數(shù)學(xué)里面有許多對(duì)象和結(jié)構(gòu)，我們想對(duì)它們做些什么。 例如，給出了一個(gè)數(shù)，我們會(huì)按照上下文去把它加倍、求平方或者求倒數(shù)；給定了一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，我們可能想去微分它；給定了一個(gè)幾何圖形，我們可能會(huì)想去作變換等等。

如果我們定義了一個(gè)數(shù)學(xué)程序，那么去發(fā)明執(zhí)行這個(gè)程序的技巧就是一個(gè)很顯然的數(shù)學(xué)計(jì)劃。這就會(huì)引出關(guān)于這個(gè)程序的所謂的直接問題。然而，還有一類更深刻的所謂反問題，其形式如下。假設(shè)給出了程序，和執(zhí)行程序所得到的答案，那么能不能搞清楚這個(gè)程序是作用在什么數(shù)學(xué)對(duì)象上的？舉一個(gè)例子會(huì)非常清楚，假如我告訴你，有一個(gè)數(shù)，把它平方，結(jié)果是9。你能不能告訴我這個(gè)數(shù)是什么？很簡單，答案是3或者-3。

如果想更加形式化地討論這個(gè)問題，就會(huì)說，剛才是在研究方程x^2=9，而且發(fā)現(xiàn)它有兩個(gè)解。這樣的例子提出了三個(gè)一般問題：

• 一個(gè)方程是否有解？

• 如果有，是否恰好有一個(gè)解？

• 這些解在什么樣的集合之內(nèi)？

前兩個(gè)問題稱為解的存在與唯一性問題。第三個(gè)問題在方程 x^2=9的情況下沒有太大的意義，但是在更復(fù)雜的情況下，例如對(duì)于偏微分方程，就可能是很重要的問題。

用更抽象的語言來說，設(shè)f是一個(gè)函數(shù)，面前就是這樣一個(gè)命題，其形式是f（x）=y，直接問題就是給定了x求y，反問題則是給定了y求x，這個(gè)反問題就叫做解方程式f（x）=y。關(guān)于求解這種形式的方程式的問題與函數(shù)f的可逆性問題密切相關(guān)。因?yàn)閤和y可能是比數(shù)一般得多的對(duì)象，解方程式的概念本身也就是非常一般的，因此也就是數(shù)學(xué)的中心問題之一。

線性方程

小學(xué)生們最初遇見的方程典型地就是像2x＋3=17這樣的方程。要解這樣簡單的方程，我們把x看成未知數(shù)，而未知數(shù)也得服從算術(shù)通常的法則。利用這些法則，就可以把這個(gè)方程化為簡單得多的方程∶從方程兩邊減去3，就得到2x=14，再用2除這個(gè)新方程的兩邊，就得到x=7。我們實(shí)際上證明了∶如果有某個(gè)數(shù) x，使得 2x＋3=17，那么這個(gè)數(shù)一定就是7。我們還沒有證明的是∶確實(shí)有這樣的數(shù)x。 所以，嚴(yán)格地說，還應(yīng)該有下一步，即驗(yàn)證2×7＋3=17。這里，它顯然是對(duì)的，但是對(duì)更加復(fù)雜的方程，相應(yīng)的論斷就不一定總是對(duì)的，所以最后這一步還是重要的。

方程2x＋3=17稱為線性方程。這是因?yàn)樽饔迷趚上的函數(shù)（乘以2，然后再加3）是一個(gè)線性函數(shù)。正如剛才看到的，只含一個(gè)未知數(shù)的線性方程是容易解的，但是如果要解多于一個(gè)未知數(shù)的方程，情況就要復(fù)雜些了?？紤]含有兩個(gè)未知數(shù)的方程的典型例子，即方程3x＋2y=14。這個(gè)方程有許多解，選定一個(gè)y 以后，就可以令

