從一個簡單的方程說起，

顯然，這個方程（至少）有一個解。因為，令 f（x）= x^5-x-13，有f（1）=-13，f（2）=17。所以，在1和2之間必有一個x使f（x）=0。

這是純粹存在論證的一個例子，這種論證告訴你有什么東西存在（在此例中，是一個方程的解），但是沒有說怎樣去求它。如果方程是x^2-x-13=0，就可以用一種全然不同的論證。二次方程求根的公式告訴我們，恰好有兩個解，它甚至告訴我們解是什么它們是

但是對于五次方程就沒有類似的公式。

這兩種論證表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本的兩分法。如果要證明一個數(shù)學(xué)對象的存在，有時可以顯式地證明，就是實實在在地描述那個對象；也可以間接地去證明，就是證明如果它不存在就會引起矛盾。

介于其間還有種種可能性，形成一個譜。如所說明過的，上一個論證只是說明，在1與2之間，方程x^5-x-13=0有一個解，但它也建議了一種方法來計算這個解，精確到如你所需。例如，如果需要精確到兩位小數(shù)，可以取一串?dāng)?shù)∶1，1.01，1.02，…，1.99，2，然后在每一點估算f的值。就會發(fā)現(xiàn)，f（1.71）近似為 -0.0889，而 f（1.72）近似為0.3337，所以其間必有一個解（計算表明，此解更靠近1.71）。事實上還有更好的方法，例如牛頓方法去逼近一個解。對于許多目的，一個漂亮的解的公式不如計算或逼近這個解的方法更重要。而如果有了一個方法，它是否有用，還要看它運行快不快。

這樣，在譜的一端有簡單的定義一個熟悉對象的公式，它還可以容易地用來求出這個對象，而在譜的另一端，則有能夠確立對象的存在性但不給出進(jìn)一步的信息的證明，介乎其間的還有能夠用以找出對象的算法，這些算法執(zhí)行起來越快，其用處就越大。

和關(guān)于嚴(yán)格性的問題一樣，如果一切其他條件都相同，則嚴(yán)格的論證優(yōu)于不嚴(yán)格的論證?，F(xiàn)在，（在直接和間接論證的問題上，也是）即使已經(jīng)知道有間接存在證明，找到一個顯式的有算法的論證仍然是值得的，其理由也是類似的∶尋求顯式論證所花的力氣時常導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)洞察（不那么明顯的是∶尋找間接論證的努力，有時也會帶來新的洞察）。

純粹存在證明的最著名的例子之一是關(guān)于超越數(shù)的。超越數(shù)就是那些不可能是任意整數(shù)系數(shù)的多項式方程的根的實數(shù)。有這種數(shù)存在的第一個證明是劉維爾在1844年給出的。他證明了有一個條件足以保證一個數(shù)是超越的，而且證明了構(gòu)造出滿足這種條件的數(shù)也是容易的。 后來，各種重要的數(shù)如e，π都被證明是超越數(shù)，但是這些證明都很難。甚至到了現(xiàn)在，仍有許多數(shù)幾乎肯定是超越數(shù)，但是就是證明不出來。

以上所說的證明全都是直接顯式的。然后，到了1873年康托利用了他的可數(shù)性理論給出了超越數(shù)存在的完全不同的證明。他證明了代數(shù)數(shù)成一可數(shù)集合，而實數(shù)構(gòu)成一個不可數(shù)集合。因為可數(shù)集合遠(yuǎn)小于不可數(shù)集合，這表明幾乎每一個實數(shù)（雖然不一定是幾乎每一個你真正見到的實數(shù)）都是超越數(shù)。

就這個例子而言，兩種論證的每一種都告訴了我們另一種論證所沒有告訴我們的事?？低械淖C明告訴了我們確有超越數(shù)存在，但卻一個例子也沒有給我們。

嚴(yán)格說來，這也不是真的∶可以指定一種方法把代數(shù)數(shù)排成一個單子，然后對這個單子應(yīng)用康托著名的對角線論證法，就可以找到一個超越數(shù)，然而這樣找出來的超越數(shù)基本上沒有任何含義。

