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讓所有的人都得到智慧和地位，真正是俄羅斯的而不是外國的。在彼得大帝宏偉的改革藍(lán)圖中，有一項(xiàng)仿效西方建立科學(xué)院的計(jì)劃，然而由于種種原因，這個(gè)柏林科學(xué)院的翻版直到彼得大帝去世的1725年才正式建立起來。早期的院士中不乏偉大的數(shù)學(xué)家，如貝努里兄弟(N.Bernoulli，1695—1726，D. Bernoulli,1700-1782)、哥德巴赫(C.Goldbach，1690-1764)和歐拉(L.Euler，1707—1783)等人，但是他們都是外國人。當(dāng)時(shí)俄羅斯的數(shù)學(xué)土壤是貧瘠的：沒有土生土長的數(shù)學(xué)家、沒有能夠引起世界注意的成果、沒有大學(xué)，甚至沒有初等數(shù)學(xué)教科書。十九世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家巴夫盧提·里沃維奇·切比雪夫馬格尼茨基(Л.Φ.MarRxuxx，1669—1739)是當(dāng)時(shí)致力于數(shù)學(xué)教育的學(xué)者，本文的題辭就是他寫在著名的《算術(shù)》一書扉頁上的詩句，它清楚地表達(dá)了當(dāng)時(shí)一部分先進(jìn)的知識(shí)分子渴望祖國擺脫愚昧落后狀態(tài)的強(qiáng)烈心情和建設(shè)俄羅斯新科學(xué)的決心。正是基于這樣一種信念，大約一百多年以后，一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家聚集在圣彼得堡，以具有開拓意義的工作和鮮明的風(fēng)格使這座城市光芒四射，以至德、法、英這些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大國的學(xué)者們也不得不刮目相看。領(lǐng)導(dǎo)著這一數(shù)學(xué)王國、使俄羅斯數(shù)學(xué)從極端落后境地走向世界前列的就是十九世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家巴夫盧提·里沃維奇·切比雪夫(Mapuyrna Ibsosrq He6uwes，1821-1894)。1821年5月16日，切比雪夫誕生于俄國中部卡盧加省的一個(gè)貴族莊園。他的父親列夫·巴甫洛維奇是一個(gè)退役軍官，曾參加過1812年抵抗拿破侖入侵的戰(zhàn)爭；母親阿格拉芙娜·伊萬諾夫娜·波茨尼維柯娃出身名門，是個(gè)不茍言笑的女人。這對(duì)夫婦一共生了五男四女，Π.Л.切比雪夫排行第二。家族紀(jì)念館里，陳列著祖輩們的勛章、綬帶和戰(zhàn)刀，在這種環(huán)境中長大的男孩子們，無疑會(huì)把效命沙場(chǎng)視為人間的殊榮。的確，Π.Л.切比雪夫的三個(gè)弟弟后來都投筆從戎，其中一個(gè)還成了著名的炮兵將軍。有幸的是，我們的主人公沒有成為軍人而成了學(xué)者，幸運(yùn)是孕育在不幸中的。從童年時(shí)起，他的左腳就殘疾了，走起路來一跛一拐的。這使父母很失望，也給他幼小的心靈帶來了創(chuàng)傷。當(dāng)孩子們?cè)谇f園里玩著攻占堡壘的游戲時(shí)，他卻只能獨(dú)坐家中，拿細(xì)劈柴、膠木板充當(dāng)積木來玩。再大一些的時(shí)候，他迷上了各種機(jī)械，整日鉆進(jìn)磨坊，觀看那嘎嘎作響的水車和磨盤的運(yùn)動(dòng)；要么就躲進(jìn)黑暗的儲(chǔ)藏室，擺弄那些生銹的鎖、廢棄的捕獸器和古老的掛鐘。這種在孤寂中探索未知世界的童年生活，在很大程度上決定了他日后的道路。蘇哈列瓦婭表姐是一個(gè)嫻靜、端莊而又富有同情心的姑娘，她教切比雪夫法文、音樂和算術(shù)。晚年的切比雪夫經(jīng)?；貞浧甬?dāng)年的情景，對(duì)這位啟蒙老師懷著極深的感情，他一直把表姐的相片珍藏在身邊。切比雪夫十一歲那年，父母帶領(lǐng)全家遷居莫斯科。