于是就有了一對(duì)（x，g）滿足這個(gè)方程。要想使問題更難一點(diǎn)，可以再加一個(gè)方程，例如5x＋3y=22，然后試著同時(shí)解出這兩個(gè)方程。 這時(shí)的結(jié)果又是只有一個(gè)（一組）解x=2以及y=4。一般情況下，含兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)線性方程恰好有一組解。如果從幾何來看這個(gè)情況，這是很容易理解的。形如ax＋by=c的方程是xy平面上一條直線的方程。兩條直線正常地交于一個(gè)點(diǎn)，例外情況是這兩條直線相同，這時(shí)它們交于無窮多個(gè)點(diǎn)，或者它們平行，這時(shí)它們根本不相交。

如果有好幾個(gè)含有幾個(gè)未知數(shù)的方程，把它們看成含有一個(gè)未知的東西的一個(gè)方程，在觀念上會(huì)簡單一些。這聽起來完全不可能，但是，如果允許這個(gè)未知的東西是一種更復(fù)雜的對(duì)象，卻是完全可能的。例如3x＋2y=14和5x＋3y=22這兩個(gè)方程可以寫成單個(gè)含有矩陣和向量的方程

如果用A表示上面的矩陣，x表示未知的向量，b表示已知的向量，則這個(gè)方程變?yōu)?strong>Ax=b，它看起來要簡單多了，盡管在事實(shí)上只是把復(fù)雜性隱藏在符號(hào)里面了。

然而這個(gè)過程可不只是“把垃圾掃到地毯下面藏起來”，而是還有更多的東西。一方面，簡單的符號(hào)固然掩蓋了這個(gè)問題的許多特定的細(xì)節(jié)，另一方面卻也把一些本來看不出來的東西揭示出來了：有一個(gè)從R^2到R^2的線性映射，想要知道的是哪一個(gè)向量 x 被映為向量 b（如果有這樣的向量的話）。如果遇到的是一個(gè)特定的聯(lián)立方程組的話，這并有太的區(qū)別，我們需要做的計(jì)算還是一樣的。但是如果希望作一般的推理，那么含有單個(gè)未知向量的矩陣方程就比含有幾個(gè)未知數(shù)的聯(lián)立的方程組要容易考慮得多。這個(gè)現(xiàn)象會(huì)出現(xiàn)在整個(gè)數(shù)學(xué)中，而且是研究高維空間的主要方法。

多項(xiàng)式方程

我們剛才討論了線性方程從一個(gè)未知數(shù)到多個(gè)未知數(shù)的推廣。推廣它們的另一個(gè)方向是把線性方程看成是1次多項(xiàng)式，而考慮更高次數(shù)的函數(shù)。例如在中學(xué)里，我們就學(xué)習(xí)過怎樣解諸如

這樣的二次方程式。更一般的多項(xiàng)式方程形如

解這樣的方程，就是求x的值滿足這個(gè)方程。 這似乎是一件很顯然的事，但是在遇到簡單如

這樣的方程的時(shí)候，就并不如此顯然。這個(gè)方程的解是

那么，什么是根號(hào)2呢？它的定義就是平方以后等于2的正數(shù)。但是說x等于正的或負(fù)的且平方以后為2的數(shù)，似乎還沒有把這個(gè)方程“解”出來。即使說x=1.4142135…也不能完全令人滿意，因?yàn)檫@只是把一個(gè)沒有盡頭的式子寫出了開頭一小段，而且也看不出來這個(gè)式子里有什么可以辨別出來的模式。

