是受到舍弗（H. M. Sheffer）函數(shù)和張清宇先生相關(guān)工作的啟發(fā)。

舍弗函數(shù)將所有的命題聯(lián)接詞歸約為一個(gè)邏輯函數(shù)，即析舍或者合舍，通常用符號(hào)“|”“↓”表示。析舍和合舍的表達(dá)能力都很強(qiáng)，可以表達(dá)所有的命題聯(lián)接詞。受此啟發(fā)，我們考慮是否可以創(chuàng)制表達(dá)能力更強(qiáng)的邏輯常項(xiàng)，不僅能表達(dá)所有的命題聯(lián)接詞，而且能同時(shí)將其他邏輯常項(xiàng)如量詞、模態(tài)詞等進(jìn)行進(jìn)一步歸約為一個(gè)邏輯常項(xiàng)。

張清宇先生在1995年提出：“常見的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中總是聯(lián)結(jié)詞和括號(hào)兼而有之，也就是說構(gòu)造合式公式時(shí)所要求于它們的聯(lián)結(jié)作用和分組作用分別由兩類符號(hào)承擔(dān)。實(shí)際上，這兩種作用在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中是可以由一類符號(hào)來承擔(dān)的?！被诖耍麡?gòu)建了只含有命題變項(xiàng)、命題常項(xiàng)“t”和左右括號(hào)“( )”的命題邏輯形式語言及其公理系統(tǒng)。在該文中，張清宇先生給出的括號(hào)“(AB)”相當(dāng)于二元聯(lián)結(jié)詞“A^┐B”，“t”相當(dāng)于零元聯(lián)接詞“1”。(參見張清宇，1995年，第40-47頁)

1996年，張清宇先生又進(jìn)一步構(gòu)建了不用通常的命題聯(lián)結(jié)詞和量詞的一階邏輯系統(tǒng)。在該文中括號(hào)“(AB)”相當(dāng)于二元聯(lián)結(jié)詞“A^┐B”；附加變?cè)睦ㄌ?hào)“(AxB)”相當(dāng)于聯(lián)結(jié)詞“?x\[A^┐B\]”。（張清宇，1996年，第72-79頁）在該系統(tǒng)中，括號(hào)表示兩個(gè)不同的邏輯常項(xiàng)，其中同樣帶有零元聯(lián)接詞“T”。在該系統(tǒng)中，存在三個(gè)邏輯常項(xiàng)：零元聯(lián)接詞“T”、二元聯(lián)接詞“(AB)”和量詞“(AxB)”。

在張清宇先生上述工作的基礎(chǔ)上，本文作者經(jīng)過數(shù)年研究于2019年提出了不再使用零元聯(lián)結(jié)詞而純粹使用括號(hào)來表示所有邏輯常項(xiàng)的基本想法，并正式提出括號(hào)表示法；（參見杜國平，2019年b，第56-60頁）于2020年將括號(hào)表示法由二值命題邏輯和一階量詞邏輯推廣到多值邏輯系統(tǒng)之中；（參見杜國平，2020年，第36-49頁）于2021年提出將括號(hào)表示法推廣到任一邏輯系統(tǒng)之中，并且完成了最為關(guān)鍵的一步：證明了僅僅使用一對(duì)括號(hào)就可以表達(dá)任一邏輯系統(tǒng)內(nèi)所有的邏輯常項(xiàng)，正式確立了作為一種獨(dú)立的邏輯常項(xiàng)符號(hào)表示法的括號(hào)表示法。

括號(hào)表示法不同于中置法和前置法，它是由中國學(xué)者提出的一種新的邏輯常項(xiàng)表示法；前置法由波蘭學(xué)者提出，也稱波蘭表示法，因此也可以將括號(hào)表示法稱為中國表示法。

