為了理解一個數(shù)學(xué)概念，例如群或流形，人們典型地要經(jīng)歷不同的階段。很明顯，從熟悉這個結(jié)構(gòu)的幾個代表性的例子開始，然后了解由老例子建立起新例子。特別重要的是要了解由這個結(jié)構(gòu)的一個例子到另一個例子的同態(tài)，即“保持結(jié)構(gòu)的函數(shù)”。

一旦了解了這些基本之點，還需要了解什么？一個一般理論要想有用，就必須就某些特定的例子告訴我們些什么。例如，拉格朗日定理被用來證明費馬小定理。拉格朗日定理是關(guān)于群的一個一般事實∶若G是一個群，其大小為n，則其任意子群的大小必是n的一個因子。要想得到費馬小定理，就需要把拉格朗日定理用于“G為非零整數(shù)關(guān)于mod p 的乘法所成的群”這個特例。我們得到的結(jié)論（a^p≡a mod p）遠(yuǎn)非顯然的。

然而，如果關(guān)于群G我們想要知道一點對于一般群并不一定為真的什么事情，又該怎么辦呢？就是說，現(xiàn)在我們想要判定，G是否具有一個某些群具有某些群則不具有的性質(zhì)P。既然這個性質(zhì)是不能從群的公理導(dǎo)出的，看來似乎應(yīng)該放棄群的一般理論，而只來看特定的群G。然而，在很多情況下，還有一種介乎其間的可能性∶對于群G，去鑒識它是否具有一個"相當(dāng)一般"的性質(zhì)Q，再看能否從Q導(dǎo)出我們關(guān)心的性質(zhì)P。

下面是這一類方法在不同背景下的一個例子。假設(shè)我們想要確定以下的多項式是否有一個實根∶

方法之一是去研究這個特定的多項式，試著找出它的一個實根來。例如，在花了一番力氣以后，我們可能會發(fā)現(xiàn)p（x）可以因式分解為

第一個因子恒為正，但是用二次方程公式于第二個因子，我們發(fā)現(xiàn)，

另一個方法則要用一點一般理論∶注意到p（1）為負(fù)，而當(dāng)x很大時，p（x）也很大，然后再用中間值定理（若一個連續(xù)函數(shù)有時為正，有時為負(fù)，則必在中間某點為零）就行了。

注意，在第二種方法里，仍然需要某些計算，找出x的一個值，使得p（x）為負(fù)但是它比第一個方法里的計算要簡單得多。在第二種方法里，我們是去證明 p（x）仍然具有一個"相當(dāng)一般"的性質(zhì)，即在某處為負(fù)，然后再用中間值定理結(jié)束論證。

在整個數(shù)學(xué)里這樣的情況很多，在這些情況里，證明某一個一般的性質(zhì)是特別有用的。例如，已經(jīng)知道一個正整數(shù)n是素數(shù)，或者知道某一個群G是阿貝爾群（即對G中任意兩個元g，h均有g(shù)h=hg），或者知道某一個映復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的函數(shù)是全純函數(shù)，然后就能作為這些一般性質(zhì)的推論，關(guān)于這個對象，知道更多的東西。

當(dāng)這些性質(zhì)已經(jīng)確定是重要性質(zhì)時，它們就會給出一大類數(shù)學(xué)問題，其形式如下∶給定一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并選擇一些它可能具有的有趣性質(zhì)，這些性質(zhì)有哪些組合會蘊含其他性質(zhì)？并非所有這些問題都是有意義的，但其中有一些問題是非常自然的，而當(dāng)人們試圖去解決它們時，一開始又時常是極難解決的。這時常是一個信號∶碰上了一個數(shù)學(xué)家稱為“深刻”的問題。下面就看一個這樣的問題。

群G稱為有限生成的，如果G有一個元素的有限集合

使得群的其余的元素都可以寫成它們的乘積。例如

這個群就是一個有限生成的，證明它的所有元素都可以用4個矩陣通過矩陣乘積來生成，

第一步是證明

現(xiàn)在考慮第二個性質(zhì)。若x是群G的一個元，則說x是有限階的，如果存在x的一個冪，恰好等于恒等元。這個最小的冪就稱為 x 的階。例如，在非零整數(shù) mod 7的乘法群中，恒等元就是1，元素 4的階是3，因為

至于3，它的前6個冪是3，2，6，4，5，1，所以它的階是6。有一些群有一個特殊的性質(zhì)，即存在一個正整數(shù)n，使得對于群的一切元素x，x^n都是恒等元，或者用一個等價的說法，即所有元素的階都是n的一個因子。對于這種群，我們能說些什么？

現(xiàn)在先看所有的元素都以2為階的情況。用e表示恒等元，我們的假設(shè)就是，對于每一個元素 a，a^2=e。如果用逆元 a^-1 去乘上式雙方，就得出 a = a^-1。反向也容易證明，所以這種群就是所有元都等于自己的逆元的群G。

現(xiàn)在令 a ，b 是 G 的兩個元。對于任意群的任意兩個元 a，b，總有恒等式

而對于特殊的群G，則還可以由此導(dǎo)出 ab=ba。就是說，G自動地是阿貝爾群。

我們已經(jīng)看到一個一般性質(zhì)∶G的每個元平方以后均得恒等元，蘊含了另一個一般性質(zhì)∶G為阿貝爾群?，F(xiàn)在再加上一個條件∶G為有限生成群，而令

為生成元的最小集合，就是說，群G的每一個元素都可以用最小集合中的元素 構(gòu)造出來，而且這些元素一個也不能少。因為群G是阿貝爾群，而每一個元素又都等于自己的逆元，就可以重新排列這些x_i的次序，把這個元素化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即各個x_i只出現(xiàn)一次，而且依下標(biāo)的次序排列。例如看下面的乘積

因為群G 是阿貝爾群，這個乘積就等于

又因為每個元都等于自己的逆元，所以這個元就等于

這就是標(biāo)準(zhǔn)形式。

這就證明了群G最多只有2^k個元素，這是因為對于每一個x_i都有兩種選擇，即或者包含或者不包含在標(biāo)準(zhǔn)形式中。特別是“群G為有限生成的”以及“群G的每一個非恒等元均等于自己的逆元”，這兩個性質(zhì)就蘊含了第三個性質(zhì)∶群G為有限群。還可以很容易地證明，若兩個元素的標(biāo)準(zhǔn)形式不同，則它們本身自然也不同，所以，群G確實恰好有2^k個元素（這里k是最小生成元組的大?。?。

現(xiàn)在我們要問，如果使得對于一切元x都會有x^n=e的這個冪指數(shù)n>2，會發(fā)生什么？就是說，如果群G是有限生成的，而且對一切元x都有x^n=e，群G是否必為有限群？這是一個難得多的問題，最早是由本塞德提出的。本塞德本人證明了若n=3，則群G必為有限群，但是直到1968年前一直沒有大的進(jìn)展，1968年Adian和Novikov得到了一個值得注意的結(jié)果，即若n≥4381，群G不一定是有限的。當(dāng)然，在3和4381之間還有很大的間隙，在這個間隙上建一座橋的工作進(jìn)展很緩慢。只是到了1992年，才由Ivanov 改進(jìn)到n≥13。想要體會一下本塞德問題有多難，只需看一下以下的情況就明白了∶甚至兩生成元的群，若每個元的五次冪均為恒等元，此群是否有限都還未知。