從這個(gè)例子可以得到兩個(gè)簡介：

• 其一是，對(duì)于一個(gè)方程，要緊的時(shí)常是解的存在與性質(zhì)，而不是是否能找到解的公式。

雖然當(dāng)我們說

并沒有讓我們學(xué)到什么，但是這個(gè)論斷中確實(shí)包含了一個(gè)事實(shí)∶2有平方根。這一點(diǎn)通常是作為所謂中間值定理的推論而提出的。這個(gè)定理指出，若f是一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，而f（a）和f（b）各在零的一側(cè)，則在 a，b之間的某處，一定有一個(gè)實(shí)數(shù)c使得f（c）=0。這個(gè)結(jié)果可以用于函數(shù)f（x）=x^2-2，因?yàn)閒（1）=-1，而f（2）=2。所以在1，2之間一定有一個(gè)x 使得x^2-2=0。對(duì)于許多目的，知道這個(gè)x的存在，再加上知道定義這個(gè)x的性質(zhì)使它為正且平方以后為2，這就足夠了。

用類似的論證，就知道所有的正實(shí)數(shù)都有正平方根。但是當(dāng)我們?cè)噲D解更加復(fù)雜的二次方程時(shí)，情況就不一樣了。這時(shí)有兩條途徑可供選擇。例如考慮方程

我們會(huì)注意到，當(dāng)x=4時(shí)，它的值是-1，而當(dāng)x=5時(shí)，其值是2，由此從中間值定理就知道，這個(gè)方程在4與5之間有一個(gè)解。但是如果用配方法，

就會(huì)得到兩個(gè)解，這比利用中間值定理得到的信息要更多。我們已經(jīng)證明了根號(hào)2的存在，而且知道其值在1和2之間?，F(xiàn)在不僅是知道了方程x^2-6x＋7=0有一個(gè)解在4和5之間，而且還知道了這個(gè)解與方程x^2=2的解有密切的關(guān)系，甚至可以說，這個(gè)解正是從方程x^2=2的解構(gòu)造出來的。

這就證明了求解方程還有第二個(gè)重要的方面，那就是在許多情況下，解的顯式的可解性是一個(gè)相對(duì)的概念。只要給了方程x^2=2的一個(gè)解，在求解比較復(fù)雜的方程x^2-6x＋7=0時(shí)，就不再需要從中間值定理得到什么新的輸入，需要的就僅僅是一點(diǎn)代數(shù)而已。

但是這個(gè)表達(dá)式里的根號(hào)2 就不是由一個(gè)顯式公式來定義，而是作為一個(gè)實(shí)數(shù)而定義的。這個(gè)實(shí)數(shù)有一些性質(zhì)，而我們可以證明其存在。

解更高次的多項(xiàng)式方程比解二次方程要難得多，而且由此產(chǎn)生了許多吸引人的問題。特別是，求解三次或四次方程有復(fù)雜的公式，但是幾百年來求解五次以及更高次的方程就一直是一個(gè)未解決的著名問題，直到19世紀(jì)，阿貝爾和伽羅瓦才證明了顯式解的公式是找不到的。

多變?cè)亩囗?xiàng)式方程

設(shè)有這樣的方程

我們可以看出來它有許多解∶如果固定x和y，就得到一個(gè)z的三次多項(xiàng)式方程，所有的三次多項(xiàng)式方程都有（至少一個(gè)）實(shí)解，所以對(duì)于每一個(gè)固定的x和y，都有某個(gè) z 使得三元組（x，y，z）成為這個(gè)方程的解。

因?yàn)槿畏匠探獾墓绞謴?fù)雜，準(zhǔn)確地描述所有這些三元組（x，y，z）的集合就沒有什么意義。但是，若把解的這個(gè)集合看成一個(gè)幾何對(duì)象，即空間里的一個(gè)2維曲面，并且考慮一些關(guān)于它的定性的問題，就可以從中學(xué)到不少東西。例如我們可能希望了解其大體的性質(zhì)如何，用拓?fù)鋵W(xué)的語言，可以把這些問題說清楚。

當(dāng)然還可以進(jìn)一步推廣來考慮幾個(gè)多項(xiàng)式方程的同時(shí)求解。理解這些方程組的解集合屬于代數(shù)幾何的領(lǐng)域。