（二）何謂括號(hào)表示法

下面我們以一階模態(tài)謂詞邏輯為例來闡明括號(hào)表示法的基本思想。

在一階模態(tài)謂詞邏輯的形式語言LP中，其他符號(hào)均與通常的系統(tǒng)相同，只是其中的命題聯(lián)接詞、量詞和模態(tài)詞等邏輯常項(xiàng)只使用一個(gè)符號(hào)，即一對(duì)左右括號(hào)“(”“)”。

與通常的合式公式形成規(guī)則類似，涉及“( )”的公式遞歸定義如下：

定義3.01  若A、B、C、D、E是公式， x是不在A、B、C中出現(xiàn)的自由變?cè)?，則(ABCDxE)亦是公式。

在形式語言LP中，只有一個(gè)邏輯常項(xiàng)，即僅僅使用括號(hào)的五元組“(ABCDxE)”。

形式語言LP中所有公式的集合記為Form(LP)。

使用克里普克的可能世界語義，公式(ABCDxE)的語義規(guī)定為：

定義3.02  設(shè)<M，W，R，H，V>是任一五元組，其中M、W是兩不相交的非空集，M是個(gè)體集，W是世界集，R是W上的二元關(guān)系，H是W到M的冪集上的映射。對(duì)于任意可能世界w、w′∈W，一個(gè)賦值V是Form(LP)與W的笛卡爾積到集合{1, 0}上的映射，即：

V:Form(LP)×W→｛1,0｝

除滿足通常的條件之外，還滿足：

V((ABCDxE), w)=1當(dāng)且僅當(dāng)V(A, w)=0或者V(B, w)=0；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(B, w′)=0或者V(C, w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(D(u), w)=0或者V(u/m)(E(u), w)=1。（參見周北海，第344-382頁）

在形式語言LP中，通常的命題聯(lián)接詞、全稱量詞和必然模態(tài)詞是通過如下一組定義僅僅借助唯一的邏輯常項(xiàng)符號(hào)“( )”而引入的：

定義3.03

(A) =def (AAAAxA)

［AB］ =def (ABBBxB)

【C】=def (C(C)CCxC)

「Dx」 =def (C(C)(C)(D)xD)

根據(jù)定義3.02，可以得出上述引入邏輯常項(xiàng)的語義：

定理3.01  設(shè)<M，W，R，H，V>是任一五元組，其中M、W是兩不相交的非空集，M是個(gè)體集，W是世界集，R是W上的二元關(guān)系，H是W到M的冪集上的映射。對(duì)于任意可能世界w、w′∈W，一個(gè)賦值V是Form(LP)與W的笛卡爾積到集合{1, 0}上的映射，則有：

（1）V((A), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V((AAAAxA), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(A, w)=0或者V(A, w)=0；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(A, w′)=0或者V(A, w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(A(u), w)=0或者V(u/m)(A(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(A, w)=0。

（2）V([AB], w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V((ABBBxB), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(A, w)=0或者V(B, w)=0；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(B, w′)=0或者V(B, w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(B(u), w)=0或者V(u/m)(B(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(A, w)=0或者V(B, w)=0。

（3）V(【C】, w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V((C(C)CCxC), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(C, w)=0或者V((C), w)=0；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V((C), w′)=0或者V(C, w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(C(u), w)=0或者V(u/m)(C(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(C, w)=0或者V(C, w)=1；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1或者V(C, w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(C(u), w)=0或者V(u/m)(C(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1。

（4）V(「Dx」, w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V((C(C)(C)(D)xD)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(C, w)=0或者V((C), w)=0；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V((C), w′)=0或者V((C), w′)=1；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)((D)(u), w)=0或者V(u/m)(D(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)V(C, w)=0或者V(C, w)=1；并且對(duì)于任一w′，若Rww′，則V(C, w′)=1或者V(C, w′)=0；并且對(duì)于任何m∈M，任一w∈W，都有V(u/m)(D(u), w)=1或者V(u/m)(D(u), w)=1，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何m∈M，都有V(u/m)(D(u), w)=1。

