圖的?？臻g是數(shù)學(xué)中一個(gè)迷人的主題，與各種領(lǐng)域有聯(lián)系，包括拓?fù)?、代?shù)幾何和數(shù)學(xué)物理。特別是，它與代數(shù)曲線理論密切相關(guān)，代數(shù)曲線是可以用雙變量方程描述的幾何對象。曲線的模空間是代數(shù)幾何中的一個(gè)重要課題，圖的?？臻g與曲線的模空間之間有著深刻的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)中的圖就是點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)被稱為頂點(diǎn)（vertices），它們被邊（edges）連接起來。圖的模空間是描述具有固定數(shù)量頂點(diǎn)和邊的所有可能的圖的空間。換句話說，它是一個(gè)包含給定類型的所有圖的空間，空間中的每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)不同的圖。

圖的?？臻g具有豐富而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，有許多有趣的性質(zhì)尚未被完全理解。?？臻g最重要的方面之一是它的維數(shù)或秩（rank），它描述了完全確定一個(gè)圖所需的參數(shù)的數(shù)量。例如，有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的圖的?？臻g的秩為2m - 3n + 5。這個(gè)公式被稱為赫維茨-康采維奇公式（Hurwitz-Kontsevich formula）。

圖的模空間的另一個(gè)重要性質(zhì)是它的拓?fù)?。模空間可以看作是一個(gè)幾何對象，空間上不同的點(diǎn)對應(yīng)不同的圖形。該領(lǐng)域的關(guān)鍵問題之一是了解空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以及它如何隨著頂點(diǎn)和邊的數(shù)量的變化而變化。

圖的?？臻g領(lǐng)域的最新進(jìn)展來自于量子場論技術(shù)的應(yīng)用。上個(gè)月，凱倫·沃格特曼（Karen Vogtmann）和邁克爾·伯林斯基（Michael Borinsky）發(fā)布了一個(gè)證明，證明了圖的?？臻g有大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。兩人用物理學(xué)的語言（量子場論）重新構(gòu)想了這個(gè)問題，使用量子場論的技術(shù)得出了他們的結(jié)果，證明證明了模空間中存在某些結(jié)構(gòu)，但沒有明確地揭示這些結(jié)構(gòu)是什么。這意味著，有一些有趣的東西隱藏著，即使他們不能完全描述它。

• 左：邁克爾·伯林斯基；右：凱倫·沃格特曼

對于圖的每一個(gè)秩，都存在一個(gè)?？臻g。這個(gè)空間的大小增長很快：如果固定圖中邊的長度，具有一定秩的圖的數(shù)量（圖中環(huán)的數(shù)量）會隨著秩的增加而快速增長。具體來說，如果秩是2，就只有3個(gè)可能的圖。如果秩是3，有15個(gè)可能的圖。如果秩是4，有111個(gè)可能的圖。如果秩是10，有2,314,204,852個(gè)可能的圖。

• 這些是與?？臻g相關(guān)的圖的例子。每個(gè)圖的秩是由循環(huán)的數(shù)量給出的。數(shù)學(xué)家還根據(jù)頂點(diǎn)的數(shù)量對圖進(jìn)行分類。隨著秩的增長，具有該秩的可能圖的數(shù)量迅速增長。

給定秩的圖的?？臻g的形狀由圖之間的關(guān)系決定。當(dāng)你在空間中走動時(shí)，附近的圖形應(yīng)該是相似的，并且應(yīng)該平滑地相互轉(zhuǎn)換。在某些情況下，可能存在?？臻g的三個(gè)不同的墻壁相互交叉的區(qū)域，這在數(shù)學(xué)上可能令人不安。這種現(xiàn)象類似于化學(xué)中的三相點(diǎn)，即物質(zhì)的三個(gè)相（如固體、液體和氣體）可以在平衡狀態(tài)下共存。在圖的?？臻g中，空間墻之間的三重交點(diǎn)可以表示不同圖之間有趣的關(guān)系。

數(shù)學(xué)家可以使用稱為上同調(diào)（cohomology classes）的對象來研究空間或形狀的結(jié)構(gòu)，這有助于揭示空間是如何組合在一起的。例如，考慮數(shù)學(xué)家最喜歡的形狀之一，甜甜圈。在甜甜圈上，上同調(diào)類是簡單的環(huán)。

人們可以在甜甜圈的表面畫出幾種不同的環(huán)：環(huán)1圍繞著甜甜圈的中心孔（洞）；環(huán)2穿過孔；第三個(gè)（平凡環(huán)）位于甜甜圈的一側(cè)。

在數(shù)學(xué)中，上同調(diào)是理解空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的強(qiáng)大工具，包括分析它們的幾何性質(zhì)，如它們?nèi)绾芜B接或它們有多少孔。上同調(diào)類用于精確而系統(tǒng)地測量和描述這些性質(zhì)。

