專題12 一元二次方程

【思維導(dǎo)圖】

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程定義及一般形式

概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式： 。其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

【注意】

1）只含有一個(gè)未知數(shù)；

2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3）整式方程。

知識(shí)點(diǎn)二：解一元二次方程（重點(diǎn)）

方法一：配方法（最基礎(chǔ)的解法）

配方的過程需注意：若方程二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，“方程兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”

用配方法解一元二次方程的一般步驟

? 移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

? 二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

? 配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；

【注意】：1）當(dāng)時(shí)，方程無解

   2）若方程二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，“方程兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”

? 求解：判斷右邊等式符號(hào)，開平方并求解。

方法二：直接開平方法（最基礎(chǔ)的解法）

概念：形如的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得或者，最后通過解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解。

【注意】

1)若b0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

 （若b0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）

2)若b<0，方程無解。

方法三：公式法（常用解法）

一元二次方程 根的判別式：

n 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:（）的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)

n 方程有兩個(gè)相等的實(shí)根的圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)

n 方程無實(shí)根的圖像與軸沒有交點(diǎn)

用公式法解一元二次方程的一般步驟：

? 把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算);

? 求出b²-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解;

? 如果b²-4ac≥0, 將a、b、c的值代入求根公式：

? 最后求出x₁，x₂

方法四：因式分解法（仔細(xì)觀察方程，靈活使用）

用因式分解一元二次方程的一般步驟：

? 將方程右邊得各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；

? 將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；

? 令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

? 求解

歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解

方法五：韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）

我們將一元二次方程化成一般式ax²+bx+c＝0（a）之后，設(shè)它的兩個(gè)根是和，則和與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：

+＝； ＝

知識(shí)點(diǎn)4： 一元二次方程的應(yīng)用

列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似：

? “審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；

? “設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；

? “列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。

? “解”就是求出說列方程的解；

? “答”就是書寫答案，檢驗(yàn)得出的方程解，舍去不符合實(shí)際意義的方程。

注意：一元二次方程考點(diǎn)：定義的考察；解方程及一元二次方程的應(yīng)用。

【考查題型】

考查題型一 根據(jù)一元二次方程的定義求參數(shù)

【解題思路】理解一元二次方程的概念

典例1．（吉林中考模擬）若關(guān)于x的方程  是一元二次方程，則m的取值范圍是（）

A．.   B．.   C．    D．.

【答案】A

【詳解】

由題意得：m﹣1≠0，

解得：m≠1，

故選：A．

變式1-1．（四川中考模擬）若是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值是（   ）

A．0   B．2   C．-2  D．±2

【答案】C

【詳解】

由題意得： ，解得：a=-2.故選C.

變式1-2．（重慶中考模擬）若方程是一元二次方程，則m的值為（  ）

A．0   B．±1    C．1   D．–1

【答案】D

【詳解】

因?yàn)榉匠?/span>是一元二次方程,

所以,,

解得且

所以,

故選D.

變式1-3．（汕頭市潮南區(qū)陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x²+5x+m²﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m等于（　?。?/span>

A．1   B．2   C．1或2  D．0

【答案】B

【詳解】

根據(jù)一元二次方程的相關(guān)概念可知，m-10，，解得：m=2.

故選：B.

考查題型二 解一元二次方程

【解題思路】解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)選取不同的解法是解題關(guān)鍵.

典例2．（安徽中考真題）解方程：

【答案】x=-1或x=3

【提示】

本題利用直接開平方法即可求出答案.

【詳解】

解：x-1=±2，

 x-1= 2或x-1=-2，

解得：x=-1或x=3.

變式2-2．（浙江杭州市·八年級(jí)其他模擬）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/span>

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【提示】

（1）利用直接開平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．

【詳解】

解：（1）移項(xiàng)得：x²=9，
開方得：x=±3，
即方程的解是：x₁=3，x₂=-3；

（2）∵x²-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
則x-3=0或x+1=0，
解得；

變式2-3．（浙江杭州市模擬）解方程：

（1）

（2）

（3）

【答案】（1），；（2），；（3）．

【提示】

（1）利用因式分解法解方程即可，

（2）利用直接開平方法解方程即可，

（3）利用求根公式解方程即可．

【詳解】

（1），

，

，

或，

，；

（2），

，

或，

，；

（3），

，

，

，

．

變式2-4．（浙江杭州市模擬）解方程：

（1）

（2）．

【答案】（1），；（2）．

【提示】

（1）兩邊開方，即可得到兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先把3寫成，再方程轉(zhuǎn)化為，最后運(yùn)用直接開平方法求解即可．