通過定理3.01可以看出，(A)、［AB］、【C】和「D」分別表達(dá)了否定、析舍、必然模態(tài)和全稱量詞等邏輯常項(xiàng)的語義。即5元組(ABCDxE)僅僅使用一對(duì)括號(hào)就同時(shí)表達(dá)了否定、析舍、必然模態(tài)和全稱量詞等邏輯常項(xiàng)。

從語法的角度看，使用通常的符號(hào)表示法(ABCDxE)實(shí)際上表達(dá)著如下一個(gè)復(fù)雜的5元邏輯常項(xiàng)：

(ABCDxE) ≡ {┐A∨┐B}^□{B→C}^?x{Dx→Ex}

由此可以得出：

(A)≡(AAAAxA)≡┐A

［AB］≡(ABBBxB)≡┐A∨┐B

【C】≡(C(C)CCxC)≡□C

 「Dx」≡(C(C)(C)(D)xD)≡?xDx

由此可以更加清晰地看出，僅僅使用一對(duì)括號(hào)，5元組(ABCDxE)是如何能夠同時(shí)表達(dá)否定、析舍、必然模態(tài)和全稱量詞等邏輯常項(xiàng)的。

進(jìn)一步可知，若定義<AB>=def[A(B)]，則<AB>≡[A(B)]≡A→B。

因此，對(duì)于通常的邏輯公理和推理規(guī)則（對(duì)于由這些公理和推理規(guī)則構(gòu)成的系統(tǒng)記為PQNK系統(tǒng)）使用括號(hào)表示法可以分別表示為：

Ax1  <B<CB>>

Ax2  <<B<CD>><<BC><BD>>>

Ax3  <<(B)C><<(B)(C)>B>>

Ax4  <「<BCx>」<B「Cx」>>，x不在B中出現(xiàn)

Ax5  <「Bx」Bt>，Bt是由將Bx中的x全部替換為t而得

K公理  <【<BC>】<【B】【C】>>

分離規(guī)則  若B，且<BC>，則C。

量化規(guī)則  若Bu，則「Bx」。

必然化規(guī)則  若B，則【B】。

根據(jù)定義3.03等可知，這些公理中的邏輯常項(xiàng)都僅僅是使用一對(duì)括號(hào)“(”“)”由同一個(gè)邏輯常項(xiàng)來表達(dá)的。

（三）括號(hào)表示法的結(jié)構(gòu)特征

假設(shè)在形式語言LP*中，其他非邏輯常項(xiàng)符號(hào)與通常的形式語言相同，而邏輯常項(xiàng)符號(hào)只有僅僅使用一對(duì)左右圓括號(hào)的n元聯(lián)接詞(C1C2……Cn-1Cn)。下面我們來討論其若干結(jié)構(gòu)特征。

我們使用大寫字母X、Y、Z及其加下標(biāo)的形式來表示任一表達(dá)式。LP*中所有表達(dá)式的集合記為Expr(LP*)。由LP*中所有原子公式構(gòu)成的集合記為Atom(LP*)，由LP*中所有公式構(gòu)成的集合記為Form(LP*)。

定義3.04  Form(LP*)是滿足以下(1)-(2)的表達(dá)式集合S中的最小集：

(1)Atom(LP*)?S；

(2)若X1,X2,……,Xn-1,Xn∈S，則(X1X2……Xn-1Xn)∈S。

通常用字母A、B、C、D（或加下標(biāo)）等表示任一LP*的公式；用∑、Γ、Δ等表示任一LP*的公式集合。

定理3.02  設(shè)R是關(guān)于表達(dá)式的一個(gè)性質(zhì)。若：

(1) 對(duì)于任一公式A∈Atom(LP*)，均有R(A)；

(2) 對(duì)于任一公式C1, C2,……,Cn-1,Cn∈Form(LP*)，若R(C1), R(C2),……, R(Cn-1), R(Cn)，則R((C1C2……Cn-1Cn))。