丟番圖方程

一個(gè)特定的方程是否有解，需視允許在何處求解而異。如果只允許x為實(shí)數(shù)，則方程x^x＋3=0就沒有解，但是在復(fù)數(shù)里，它就有兩個(gè)解。 方程x^2＋y^2=11有無窮多個(gè)解，但是如果求x和y都是整數(shù)，這個(gè)方程就沒有解。

上面的例子是典型的丟番圖方程，凡見到這個(gè)名詞就表示要求它的整數(shù)解。最著名的丟番圖方程就是費(fèi)馬方程

感謝懷爾斯的工作，現(xiàn)在已經(jīng)知道當(dāng)n大于2時(shí)，它沒有正整數(shù)解，與此形成對(duì)照，方程x^2＋y^2=z^2卻有無窮多個(gè)整數(shù)解?，F(xiàn)代的代數(shù)數(shù)理論的很大一部分都是在直接或者間接地討論丟番圖方程。正如對(duì)于實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的方程一樣，討論丟番圖方程解的集合的結(jié)構(gòu)是富有成果的，這類研究屬于算術(shù)幾何的領(lǐng)域。

丟番圖方程的一個(gè)值得注意的特點(diǎn)是它們極為困難。所以自然地會(huì)懷疑，對(duì)于它們是否可能有一個(gè)系統(tǒng)的處理方法，這是希爾伯特在1900年提出的著名問題清單中的第10個(gè)問題。但是一直到1970年Yuri Matiyasevich才指出，這個(gè)問題的回答是否定的。

這個(gè)問題的解決，重要的一步是在1936年由丘奇和圖靈做出的。只是通過（以兩種不同的方法）把算法概念形式化，從而把“系統(tǒng)地處理”這個(gè)概念弄清楚以后，才走出了這一步。在計(jì)算機(jī)時(shí)代以前，這是不容易的，但是我們現(xiàn)在卻可以把希爾伯特第10問題的解決重述如下∶

想找一個(gè)計(jì)算機(jī)程序使得在輸入任意的丟番圖方程后，如果這個(gè)方程有解，它就一定會(huì)輸出“YES”，無解的時(shí)候就一定會(huì)輸出“NO”，而且從不出錯(cuò)，這是做不到的。

關(guān)于丟番圖方程，這告訴了我們什么呢？我們?cè)僖膊荒軌?mèng)想會(huì)有一個(gè)囊括所有這種方程的最終的理論，相反，我們被迫集中注意于這種方程的特殊的類別，并且對(duì)它們發(fā)展不同的解法。如果不是因?yàn)閬G番圖方程與數(shù)學(xué)的其他部分的很一般的方程有值得注意的聯(lián)系，這似乎會(huì)使得在解決了最初幾個(gè)方程以后，丟番圖方程就沒有趣味了。

例如方程

看起來很特殊，事實(shí)上，它所定義的橢圓曲線卻是現(xiàn)代數(shù)論（包括費(fèi)馬大定理的證明）的中心問題。當(dāng)然費(fèi)馬大定理本身也是一個(gè)丟番圖方程，但它的研究又導(dǎo)致了數(shù)論的其他部分的重大發(fā)展。應(yīng)該得出的正確的結(jié)論可能是∶解一個(gè)特殊的丟番圖方程，如果其結(jié)果不只是在已經(jīng)解決的方程清單上再添加一個(gè)而已，那么，它是吸引人的，是值得去研究的。

微分方程

迄今為止，我們考慮的方程都是以數(shù)或n維空間的一點(diǎn)為未知的東西的。要生成這樣的方程，我們作算術(shù)的基本運(yùn)算的不同組合，然后把它們施加到未知的東西上去。

