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數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達形式，需要縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?。?shù)學(xué)研究既需要邏輯性、分析性和一般性，也需要直觀性、構(gòu)作性和個別性。雖然不同的數(shù)學(xué)分支強調(diào)不同的側(cè)面，但這些互相對立的思維碰撞構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力、實用性及其崇高價值。 數(shù)論（Number Theory）是數(shù)學(xué)的一個分支，主要研究數(shù)的規(guī)律和整數(shù)性質(zhì)。德國數(shù)學(xué)家高斯曾寫道：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后”，數(shù)論研究中的各種猜想是數(shù)學(xué)皇冠上一顆顆璀璨的明珠。 11月8日，筆者在線聆聽了張益唐在線講解學(xué)術(shù)論文“離散均值估計和朗道-西格爾零點”，又重新感受到了曾在博士期間經(jīng)受的數(shù)學(xué)研究帶來的快樂和煩惱。數(shù)論猜想可謂魅力無窮，幾代中國數(shù)學(xué)家也屢次收獲成果，其背后是吃苦耐勞、堅韌不拔和不圖名利、追求真理的科學(xué)家精神。 “韓信點兵”，原來是一個關(guān)于數(shù)論的故事 數(shù)論是數(shù)學(xué)研究最古老的方向。信奉“數(shù)即萬物”的古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前6世紀(jì)就研究了整數(shù)的可除性問題，提出奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、復(fù)合數(shù)、完全數(shù)和親和數(shù)等概念。 演繹體系的集大成者歐幾里得公元前4世紀(jì)發(fā)現(xiàn)自然數(shù)的基本規(guī)律，指出素數(shù)有無窮多個，每個復(fù)合數(shù)都可以唯一地表示成素數(shù)的乘積，又求出兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法，建立了整除性的初步理論。 大約在公元前250年，埃拉托斯特尼發(fā)明了一種篩法，求出了不超過某個自然數(shù)N的全部素數(shù)，這是陳景潤和張益唐在研究“孿生素數(shù)猜想”時使用的主要方法。 公元4世紀(jì)，希臘化時期的數(shù)學(xué)家丟番圖用初等數(shù)論研究了一系列不定方程的求解問題，提出著名的丟番圖猜想。其著作《算術(shù)》的拉丁文譯本初刊于1621年，此后再版多次，成為17世紀(jì)以后歐洲學(xué)者研究并提出更多數(shù)論猜想的思想源泉。 中國人很早就有初等數(shù)論的研究和探討，在傳說中和歷史文獻中均有相關(guān)記載?！绊n信點兵”便是知名的數(shù)論故事。
公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中出現(xiàn)商高定理（勾股定理）；西漢初成書的《九章算術(shù)》標(biāo)志我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的完備化，其中的“五家共井”問題，給出了不定方程組的整數(shù)解；公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，求解一次同余式組，標(biāo)志著我國古代初等數(shù)論的程序化；公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》有“百雞問題”給出幾組不同的整數(shù)解；南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》用“大衍求一術(shù)”解決了一次同余式組的求解問題，傳之歐洲后被稱作“中國剩余定理”。秦九韶被德國數(shù)學(xué)史家康托爾稱為“最幸運的天才”?！翱茖W(xué)史之父”薩頓稱秦九韶“是他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。” 每個著名猜想背后，都閃爍著數(shù)學(xué)家的智慧 17世紀(jì)以后，西方學(xué)界開始深入研究初等數(shù)論問題。 1640年，費馬在研讀丟番圖《算術(shù)》之后，提出一個數(shù)論命題：如果p是素數(shù)，那么對于任何整數(shù)a，ap-a都是p的倍數(shù)，但他卻沒有給出證明。這個困擾數(shù)學(xué)界近100年的“費馬小定理”，1736年由歐拉給出證明，又將它推廣到復(fù)合數(shù)的情形。 1772年，拉格朗日證明了費馬提出的另一個定理：每一個正整數(shù)都可以用四個整數(shù)的平方和表示。1798年，勒讓德總結(jié)前人的數(shù)論成果，編著了第一部數(shù)論教科書。 1900年，希爾伯特在巴黎世界數(shù)學(xué)家大會上做了題為“數(shù)學(xué)問題”的經(jīng)典報告，提出了23個意義深遠的數(shù)學(xué)難題，史稱“希爾伯特問題”。期間，他特別指出費馬大定理對于數(shù)論乃至整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要意義。依據(jù)希爾伯特的觀點，數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枌⒏咚沟膹?fù)整數(shù)理論推廣到代數(shù)數(shù)，引入了理想數(shù)與分圓數(shù)，開創(chuàng)理想數(shù)論，開啟了從代數(shù)數(shù)論出發(fā)證明的新路徑。