劉維爾的證明在一個方面要好得多，因為它給了我們一個方法，用直截了當(dāng)?shù)亩x來構(gòu)造出幾個超越數(shù)。然而，如果只知道劉維爾的那種直接論證以及e，π為超越數(shù)的證明，就可能得到一個印象，即超越數(shù)是一種很特殊的數(shù)。 有一種洞察在這些論證里完全見不到，但在康托的證明里面出現(xiàn)了，即典型的實數(shù)是超越數(shù)。

在 20世紀(jì)的大部分時間里，高度抽象的間接證明大行其道，但是在最近的年代，特別是因為有計算機(jī)的發(fā)明，態(tài)度起了變化。近來，得到更多注意的是∶一個證明是否為顯式的，如果是，又是否能導(dǎo)出有效率的算法。

無需說明，算法本身就是有趣的，這還不盡是由于它們給予數(shù)學(xué)證明的視角。 我們簡短地描述一個特別有趣的算法，它給出了一種計算高維凸體體積的方法。

一個圖形

稱為凸體，是指在K內(nèi)任取兩點z與y，則連接x與g的直線段全在K內(nèi)。例如，正方形和三角形都是凸的，而五角星就不是。這個概念可以直接推廣到 n 維情況，n 是任意正整數(shù)。面積和體積的概念也能這樣推廣。

現(xiàn)在設(shè)在以下意義上指定了一個 n 維的凸體K，即設(shè)有了一個運行很快的計算機(jī)程序，它能告訴我們每一個點（x_1，…，x_n）是否屬于K。怎樣來估計K的體積呢？對于像這樣的問題，最有力的方法之一是統(tǒng)計方法∶隨機(jī)地取一點，看它是否屬于K，把對K的體積的估計建立在這個點落入K中的頻度上。例如，想估計π，就取一個半徑為1的圓，把它放在一個邊長為2的正方形里面，然后從這個正方形里隨機(jī)地取許多點。每一個點屬于此圓的概率都是π/4，所以把落入圓內(nèi)的點占點的總數(shù)的比乘以4，就得到π的估計。

這個途徑對于很低的維數(shù)是很容易起作用的，但是當(dāng)維數(shù)很高時，卻會遇到很大的困難。例如設(shè)我們想用這個方法估計n維球的體積。把這個球放在一個 n 維立方體里面，也去看這個點落入球內(nèi)的頻度。然而，n維球的體積占n維立方體體積的比卻是指數(shù)的小，這就是說，在球內(nèi)找到一個點前，先要投的點的數(shù)目是指數(shù)的大。所以這個方法變得不切實用。

然而，因為還有一個計策可以繞過這個困難?？梢远x一個凸體的序列K_0，K_1，…，K_m，使每一個凸體都包含于下一個凸體內(nèi)，而從想要計算其體積的凸體開始（即想計算Ko的體積），而終于一個立方體（即K_m是一個立方體），并且使得K_i的體積至少是K+1的體積的一半。于是對每一個i，都要估計一下K_(i-1)與K_i的體積之比。這些比的乘積就是K_0與K_m的體積比。但是K_m（立方體）的體積是知道的，所以就得到 K_0的體積。

怎樣來估計K_(i-1)與K_i的體積之比呢？只需簡單地隨機(jī)取K_i的點，并且看有多少落入 K_(I-1)中。然而就是在這里，問題的微妙之處出現(xiàn)了∶怎樣從知之不多的凸體里隨機(jī)取點呢？在n維立方體里隨機(jī)取點是容易的，只需要獨立地選取n個隨機(jī)數(shù)x_1，…，x_n，而每一個x_i都在 -1和 +1 之間。但是對于一個凸體這就非常不容易了。

有一個奇妙的聰明辦法來回避這個問題。這就是小心地設(shè)計一個隨機(jī)游動，從凸體內(nèi)的一點開始，而在每一步，移動到的點可以從幾個不多的可能性中隨機(jī)選擇。 隨著隨機(jī)的游動步數(shù)越多，對于這點所到達(dá)的地方所知就越少。如果這個游動是適當(dāng)定義的，可以證明，在不多幾步以后，點的位置就是純粹隨機(jī)的了。然而，證明完非常難。