1828年政府頒布的學(xué)校規(guī)章恢復(fù)了嚴(yán)格的等級(jí)制度；一般中學(xué)以神學(xué)、希臘和拉丁文為主要科目，而象皇村、里含列夫那樣的貴族寄宿學(xué)校，則是紈绔子弟們庸集的場(chǎng)所，因而雇傭一個(gè)好的家庭教師是上流社會(huì)里最穩(wěn)妥的教育子女的辦法。切比雪夫的雙親為孩子們請(qǐng)到了一位出色的家庭教師。波戈列利斯基不但聰明容智、廣見博聞，而且還是幾本頗為流行的初等數(shù)學(xué)教科書的作者。他最喜歡這一家里那個(gè)腿有些跛的男孩子，建議他去讀古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid，330-275?B.C.)的《原本》。這部古代數(shù)學(xué)名著一下子攫住了少年切比雪夫的心，那宏偉的邏輯結(jié)構(gòu)、嚴(yán)密的演繹推理以及令人眼花繚亂的定理和圖形深深地吸引了他。然而最使他神往的還是書中關(guān)于數(shù)論的那三章了，因?yàn)椴ǜ炅欣够壬嬖V他，當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家高斯(C.F.Gauss，1777-1855)講過；“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女皇，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇?！?/section>當(dāng)他讀到第九章第二十個(gè)命題時(shí)，不禁從心底發(fā)出對(duì)數(shù)學(xué)力量的贊美?！皼]有最大的素?cái)?shù)”，這意味著只能被自身和1整除的自然數(shù)有無窮多，他欽佩歐幾里得深刻的洞察力和靈巧的證明方法，深感素?cái)?shù)的分布奧妙無窮。這種來自心靈深處的震顫對(duì)他的一生產(chǎn)生了巨大的影響。1837年，十六歲的切比雪夫懷著虔誠與崇敬的心情踏進(jìn)了一座科學(xué)殿堂，成為莫斯科大學(xué)哲學(xué)系物理數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。莫斯科大學(xué)是俄國最古老的一所高等學(xué)府，由羅蒙諾索夫(M.B.JIoxorocoB，1711一1765)于1755年所創(chuàng)造，當(dāng)初僅設(shè)哲學(xué)、法律、醫(yī)學(xué)三個(gè)系，物理與數(shù)學(xué)時(shí)而附屬于哲學(xué)系，時(shí)而獨(dú)立門戶。年輕的切比雪夫在杰出的數(shù)學(xué)教育家勃拉什曼(H.A.bpamxar，1796-1866)的指導(dǎo)下開始了正規(guī)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練。勃拉什曼生于捷克斯洛伐克的摩拉維亞，1834年起到莫斯科大學(xué)任教授，1855年成為彼得堡科學(xué)院的通訊院士。他的主要貢獻(xiàn)在水利學(xué)和最小作用原理方面，數(shù)學(xué)上特別擅長連分?jǐn)?shù)的理論和計(jì)算。切比雪夫后來寫過一封信，把自己利用連分?jǐn)?shù)把函數(shù)展開成級(jí)數(shù)的工作歸于勃拉什曼在課堂上和私人談話中給予的啟示。該信于1865年9月30日在莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的會(huì)議上宣讀，勃拉什曼是這個(gè)學(xué)會(huì)的創(chuàng)始人。在大學(xué)的最后一年，切比雪夫?qū)懥艘黄}為《方程根的計(jì)算》的論文，提出一種建立在反函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式基礎(chǔ)上的近似解法，從而獲得系里該學(xué)年度的銀質(zhì)獎(jiǎng)。1841年春，切比雪夫畢業(yè)于莫斯科大學(xué)，開始攻讀碩士學(xué)位。但是生活不是一帆風(fēng)順的。由于災(zāi)荒，他們家在卡盧加省的莊園破產(chǎn)了，父母不僅不能向他提供繼續(xù)深造的費(fèi)用，而且還要把兩個(gè)未成年的弟弟交給他教育和撫養(yǎng)。