特別是上同調(diào)類可以幫助揭示一個(gè)空間是如何組合在一起的，以及當(dāng)你在它周圍移動時(shí)它是如何變化的。它們可以用來區(qū)分不同的形狀或空間，這些形狀或空間可能看起來相似，但具有不同的拓?fù)湫再|(zhì)。例如，球面和環(huán)面的上同調(diào)類是不同的，盡管它們看起來都是圓形的三維物體。

在圖的?？臻g的背景下，上同調(diào)類可以用來研究圖與?？臻g本身的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。它們可以幫助揭示?？臻g是如何組合在一起的，包括任何不尋常或令人驚訝的特征，例如?？臻g的多個(gè)墻相交的區(qū)域。通過使用上同調(diào)來更好地理解圖的?？臻g，數(shù)學(xué)家可以對圖本身的性質(zhì)及其在數(shù)學(xué)和科學(xué)研究中的作用有新的見解。

然而，并非所有上同調(diào)類都是等價(jià)的。甜甜圈上的平凡環(huán)（Trivial loop）可以一直滑動或縮小，以避免與另一個(gè)圓環(huán)相交。但環(huán)1和2更多地說明了甜甜圈的結(jié)構(gòu)。環(huán)1和2可以在甜甜圈的表面上滑動，但除非你強(qiáng)迫它們完全脫離表面，否則它們總是會彼此相交。所以它們是“非平凡的”上同調(diào)類。

與甜甜圈不同的是，數(shù)學(xué)家不能僅僅通過畫圖就找到圖的?？臻g上的上同調(diào)類。由于圖形太多，?？臻g很難處理，即使最強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)也無能為力。

沃格特曼和伯林斯基證明了在給定秩的圖的?？臻g中存在大量的上同調(diào)類，盡管找不到它們。他們沒有直接研究上同調(diào)類，而是研究了一個(gè)叫做歐拉示性數(shù)的數(shù)（Euler characteristic）。這個(gè)數(shù)提供了?？臻g的一種測量方法。你可以在不改變它的歐拉示性數(shù)的情況下，以某種方式修改?？臻g，使得歐拉示性數(shù)比上同類本身更容易獲得。他們沒有直接處理圖的?？臻g，而是研究了一種稱為“脊柱（spine）”的東西——本質(zhì)上是整個(gè)空間的骨架。脊柱與模空間本身具有相同的歐拉特征，更容易處理。計(jì)算脊柱上的歐拉示性數(shù)可以歸結(jié)為計(jì)算大量對圖的集合。

歐拉示性數(shù)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，通過從頂點(diǎn)和邊的數(shù)量中減去表面上的孔的數(shù)量來計(jì)算給定的表面或空間。歐拉在18世紀(jì)首次發(fā)現(xiàn)了它的性質(zhì)。歐拉示性數(shù)在數(shù)學(xué)的許多分支中都很重要，包括幾何、拓?fù)浜痛鷶?shù)拓?fù)?，在物理學(xué)和工程中也有應(yīng)用。它提供了一種簡單的方法來比較不同的表面和空間，并區(qū)分它們。例如，球體的歐拉示性數(shù)為2，而環(huán)面的歐拉示性數(shù)為0。

伯林斯基想到了用費(fèi)曼圖來理解圖的?？臻g。費(fèi)曼圖是理論物理學(xué)中用來表示亞原子粒子行為及其相互作用的可視化工具。20世紀(jì)40年代，物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼首次提出了量子粒子，作為簡化量子場論中復(fù)雜計(jì)算的一種方法。比如，當(dāng)物理學(xué)家想要計(jì)算一個(gè)電子和一個(gè)正電子碰撞產(chǎn)生兩個(gè)光子的幾率時(shí)，他們需要把所有可能導(dǎo)致這種結(jié)果的相互作用加起來。

伯林斯基把這些圖想象成宇宙的一個(gè)簡單版本中的物理系統(tǒng)，在這個(gè)宇宙中，只有一種類型的粒子。為了得到正確的計(jì)數(shù)，量子場論框架需要一些調(diào)整。在物理學(xué)家Jos Vermaseren的幫助下，他們最終證明了當(dāng)n變大時(shí)，秩為n的圖的模空間的歐拉示性數(shù)顯著地為負(fù)。這意味著在每個(gè)?？臻g中有很多很多非平凡上同調(diào)類有待被發(fā)現(xiàn)。

雖然伯林斯基的論文中沒有包含關(guān)于這些上同調(diào)類的進(jìn)一步揭示，但對于那些試圖尋找它們的研究人員來說，這是一個(gè)令人鼓舞的結(jié)果。