那么對(duì)于任一公式A∈Form(LP*)，都有R(A)。

定義3.05  一個(gè)由形式語言LP*中符號(hào)構(gòu)成的任一有窮序列稱為一個(gè)表達(dá)式；一個(gè)表達(dá)式中出現(xiàn)的符號(hào)數(shù)目，稱為表達(dá)式的長度。

定義3.06  兩個(gè)表達(dá)式X和Y是相等的，當(dāng)且僅當(dāng)它們長度相同，且依次出現(xiàn)的符號(hào)均相同。記為X=Y。

定義3.06  設(shè)X、Y、Z1和Z2是任意表達(dá)式，如果X=Z1YZ2，則稱Y為X的段。如果Y是X的段，且X≠Y，則稱Y是X的真段。

定義3.07  設(shè)X、Y、Z是任意表達(dá)式，如果X=YZ，則稱Y為X的初始段，Z為X的結(jié)尾段。如果Z不空，則稱Y為X的真初始段；如果Y不空，則稱Z為X的真結(jié)尾段。

定理3.03  形式語言LP*中的任一公式都是不空的表達(dá)式。

定理3.04  形式語言LP*中的任一非原子公式均以括號(hào)開頭，以括號(hào)結(jié)尾。

定理3.05  形式語言LP*中任一公式及其任一不空的真初始段中，左括號(hào)的出現(xiàn)比右括號(hào)多；形式語言LP*中任一公式及其任一不空的真結(jié)尾段中，右括號(hào)的出現(xiàn)比左括號(hào)多。

根據(jù)定理3.04和3.05可知：

定理3.06  形式語言LP*中的任一公式的真初始段和真結(jié)尾段都不是LP*的公式。

定理3.07  形式語言LP*中的任一公式僅有兩種形式之一：原子公式或者形如(C1C2……Cn-1Cn)的公式；并且在各種情形下公式所具有的形式是唯一的。

定義3.08對(duì)于公式(C1C2……Cn-1Cn)，稱Ci(1≤i≤n)為公式(C1C2……Cn-1Cn)的第i項(xiàng)。

定義3.09假設(shè)C1, C2,……, Cn-1, Cn∈Form(LP*)。若(C1C2……Cn-1Cn)為公式C的構(gòu)成部分，則稱公式C1, C2,……, Cn-1, Cn為(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中的轄域，稱Ci(1≤i≤n)為(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )所轄的第i項(xiàng)。

定理3.08假設(shè)C1, C2,……, Cn-1, Cn∈Form(LP*)。若(C1C2……Cn-1Cn)為公式C的構(gòu)成部分，則對(duì)于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中有唯一所轄的第i項(xiàng)Ci(1≤i≤n)。

證明：施歸于(C1C2……Cn-1Cn)中所轄項(xiàng)的次序。

當(dāng)i=1時(shí)，即對(duì)于(C1C2……Cn-1Cn)中所轄的第1項(xiàng)，假設(shè)(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第1項(xiàng)不是唯一的，則至少存在C11和C12均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第i項(xiàng)，且C11≠C12。

一方面，根據(jù)定義3.04公式的定義規(guī)則可知，C11和C12都是形式語言LP*中的公式。

另一方面，因?yàn)镃11和C12均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第1項(xiàng)，則左括號(hào)“(”是C中的同一個(gè)符號(hào)，所以C11、C12均以C中“(”之后的同一個(gè)符號(hào)開始，因此根據(jù)定義3.07可知，或者C11是C12的真初始段，或者C12是C11的真初始段。根據(jù)定理3.06可知，或者C11不是形式語言LP*中的公式，或者C12不是形式語言LP*中的公式。

兩相矛盾，假設(shè)不成立。

因此，對(duì)于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中有唯一所轄的第1項(xiàng)C1。