切比雪夫靠著微薄的研究生津貼度日。五年過去了，他不僅以優(yōu)異的成績獲得碩士學(xué)位，而且還把兩個(gè)弟弟相繼送進(jìn)彼得堡炮兵學(xué)院。小弟弟弗拉基米爾·里沃維奇(B.I. He6ume，1832-1905)是這個(gè)家族的又一驕傲，他后來成了炮兵學(xué)院的教授兼將軍，在機(jī)械理論和武器制造方面頗有造詣，是第一個(gè)指出機(jī)械加工表面微震動(dòng)原因的學(xué)者。他與哥哥始終保持著極親密的關(guān)系，Π.Л.切比雪夫的第一個(gè)論文集，就是由他整理和出資刊行的。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界有兩家權(quán)威的刊物，都叫《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，由于創(chuàng)辦人的不同也有人把它們分別稱為《格列爾雜志》和《劉維爾雜志》①。世界上任何一個(gè)有名望的數(shù)學(xué)家，都以能在這兩家刊物上發(fā)表文章為榮耀。還在當(dāng)研究生的切比雪夫，于1843、1844年相繼在兩家刊物上發(fā)表了論文，前一篇是關(guān)于多重積分的，后一篇是關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)的收斂性的。這兩項(xiàng)工作標(biāo)志著他在經(jīng)典分析領(lǐng)域已具備相當(dāng)扎實(shí)的基礎(chǔ)。但躊躇滿志的切比雪夫鋒芒一轉(zhuǎn)，他要去啃概率論這個(gè)堅(jiān)果了。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門科學(xué)。它最初產(chǎn)生于推測(cè)賭博輸贏的問題，后來逐漸被應(yīng)用到人口統(tǒng)計(jì)、法律訴訟和保險(xiǎn)等事業(yè)上，到法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(S.Laplace,1749—1827)出版《概率論的分析基礎(chǔ)》一書的時(shí)候，這門學(xué)科已初具規(guī)模。但是，由于早期的某些研究者過分強(qiáng)調(diào)它在倫理科學(xué)中的作用和企圖以此來闡明“隱蔽著的神的秩序”，也幾乎斷送了它作為一門精密科學(xué)的前途。切比雪夫是在概率論門庭冷落的年代從事這門學(xué)問的。他一開始就抓住了古典概率論中具有基本意義的問題，即那些“幾乎一定要發(fā)生的”事件的規(guī)律——大數(shù)定律。歷史上的第一個(gè)大數(shù)定律是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各·貝努里(Jacob Bernoulli，1654-1705)提出來的，后來法國數(shù)學(xué)家泊松(B.Poisson，1781-1840)證明了一個(gè)類似而條件更寬的命題，除此之外在這方面沒有什么進(jìn)展。1845年，切比雪夫在其碩士論文《試論概率論的初等分析》中，借助很初等的工具——ln(1+x)的麥克勞林展開式，對(duì)貝努里大數(shù)定律作了精細(xì)的分析和嚴(yán)格的證明。次年，他又把結(jié)果拓廣到泊松形式的大數(shù)定律。這年夏天，切比雪夫正式通過了論文答辯，獲得碩士學(xué)位。他以精確的分析手段研究大數(shù)定律，不但使概率論脫去了神學(xué)的外衣，而且開始了研究方法上的一系列變革，從而把這門學(xué)科推進(jìn)到現(xiàn)代化的門檻。二十余年后，切比雪夫重新回到這一課題，在1867年發(fā)表的《論平均數(shù)》中進(jìn)一步討論了作為大數(shù)定律的極限值的平均數(shù)。1887年，他發(fā)表了更為重要的《關(guān)于概率的兩個(gè)定理》，開始對(duì)中心極限定理進(jìn)行研究。 