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最近在平行四邊形的學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)有很多題目需要巧妙地構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行線段地轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到將分散條件集中在一起的目的。這類題相對來講難度很大，我們今天就來探討一些利用構(gòu)造平行四邊形來解決問題的題目。   PART.01 回顧 （1）如圖所示，矩形ABCD中，AD=6，AB=4，E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F、G在線段BC上，FG=2。試找出一點(diǎn)F，使得四邊形AFGE的周長最小，并求出這個(gè)最小值。
（2）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B 之間的距離最短？
當(dāng)初在解決這兩種類型的題目的時(shí)候其實(shí)都運(yùn)用了利用平行四邊形將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法，大家可以參考《將軍飲馬及其推廣》，我們今天來看另外的幾種情況。 PART.02 利用平行四邊形轉(zhuǎn)化線段構(gòu)造將軍飲馬 例題一：如圖,正方形ABCD的邊長為6,E,F是對角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=
分析：此題從形式上和將軍飲馬模型類似，我們考慮將軍飲馬模型是兩定一動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在對稱軸上，所以我們考慮可以將CE平移使得點(diǎn)E和F重合，考慮到CG的方向和大小都不變，此時(shí)就和將軍飲馬一樣（如下圖所示）。
反思：此題中的△CEF周長最小就是CE+CG最小，我們就可以通過轉(zhuǎn)化就可以將這個(gè)問題變成簡單的兩定一動(dòng)將軍飲馬問題。  PART.03 利用平行四邊形轉(zhuǎn)化線段構(gòu)造全等三角形 例題二：如圖，在△ABC中，∠C＝90°,點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC,點(diǎn)N在AC上，且AN＝MC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求證：∠BPM＝45°.
分析：題目中存在兩組線段相等，依據(jù)做題的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該是構(gòu)造全等來處理，由于四條線段不在兩個(gè)三角形中，所以我們可以通過線段的轉(zhuǎn)化來構(gòu)造三角形的全等?？紤]到MC、AC在△AMC中，所以只需要將AN移到BM處或者將BM移到AN處構(gòu)造一個(gè)三角形和△AMC全等就行了。我們以將AN移到BM處為例，可以有以下兩種解決方式，解答如下。
反思：學(xué)生可能對第二幅圖更熟悉，是標(biāo)準(zhǔn)的一線三等角，我們還可以用同樣的方式構(gòu)造平行四邊形將線段BM移到AN的位置求解，如下圖所示兩種方案。
PART.04 利用平行四邊形轉(zhuǎn)化線段構(gòu)造特殊圖形 例題三：如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
分析：這個(gè)題目給出了幾個(gè)平方，就是暗示我們要超勾股定理的角度來思考，問題在于我們?nèi)绾螌⒆兞烤€段BD、BF的平方進(jìn)行準(zhǔn)確的表述，由此我們考慮過點(diǎn)B作DE的平行線，從而構(gòu)造?BDEM和?BCFM，利用平行四邊形將線段BD、BF都放入直角三角形中來求解。
反思：此題的解答相對來講比較復(fù)雜，這個(gè)平行四邊形的出現(xiàn)也難以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)我們也可以充分利用矩形中的直角來解決，如下圖所示，大家可以試著做做看。
PART.05 練習(xí) 利用平行四邊形來進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化的題目還有很多，下面我們給出幾道和例題類似的題目，有興趣的朋友可以試一試。 1.如圖,在菱形ABCD中,BC=5,AC=8,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在OB上,點(diǎn)Q在OD上,且BP=OQ,則△APQ的周長的最小值是___________.
2.如圖,正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)G,H分別是邊CD,AB上的動(dòng)點(diǎn),連接GH交AE于F,且使GH⊥AE,連接AG,EH,則EH+AG的最小值是______.
3．如圖，在等腰△ABC中， AB＝AC,延長邊AB到點(diǎn)D,延長CA到點(diǎn)E,連接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度數(shù)．
4.如圖,AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,則線段AB,AC,BD之間的等量關(guān)系式是_________________.
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