假設(shè)原命題對(duì)于所轄項(xiàng)的次序小于等于i-1均成立，當(dāng)所轄項(xiàng)的次序?yàn)閕時(shí)，假設(shè)(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第i項(xiàng)不是唯一的，則至少存在Ci1和Ci2均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第i項(xiàng)，且Ci1≠Ci2。

一方面，根據(jù)定義3.04公式的定義規(guī)則可知，Ci1和Ci2都是形式語言LP*中的公式。

另一方面，因?yàn)镃i1和Ci2均是(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中所轄的第i項(xiàng)，則左括號(hào)“(”是C中的同一個(gè)符號(hào)，并且其后所轄的第i-1項(xiàng)均相同，所以Ci1、Ci2均以C中“Ci-1”之后的同一個(gè)符號(hào)開始，因此根據(jù)定義3.07可知，或者Ci1是Ci2的真初始段，或者Ci2是Ci1的真初始段。根據(jù)定理3.06可知，或者Ci1不是形式語言LP*中的公式，或者Ci2不是形式語言LP*中的公式。

兩相矛盾，假設(shè)不成立。

因此，對(duì)于(C1C2……Cn-1Cn)最外層的一對(duì)括號(hào)( )在C中有唯一所轄的第i項(xiàng)Ci。

所以，定理成立。

這說明括號(hào)表示法的語言是無歧義的，其公式結(jié)構(gòu)具有唯一性、精確性。（杜國平，2019年b,第35-41頁）

（四）與其他兩種表示法的比較

中置法將二元邏輯常項(xiàng)置于所聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題項(xiàng)的中間，如表示蘊(yùn)涵、合取、析取、等值等的公式“C→D”“C^D”“C∨D”“C?D”。這符合人們通常對(duì)二元運(yùn)算的使用直覺，因?yàn)樗阈g(shù)中通常使用的如“+”“-”“×”“÷”等二元運(yùn)算，也是將其置于兩個(gè)數(shù)的中間。但是在遇到比較復(fù)雜的公式時(shí)，二元邏輯常項(xiàng)的轄域可能造成誤解，中置法需要借助其他輔組符號(hào)如括號(hào)等來表示結(jié)合的先后順序，以排除其可能造成的歧義性。

波蘭表示法將邏輯常項(xiàng)置于所聯(lián)結(jié)命題項(xiàng)前面，其具體做法是分別使用“Np”“Cpq”“Kpq”“Apq”“Epq”等來表示“否定”“蘊(yùn)涵”“合取”“析取”“等值”。（￡ukasiewicz, pp.22-30）使用符號(hào)“Π”來表示全稱量詞。特別值得一提的是，波蘭表示法還使用變量函子“φ(p)”來表示“φ是任一作用于p之上的一元聯(lián)結(jié)詞?！边@樣符號(hào)“ΠpΠqCEpqCφpφq”就表示“對(duì)于任一命題p和q，如果p和q等值，那么φ(p)蘊(yùn)涵φ(q)”，其中 “φ”可以是“任一關(guān)于p的一元真值函數(shù)”。（cf.￡ukasiewicz, pp. 92-102）波蘭記法中邏輯常項(xiàng)的轄域是唯一確定的，因此它不需要使用括號(hào)等符號(hào)來表示結(jié)合的先后次序。但是這種記法的優(yōu)點(diǎn)卻背離了自然語言中所使用的構(gòu)造方式，因此在讀法上十分困難。（參見威廉·涅爾、瑪莎·涅爾，第652頁）

括號(hào)表示法與波蘭表示法相對(duì)，對(duì)于邏輯常項(xiàng)的表示僅僅使用括號(hào)而不使用通常的聯(lián)接詞、量詞和模態(tài)詞等。因?yàn)槔ㄌ?hào)表示法只使用括號(hào)，而不再使用其他邏輯常項(xiàng)符號(hào)，所以，若以一對(duì)括號(hào)作為一個(gè)邏輯常項(xiàng)表示單位，那么運(yùn)用括號(hào)表示法表達(dá)的公式，其長度比中置法簡短。例如對(duì)于常見的經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)的兩條正命題公理，在括號(hào)表示法中，如前所述可以簡單而直接地表示為：