在這一系列的研究中，他首先引出并倡導(dǎo)使用的隨機(jī)變數(shù)，后來成了概率論與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中首屈一指的概念。他創(chuàng)立的“矩方法”解決了許多困難的問題，直到今日仍被廣泛應(yīng)用。導(dǎo)致產(chǎn)生這一方法的，是他在1882年建立的一個(gè)著名不等式，這個(gè)今日冠以切比雪夫大名的不等式斷言：若是一隨機(jī)變量、a是其平均數(shù)、是的平均數(shù)，則對(duì)任何正數(shù)，使成立的概率不超過。這一關(guān)系后來成了一系列更為精確地估計(jì)概率的不等式的先導(dǎo)。切比雪夫的學(xué)生馬爾科夫(A.A.Mapxor，1856-1922)后來對(duì)“矩方法”作了某些補(bǔ)充，圓滿地解決了隨機(jī)變量的和收斂正態(tài)的條件問題，另一個(gè)學(xué)生李雅普諾夫(A.M.JIxnyHoB，1857—1918)把“矩方法”發(fā)展為特征函數(shù)法，他的工作成了中心極限定理研究中的真正轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 切比雪夫還提出了估計(jì)中心極限定理中有關(guān)收斂速度的課題。他猜想：在一定條件下，有可能依照的方冪漸近展開獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)和的分布函數(shù)，這里n是和中的項(xiàng)數(shù)。這一猜測(cè)，完全被后來的研究所證實(shí)和解決。本世紀(jì)四十年代，有人解決了收斂速度的一致估計(jì)問題，六十年代則有人從事分布函數(shù)的漸近展開。近年來，我國年輕一代的概率統(tǒng)計(jì)工作者，又把這些成果改進(jìn)到更廣泛的場(chǎng)合。 應(yīng)該指出，切比雪夫所從事的大數(shù)定律和中心極限定理的研究，還是屬于概率論的古典極限定理范疇。當(dāng)時(shí)這門學(xué)科的邏輯基礎(chǔ)尚未奠定，一些重要的理論工具如集合論、測(cè)度論也不具備，甚至概率自身的古典定義中也隱伏著循環(huán)推理的致命內(nèi)傷，貝特朗悖論②又使幾何概型陷入困窘的境地。切比雪夫正是在這種荊棘叢生、危機(jī)四伏的環(huán)境中開出一條新路的。他所完成的方法論方面的基本變革不僅提出了滿足于嚴(yán)格證明的要求，而且能夠隨時(shí)精密地估計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，他引出的一系列基本概念和課題為俄國和后來蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家所繼承和發(fā)展。從本世紀(jì)三十年代柯爾莫哥洛夫(A.H.Konxoropor，1903-)建立概率論的公理體系為標(biāo)志，蘇聯(lián)在概率論領(lǐng)域獲得了無可爭辯的領(lǐng)先地位。第二代極限理論——無窮可分分布律的研究也出現(xiàn)在切比雪夫的故鄉(xiāng)，經(jīng)辛欽(A.H.XurqKn，1894-1959)、格涅堅(jiān)科(B.B.Tneaerko,1911一)等人完善，成為古典極限定理在二十世紀(jì)抽枝發(fā)芽的繁茂大樹。如果切比雪夫冥中有知，一定會(huì)含笑九泉的。1846年，切比雪夫作出了一個(gè)對(duì)其日后科學(xué)生涯至為關(guān)鍵的選擇，接受了彼得堡大學(xué)的助教職務(wù)。經(jīng)過一百多年的建設(shè)，彼得堡早已不象當(dāng)年那樣空曠荒涼。涅瓦河上架起了幾十座鐵橋，市區(qū)和彼得羅巴夫洛夫斯克要塞之間鋪成了俄國唯一的一條鐵路，凝聚著古典美和俄羅斯風(fēng)格的海軍大廈的尖頂直指蒼穹，冬宮和夏園則堪與凡爾賽相媲美。然而它在文化教育上的地位還不能與故都相比。1804年彼得堡才有了一所國立師范，1819年改為彼得堡大學(xué)，其聲名和設(shè)備都遠(yuǎn)遠(yuǎn)遜于莫斯科大學(xué)。在囿守傳統(tǒng)的俄國知識(shí)分子眼里，彼得堡是軍人和政客的天地，俄羅斯文化的精華還在昔日的都城莫斯科。