【詳解】

解：（1）

∴，，

解得：，；

（2）

解得，．

變式2-5．（民勤縣一模）解方程：

（1）x²﹣x=0

（2）x²﹣4x﹣7=0

（3）（x-3）²+2x（x-3）＝0

（4）

【答案】(1)x₁=0，x₂=1；（2）；(3)x₁=3，x₂=1；(4)，

【提示】

(1)直接提公因式x后再使用因式分解法即可求解；

(2)直接使用公式法求解即可；

(3)提公因式(x-3)后再使用因式分解即可求解；

(4)直接使用開平方法求解即可．

【詳解】

解：(1)直接提公因式x后得到：x(x-1)=0，

解得：x₁=0，x₂=1，

故答案為：x₁=0，x₂=1；

(2)直接使用公式法：a=1，b=-4，c=-7，

故 ，

∴，

故答案為：；

(3)直接提公因式(x-3)后得到：(x-3)(x-3+2x)=0，

即：(x-3)(3x-3)=0，

解得x₁=3，x₂=1；

故答案為：x₁=3，x₂=1；

(4)方程兩邊直接開平方得：或，

解得：，，

故答案為：，．

變式2-6．（上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）解方程：

【答案】，

【提示】

先設(shè)：得到解出y的值，再求解x的值并把結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到答案；

【詳解】

解：設(shè)：  ，

原方程化為：，

運(yùn)用十字相乘法得到：，

解得，

當(dāng)時(shí)，解得，

當(dāng)時(shí)，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，和原方程的分母均不為0，

故原方程的解為：或；

變式2-7．（葫蘆島市模擬）解方程：

【答案】x＝－1.

【提示】

設(shè)，用完全平方公式將方程化為關(guān)于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即為的值，進(jìn)而求出x的值，將x的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得到原分式方程的解．

【詳解】

解：設(shè)，則，

原方程化成，

解這個(gè)方程，得，，

當(dāng)y＝1時(shí)，=1，即．由知，此方程無實(shí)根，

當(dāng)y＝－2時(shí)，，即，

解得

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－1是原分式方程的解.

原方程的解為x＝－1.

考查題型三 根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況

【解題思路】考查一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實(shí)數(shù)根．

典例3．（新疆中考真題）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（   ）

A．   B．x²+2x+4=0    C．x²-x+2=0   D．x²-2x=0

【答案】D

【提示】逐一提示四個(gè)選項(xiàng)中方程的根的判別式的符號(hào)，由此即可得出結(jié)論．

【詳解】A.此方程判別式  ，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意;

B.此方程判別式  方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意;

C.此方程判別式  ，方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意;

D .此方程判別式  ，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意;

故答案為： D.

變式3-1．（遼寧沈陽(yáng)市·中考真題）一元二次方程的根的情況是（  ）

A．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根  B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．無實(shí)數(shù)根  D．無法確定

【答案】B

【提示】求出其根的判別式，然后根據(jù)根的判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．

【詳解】∵，，，
∴，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．

變式3-2．（廣東廣州市·中考真題）直線不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（  ）.

A．0個(gè)  B．1個(gè)  C．2個(gè)  D．1個(gè)或2個(gè)

【答案】D

【提示】根據(jù)直線不經(jīng)過第二象限，得到，再分兩種情況判斷方程的解的情況.

【詳解】∵直線不經(jīng)過第二象限，

∴，

∵方程，

當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程，故有一個(gè)解，

當(dāng)a<0時(shí)，方程為一元二次方程，

∵?=，

∴4-4a>0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：D.

變式3-3．（江蘇南京市·中考真題）關(guān)于x的方程（為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（    ）

A．兩個(gè)正根    B．兩個(gè)負(fù)根

C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根  D．無實(shí)數(shù)根

【答案】C

【提示】先將方程整理為一般形式，再根據(jù)根的判別式得出方程由兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，然后又根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)即可．

【詳解】解：，

整理得：，

∴，

∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)方程兩個(gè)根為、，

∵，

∴兩個(gè)異號(hào)，而且負(fù)根的絕對(duì)值大．

故選：C．

考查題型四 根據(jù)根的判別式求參數(shù)

【解題思路】一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．

典例4．（貴州銅仁市·中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于(　　)

A．7   B．7或6   C．6或﹣7   D．6

【答案】B

【提示】當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m=n時(shí)，即△=(﹣6)²﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到結(jié)論．

【詳解】

當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，

∴方程為4²﹣6×4+k+2=0，

解得：k=6；

當(dāng)m=n時(shí)，﹣6+k+2=0

∵，，，

∴，

解得：，

綜上所述，k的值等于6或7，

故選：B．

變式4-1．（四川雅安市·中考真題）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是（    ）

A．  B．且    C．且    D．

【答案】C

【提示】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程kx²-3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，知△=（-3）²-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．

【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx²-3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=（-3）²-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故選：C．

變式4-2．（湖北省直轄縣級(jí)行政單位·中考真題）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（   ）

A．   B．   C．或1   D．或4

【答案】A

【提示】通過根與系數(shù)之間的關(guān)系得到，，由可求出m的值，通過方程有實(shí)數(shù)根可得到，從而得到m的取值范圍，確定m的值．

【詳解】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，

∴，

，

∵，

∴，

整理得，，

解得，，，

若使有實(shí)數(shù)根，則，

解得，，

所以，

故選：A．

變式4-3．（四川攀枝花市·中考真題）若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則的值可以為（  ）．