Ax1  <B<CB>>

Ax2  <<B<CD>><<BC><BD>>

其中僅僅含有一種括號(hào)，而不再需要其他聯(lián)接詞符號(hào)。

括號(hào)表示法是左右成對(duì)使用，其轄域及其所轄順序各項(xiàng)非常清晰，所以，它比波蘭表示法清晰。（參見杜國平，2019年c，第21-24頁）

中置法對(duì)括號(hào)的歸約能力主要體現(xiàn)在舍弗(H. M. Sheffer)函數(shù)，但是未出現(xiàn)對(duì)命題邏輯詞、量詞和模態(tài)詞等邏輯常項(xiàng)的統(tǒng)一歸約；理論上講，波蘭表示法可以對(duì)各種邏輯常項(xiàng)進(jìn)行歸約，但是遺憾的是歷史上亦未曾出現(xiàn)，實(shí)際上波蘭表示法即使使用一個(gè)符號(hào)對(duì)各種邏輯常項(xiàng)進(jìn)行歸約，但是因?yàn)槠錄]有括號(hào)，雖然不會(huì)導(dǎo)致歧義，但是轄域的識(shí)別亦是非常困難的。另外，若使用波蘭表示法對(duì)各種邏輯常項(xiàng)進(jìn)行歸約，必須注明其元數(shù)，否則轄域不清楚；而括號(hào)表示法的轄域就是左右兩個(gè)括號(hào)中間的項(xiàng)，轄域清晰。

括號(hào)表示法可以對(duì)所有的邏輯常項(xiàng)進(jìn)行歸約，前述已經(jīng)證明了這一點(diǎn)，這顯示出括號(hào)表示法強(qiáng)大的功能，某種意義上是最大的表達(dá)功能，因?yàn)樗挥幸粚?duì)左右括號(hào)。括號(hào)表示法之所以表達(dá)能力強(qiáng)于其他表示法，主要是因?yàn)椋涸谝粋€(gè)邏輯表達(dá)式中，需要兩類符號(hào)，一類是邏輯常項(xiàng)符號(hào)，一類是區(qū)分結(jié)合先后順序或?qū)哟蔚姆?hào)。在中置法中，前一類符號(hào)是使用“┐”“^”“→”等符號(hào)來表達(dá)的，后一類符號(hào)是使用括號(hào)來表達(dá)的；在波蘭表示法中，因?yàn)榍爸梅ㄖ械拿恳粋€(gè)邏輯常項(xiàng)的元數(shù)和結(jié)合次序（從左往右）是唯一確定的，因此，其邏輯常項(xiàng)同時(shí)發(fā)揮著第二類符號(hào)的功能，因此前置法不需要括號(hào)，只有一類符號(hào)就足夠了。而括號(hào)表示法既發(fā)揮了括號(hào)的第二類符號(hào)功能，同時(shí)使其兼具邏輯常項(xiàng)的功能，因此只有一類符號(hào)就足夠了。另外因?yàn)槔ㄌ?hào)內(nèi)符號(hào)的元數(shù)不受限制，所以括號(hào)表示法可以通過增加元數(shù)而不斷增強(qiáng)其表達(dá)功能，這是波蘭表示法難以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)槟壳安ㄌm表示法中的每個(gè)邏輯常項(xiàng)其元數(shù)是固定的，這就限制了其對(duì)邏輯常項(xiàng)的歸約能力。