費馬大定理歷時350年后，1995年由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯給出了完美的證明。 國內(nèi)數(shù)學(xué)界或普通讀者都比較熟悉的哥德巴赫猜想，正是“希爾伯特問題”中一個著名的猜想。其內(nèi)容是“任何不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和，任何不小于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和”。這一問題于1742年由德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出后，長期被懸置，20世紀(jì)初由哈代和李特爾伍德給出部分證明，又經(jīng)我國陳景潤等數(shù)學(xué)家的推進，最終由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫等人解決。 在張益唐第一篇論文中解決的“孿生素數(shù)猜想”，被稱作是“哥德巴赫猜想”的姐妹問題，也是23個“希爾伯特問題”之一，1849年由波林那克提出。 2013年5月，張益唐證明孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式，取得突破性進展。在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，他發(fā)現(xiàn)存在無窮多個之差小于7000萬的素數(shù)對。 其論文5月14號在網(wǎng)絡(luò)上公開，5月21日正式發(fā)表。 7天后，這個常數(shù)下降到了6000萬，10天后的5月31日，下降到了4200萬，又過了3天（6月2日）變成1300萬，次日成為500萬。6月5日，40萬。 9個月后，張益唐的7000萬被縮小到246。在英國數(shù)學(xué)家蒂姆·高爾等人發(fā)起的“博學(xué)之人（Polymath）”計劃中，孿生素數(shù)猜想成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)工作者們利用網(wǎng)絡(luò)進行合作研究的一個典型案例。 人們不斷改進張益唐的證明，推進著最終解決孿生素數(shù)猜想的距離。 百折不撓勇于進取，歷代學(xué)人的優(yōu)秀品質(zhì)書寫學(xué)界佳話 楊武之是我國以數(shù)論研究獲得博士學(xué)位的第一人，也是中國現(xiàn)代數(shù)論研究的先驅(qū)和開拓者。正是楊武之將現(xiàn)代數(shù)論引進中國，并培養(yǎng)了大批人才。 柯召和華羅庚就是楊武之在清華培養(yǎng)的學(xué)生。新中國成立后，華羅庚在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所組建討論班，帶領(lǐng)王元、陳景潤等人專門攻克哥德巴赫猜想。 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系成立之初便有數(shù)論課程，也培養(yǎng)了一批重要學(xué)者，潘承洞、潘承彪為其中的佼佼者。 上世紀(jì)50年代，潘承洞在研究中獲得關(guān)于算術(shù)數(shù)列中最小素數(shù)的上界定量估計，其結(jié)果被國內(nèi)外文獻廣泛引用。60年代后，他主要從事哥德巴赫猜想的研究，為后來的證明打下了基礎(chǔ)。70年代在簡化陳（景潤）氏定理（1，2）時提出并證明了一條新的均值定理，是對邦別里定理的重要推廣與發(fā)展。1982年，他與陳景潤、王元同獲國家自然科學(xué)獎一等獎。 張益唐于1978年考入北大數(shù)學(xué)系，1982年繼續(xù)攻讀研究生，攻克數(shù)論問題，指導(dǎo)老師就是潘承彪。他以優(yōu)異成績畢業(yè)后赴美留學(xué)，本想師從著名數(shù)論學(xué)者亨里克·伊萬涅茨，卻陰差陽錯做了別的數(shù)學(xué)研究。英雄相見恨晚，卻惺惺相惜，在屬于張益唐的2013年春天，伊萬涅茨應(yīng)《數(shù)學(xué)年刊》主編之邀，審讀張益唐的論文，僅用三周時間看出其價值，推薦刊載于這個已有130多年歷史的數(shù)學(xué)界頂級期刊上。 張益唐2014年受邀在國際數(shù)學(xué)家大會上做特邀報告，又獲羅夫·肖克數(shù)學(xué)獎、弗蘭克·奈爾森·科爾數(shù)論獎、麥克阿瑟天才獎等諸多獎項。近年，張益唐成為北大閔嗣鶴數(shù)論研究中心名譽主任、客座講席教授，還給數(shù)學(xué)系的學(xué)生們講授暑期課程。 張益唐能夠在數(shù)論方面取得舉世矚目的成就，與他在北大數(shù)學(xué)系打下的數(shù)論基礎(chǔ)密不可分。在今年11月8日的報告中，他也多次談到北大數(shù)學(xué)系潘教授對他的指導(dǎo)和影響。 “板凳要坐十年冷，文章不寫一句空”，獲得優(yōu)異學(xué)術(shù)成果的前輩學(xué)者們大都具備了不怕困難、百折不撓、勇于進取的優(yōu)秀品質(zhì)，張益唐也不例外。 這種品質(zhì)要經(jīng)過艱苦錘煉才能形成，任何時候都不會過時。傳統(tǒng)數(shù)論研究是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之中的瑰寶，其中蘊含著前輩先賢的智慧。21世紀(jì)成為數(shù)學(xué)大國，也是時代給予中國年輕一代的光榮使命。 作者：薩日娜（作者為東京大學(xué)理學(xué)博士，上海交通大學(xué)教授） 編輯：朵拉 |
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