A．   B．    C．0   D．1

【答案】A

【提示】根據(jù)關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，判斷出△＜0，求出m的取值范圍，再找出符合條件的m的值．

【詳解】解：∵關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，

∴△=＜0，

解得：，

故選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)滿足，

故選A

考查題型五 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【解題思路】元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-，x₁·x₂=

典例5．（湖南邵陽(yáng)市·中考真題）設(shè)方程的兩根分別是，則的值為（    ）

A．3   B．    C．    D．

【答案】A

【提示】本題可利用韋達(dá)定理，求出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)以及一次項(xiàng)系數(shù)的值，代入公式求解即可．

【詳解】

由可知，其二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，

由韋達(dá)定理：，

故選：A．

變式5-1．（貴州遵義市·中考真題）已知，是方程的兩根，則的值為（    ）

A．5   B．10  C．11  D．13

【答案】D

【提示】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，即可求解．

【詳解】解：

故選：D．

變式5-2．（貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x²+5x﹣m＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是（　　）

A．﹣7  B．7   C．3   D．﹣3

【答案】A

【提示】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)根為x，則

x+2＝﹣5，

解得x＝﹣7．

故選：A．

變式5-3．（湖北鄂州市·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，則m的值為（    ）

A．    B．  C．    D．0

【答案】A

【提示】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=4，代入代數(shù)式計(jì)算即可．

【詳解】解：∵x₁+x₂=4，
∴x₁+3x₂=x₁+x₂+2x₂=4+2x₂=5，
∴x₂=，
把x₂=代入x²-4x+m=0得：（）²-4×+m=0，
解得：m=，
故選A．

變式5-3．（廣西玉林市·中考真題）若一元二次方程的兩根為，，則的值是（    ）

A．4   B．2   C．1   D．﹣2

【答案】A

【提示】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得，，

所以．

故選A．

考查題型六 利用一元二次方程求解實(shí)際問題

典例6．（廣西河池市·中考真題）某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是（　　）

A．6   B．7   C．8   D．9

【答案】D

【提示】根據(jù)球賽問題模型列出方程即可求解．

【詳解】解：設(shè)參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)為x隊(duì)，根據(jù)題意得：

x（x﹣1）＝36，

化簡(jiǎn)，得x²﹣x﹣72＝0，

解得x₁＝9，x₂＝﹣8（舍去），

答：參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是9隊(duì)．

故選：D．

變式6-1．（湖北鄂州市·中考真題）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶．設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，則值為（    ）

A．  B．   C．  D．

【答案】C

【提示】

先用含x的代數(shù)式表示出2020年底、2021年底用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底這三年的用戶數(shù)量之和=8.72萬戶即得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．

【詳解】

解：設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得：

，

解這個(gè)方程，得：，（不合題意，舍去）．

∴x的值為40%．

故選：C．

變式6-2．（湖南衡陽(yáng)市·中考真題）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（    ）

A．    B．

C．   D．

【答案】C

【提示】

把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植的面積為600列出方程即可．

【詳解】

解：如圖，設(shè)小道的寬為，

則種植部分的長(zhǎng)為，寬為

由題意得：．

故選C．

變式6-3．（四川省模擬）某電商銷售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用5元．為盡快回籠資金，該電商計(jì)劃開展降價(jià)促銷活動(dòng)．通過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝售價(jià)每降價(jià)1元，每天銷量增加4件．若該電商每天扣除平臺(tái)推廣費(fèi)之后的利潤(rùn)要達(dá)到4500元，則適合的售價(jià)應(yīng)定于（    ）

A．70元   B．80元   C．70元或90元   D．90元

【答案】A

【提示】

設(shè)降價(jià)元后利潤(rùn)達(dá)到4500元．則每天可售出件，每件盈利元．再根據(jù)相等關(guān)系：每天的獲利每天售出的件數(shù)每件的盈利；列方程求解即可．

【詳解】

解：設(shè)降價(jià)元后利潤(rùn)達(dá)到4500元，

由題意得：

解得：，，

∵為盡快回籠資金

∴，

∴售價(jià)應(yīng)定為元

故選：A

變式6-4．（山東德州市模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以的速度移動(dòng)，當(dāng)的面積等于時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間是（   ）

A．或    B．  C．  D．

【答案】B

【提示】

本題已知了 、 的速度，設(shè)秒后，的面積等于，根據(jù)路程 =速度時(shí)間，可用時(shí)間 表示出 和的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形的面積公式，得出方程，求出未知數(shù)，然后看看解是否符合題意，將不合題意的舍去即可得出時(shí)間的值．

【詳解】

解：設(shè)秒后，的面積等于，

依題意得：，

∴，

∴，，

當(dāng)時(shí)，，即不合題意，舍去．

所以10秒后，的面積等于．

故選B．