與其他邏輯符號(hào)表示法相比，括號(hào)表示法在使用上還具有如下特點(diǎn)或優(yōu)勢：

1.直觀，更易接受。括號(hào)本身就有確定先后順序的結(jié)構(gòu)功能，括號(hào)表示法充分利用這一點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上再賦予括號(hào)以邏輯函數(shù)功能，便于學(xué)習(xí)，容易形成代入感，而不會(huì)像特設(shè)的、專門的人造符號(hào)那樣讓初學(xué)者望而生畏，并需要死記硬背。（參見杜國平，2021年a，第52-56、78頁）

2.更加自然。常用的邏輯符號(hào)“┐”“^”“∨”“→”“?”等是人為定制的，與之相比，括號(hào)是常用書面語言中本身就有的，人們使用起來比較習(xí)慣。

3.更加方便，便于錄入。括號(hào)在人們使用的語言中更常用，不同的自然語言、不同的專業(yè)學(xué)科語言中基本上都使用括號(hào)。

4.靈活。作為形式語言符號(hào)的括號(hào)既可以表示一元聯(lián)結(jié)詞(A)，也可以表示二元聯(lián)結(jié)詞(AB)、三元聯(lián)結(jié)詞(ABC)、四元聯(lián)結(jié)詞(ABCD)、……，它可以表示任意n元命題聯(lián)結(jié)詞；還可以直接使用慣常的記法表示量詞(x)A(x)、各類模態(tài)詞［A］、【B】等，表達(dá)非常靈活。其意義僅由表達(dá)它的語法公理或者語義定義而確定。（參見杜國平，2021年b，第53-61頁）

5.描述能力強(qiáng)。通過引入不同括號(hào)如“( )”“［］”“<>”“【】”“〈〉”“{}”“「」”“『』”“〖〗”“(())”等來表示不同元數(shù)的不同連接詞，還可以進(jìn)一步增強(qiáng)括號(hào)表示法的描述能力。為了增加可識(shí)別性，還可以約定以單線括號(hào)如“( )”“［］”等表示一元聯(lián)結(jié)詞，以雙線括號(hào)如“〖〗”“(())”等表示二元聯(lián)結(jié)詞，以粗線括號(hào)如“【】”“”等表示模態(tài)詞等。

6.整體性。其作用的對(duì)象被包括在一對(duì)括號(hào)之內(nèi)，轄域非常清晰。

中置法和波蘭表示法都是分離表示法。括號(hào)表示法與之不同，它是一種整體表示法，在設(shè)計(jì)思想上是一種完全不同的符號(hào)表示法。之所以稱其他兩種符號(hào)表示法為分離表示法，是因?yàn)橹兄梅▽⑦\(yùn)算符號(hào)或聯(lián)接詞左右的兩個(gè)符號(hào)斷開，當(dāng)其作為一個(gè)單元形成更復(fù)雜的公式時(shí)（如p∨q→r），需要括號(hào)或者其他規(guī)定來確定運(yùn)算的先后順序；波蘭表示法雖然運(yùn)算順序是明確的，但是因?yàn)橄嗷ヅR近的兩個(gè)符號(hào)是分置的，當(dāng)公式足夠復(fù)雜時(shí)（如CKCNpCpqrs），確立運(yùn)算順序也非易事。反之，括號(hào)表示法中因?yàn)槔ㄌ?hào)是兩個(gè)成對(duì)同時(shí)使用的，并且它將所作用的其他符號(hào)包含其中，使其和作用的符號(hào)作為一個(gè)整體連接在一起，轄域清楚，并且結(jié)合順序和運(yùn)算順序非常明確。（參見杜國平，2020年，第36-49、167頁）

三種表示法的基本情況對(duì)照如下：

四、余論

基于易辨識(shí)、可讀性等方面的要求，括號(hào)表示法還可以添加一些輔助性的修飾，使其表達(dá)更加清晰明白。

一種辦法是括號(hào)的加標(biāo)表示法。如(nDn)以左括號(hào)加數(shù)字上標(biāo)表示邏輯常項(xiàng)轄域的左起，以右括號(hào)加相同數(shù)字下標(biāo)表示邏輯常項(xiàng)的右起；不同數(shù)字的上下標(biāo)表示若干不同的邏輯常項(xiàng)或處于不同位置的邏輯常項(xiàng)。