下面給出兩個(gè)著名的微分方程以便與過去討論過的方程作比較∶

第一個(gè)是“?！蔽⒎址匠?/strong>，是簡諧運(yùn)動(dòng)方程，它有通解

第二個(gè)是“偏”微分方程，是熱方程。

有許多理由說明求解微分方程在精巧性上是一個(gè)飛躍。

• 一個(gè)理由在于，現(xiàn)在未知的東西是函數(shù)，它比數(shù)或者 n 維空間的點(diǎn)復(fù)雜得多。

• 第二個(gè)理由是，施加于函數(shù)上的運(yùn)算微分和積分，它們遠(yuǎn)不如加法和乘法那么“基本”。第

• 三個(gè)理由是，微分方程，哪怕是很自然很重要的方程，可以用“封閉形式”解出的，就是用一個(gè)公式來表示未知函數(shù)f的，只是例外而非常規(guī)。

現(xiàn)在回到第一個(gè)方程，

這意味著微分方程可以看成是一個(gè)矩陣方程推廣到無窮多維的情況。熱方程也有同樣的性質(zhì)∶如果定義Ψ（T）為

則Ψ是另一個(gè)線性映射。這種微分方程稱為線性的，它們與線性代數(shù)明顯的聯(lián)系使得它們?nèi)菀浊蠼獾枚?，這方面一個(gè)有用的工具是傅里葉變換。

那些更加典型的方程，即不能用封閉形式解出的方程又如何？那時(shí)，焦點(diǎn)就又一次轉(zhuǎn)移到是否有解存在？如果有，它們又有哪些性質(zhì)？和多項(xiàng)式方程一樣，這要依賴于把什么當(dāng)成是可以允許的解。有時(shí)，我們就像又處在研究方程x^2=2時(shí)的境地∶證明解的存在并不難，只需要給它取一個(gè)名字就行了。方程

就是一個(gè)簡單的例子。在某種意義下，它是不能解出來的，可以證明，找不到一個(gè)由多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的"基本的"函數(shù)構(gòu)建出來而微分以后又會(huì)得到e^（-x2）的函數(shù)。然而在另一種意義下，這個(gè)方程又很容易求解，只需要把函數(shù)e^（-x2）積分一下就行了，所得到的函數(shù)就是正態(tài)分布函數(shù)。這個(gè)函數(shù)在概率論里面有基本的重要性，所以就給了它一個(gè)名字（記號(hào)）：

在絕大多數(shù)情況下，寫出解的公式是沒有希望的事情。一個(gè)著名的例子是三體問題∶給出空間里的三個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體（質(zhì)點(diǎn)），并設(shè)它們以引力互相吸引，問它們會(huì)怎樣繼續(xù)運(yùn)動(dòng)？用牛頓定律可以寫出描述這一情況的微分方程。對(duì)于兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體，牛頓解出了相應(yīng)的方程，并由此解釋了為什么行星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，但是對(duì)于三個(gè)或更多的物體，這些微分方程被證明是非常難解的?，F(xiàn)在已經(jīng)知道了，這種難解的情況有很深刻的理由∶這時(shí)，這些微分方程會(huì)導(dǎo)致混沌性態(tài)。然而，這就打開了研究混沌和穩(wěn)定性這些非常有趣的問題的大道。

有時(shí)候，有方法證明解是存在的，哪怕這些解不能容易地確定下來。這時(shí)，可以不要求得到精確的公式，而只希望得到一般的描述。例如，如果這個(gè)方程有著時(shí)間依賴性（例如熱方程和波方程就都有），人們就會(huì)問，解是否隨時(shí)間而衰減、爆破，或者大體上不變？這些更加定性的問題稱為漸近性態(tài)問題，有一些技巧來回答這一類的某些問題，盡管沒有顯式公式把解給出來。

和丟番圖方程的情況一樣，偏微分方程包括非線性偏微分方程中有一些特殊而又重要的類，可以把解準(zhǔn)確地寫出來。這就給出了一種非常不同的研究風(fēng)格∶人們又一次關(guān)注于解的性質(zhì)，但是這一次是本性上更加代數(shù)化的性質(zhì)，就是說，解的公式將要起更重要的作用。