加標(biāo)括號(hào)表示法甚至可以不用括號(hào)（此時(shí)可以直接稱其為加標(biāo)表示法），直接用加不同數(shù)字的上下標(biāo)來表達(dá)各種邏輯常項(xiàng)

在實(shí)際運(yùn)用中，可將不同符號(hào)表示法的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來使用。例如，因?yàn)橐辉?lián)接詞的轄域清晰，可保留中置法中已經(jīng)習(xí)慣的常用符號(hào)如否定符“┐”等；而其他多元邏輯常項(xiàng)，則可使用括號(hào)表示法中的符號(hào)，以發(fā)揮其轄域清晰、表達(dá)簡練的特點(diǎn)。

猶如天文學(xué)家借助于各種望遠(yuǎn)鏡觀察宇宙，生物學(xué)家利用顯微鏡觀察生物結(jié)構(gòu)，邏輯學(xué)家則借助符號(hào)語言進(jìn)行純粹形式的思想創(chuàng)新。形式語言是現(xiàn)代邏輯學(xué)家研究推理問題不可或缺的工具，而邏輯常項(xiàng)是形式語言的核心表達(dá)要素之一，恰當(dāng)?shù)倪壿嫵ｍ?xiàng)表示法可以為邏輯研究提供更加適用、更加高效的研究工具。不僅如此，從某種意義上說，各種不同的邏輯系統(tǒng)實(shí)際上是關(guān)于不同邏輯常項(xiàng)的邏輯，邏輯發(fā)展史也可以看做邏輯常項(xiàng)的研究史。因此，邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示法也應(yīng)該成為邏輯研究的核心內(nèi)容之一。

邏輯學(xué)的創(chuàng)新發(fā)展離不開邏輯符號(hào)表示法的不斷創(chuàng)新，但是長期以來，關(guān)于邏輯符號(hào)表示法的研究相對(duì)缺乏，尤其是系統(tǒng)性的歷史考察和總結(jié)尚沒有得到學(xué)界的高度重視，相關(guān)研究亟待加強(qiáng)。

現(xiàn)代理論和技術(shù)的進(jìn)步為邏輯符號(hào)表示法的進(jìn)步提供了更加廣闊的發(fā)展空間，但是近百余年來，邏輯符號(hào)表示法鮮有進(jìn)步和創(chuàng)新。邏輯符號(hào)表示法可以充分利用當(dāng)代科技發(fā)展的有利條件，嘗試探索更加適用的符號(hào)表示方法。例如，對(duì)于模態(tài)邏輯中的模態(tài)算子□、◇，至少可以嘗試以下幾種表示法：

(1) 以線條的粗細(xì)來識(shí)別不同的模態(tài)：將線條加粗以AB來表達(dá)必然命題□(AB)，以(AB)來表達(dá)實(shí)然命題(AB)，將線條虛化以AB來表達(dá)可能命題◇(AB)。

(2) 以線條的顏色來識(shí)別不同的模態(tài)。

(3) 以線條的背景來識(shí)別不同的模態(tài)。

以此來表示推理關(guān)系，或許更加生動(dòng)。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究相關(guān)表示法的特點(diǎn)，以利于推理理論以及相關(guān)理論的創(chuàng)新研究和應(yīng)用研究。例如，上述方法至少在可視化、機(jī)器識(shí)別等方面有其獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。

邏輯學(xué)本是非常抽象的學(xué)問，但是利用現(xiàn)代技術(shù)，完全可以對(duì)其符號(hào)表示法進(jìn)行創(chuàng)新，使得理性思考不再永遠(yuǎn)板著面孔。理性思考完全可以做到既抽象純粹，又形象靈動(dòng)！