但是彼得堡大學(xué)有兩位出類拔萃的數(shù)學(xué)教授，他們對(duì)年輕的切比雪夫具有難以抗拒的吸引力。奧斯特洛格拉德斯基(M.B.Ocrporpaacxn8，1801-1862)在哈爾科夫大學(xué)讀書時(shí)，由于反宗教的觀點(diǎn)未能獲得畢業(yè)證書。后來他到巴黎深造，親承拉普拉斯、富里埃(J.Fourier，1763)--1830)、柯西(L、Cauchy，1789-1857)等大師的教誨，在理論力學(xué)，概率論與數(shù)論方面都有精湛研究，尤其擅長積分計(jì)算，關(guān)于體積分和面積分關(guān)系的著名公式就是他發(fā)現(xiàn)的。他也是一位優(yōu)秀的教育家和組織者，寫過不少數(shù)學(xué)教科書，1830年被選為彼得堡科學(xué)院院士。布尼亞科夫斯基(B. 8. By8KOBCxB8，1804-1889)也是在巴黎學(xué)成后回國任教的，同樣在1830年被選為科學(xué)院院士。此時(shí)他正在準(zhǔn)備出版自己的《概率論的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)》，他對(duì)切比雪夫在碩士論文中表現(xiàn)出來的精確分析手法十分欣賞。在數(shù)論方面，他對(duì)疊合與二次互反律都有獨(dú)到的研究。他熱心地參加和主持教育改革委員會(huì)，對(duì)制定俄國中等和高等數(shù)學(xué)教育大綱和數(shù)學(xué)術(shù)語的規(guī)范化起了重要的作用。在彼得堡大學(xué)的青年教師中，切比雪夫很快就顯得鶴立雞群。1847年春天，他在題為《關(guān)于用對(duì)數(shù)積分》的晉職報(bào)告中，徹底解決了奧斯特洛拉德斯基不久前才提出的一類無理函數(shù)的積分問題，他所得出的關(guān)于二項(xiàng)式微分式積分的條件和方法，今日已被寫進(jìn)任何一本數(shù)學(xué)分析教科書之中。在這一工作中，他也接觸到了少年時(shí)代就為之神往的數(shù)論問題。然而更強(qiáng)烈的刺激還在后面。切比雪夫到彼得堡來工作前兩年，大數(shù)學(xué)家歐拉的曾外孫、身為科學(xué)院秘書的富斯(IⅡ.H. bycc,1798-1855)，在科學(xué)院的檔案中發(fā)現(xiàn)了大批歐拉生前未曾公開過的數(shù)學(xué)手稿，科學(xué)院決定立即組織人力編輯出版歐拉選集。布尼亞科夫斯基后來推薦切比雪夫擔(dān)任數(shù)論部分的實(shí)際編輯工作。1849年，關(guān)于數(shù)論方面的歐拉選集在彼得堡正式出版。正是在這件看來繁瑣枯燥的工作中，切比雪夫體會(huì)到了科學(xué)巨人深邃的思想和高度的技巧結(jié)合起來的神奇與美妙。歐拉引入了一個(gè)ξ函數(shù)證明所有素?cái)?shù)的倒數(shù)和發(fā)散，這實(shí)際上給出了素?cái)?shù)有無窮多的又一個(gè)簡單證明。少年時(shí)代的激情在他胸中重新涌起：ξ函數(shù)對(duì)于神秘的素?cái)?shù)分布規(guī)律來說，也許正是那“芝麻——開門”的咒語。素?cái)?shù)分布的規(guī)律，這個(gè)數(shù)論中的基本問題，自歐幾里得以來還沒有什么實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。如果以表示不大于的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，所謂素?cái)?shù)分布的問題就是要找出一個(gè)用來表示的的公式。法國數(shù)學(xué)家勒讓德(A.M.Legendre，1752-1833)和高斯分別研究過400，000和3,000,000以內(nèi)的素?cái)?shù)表，猜測(cè)過關(guān)于的一些性質(zhì)；前者認(rèn)為，其中A=1.08366；后者斷言與，的非常小，他們都猜測(cè)。最后這一猜測(cè)就是著名的素?cái)?shù)定理，但是連高斯這樣的巨匠也沒能給出證明。 當(dāng)時(shí)在德國，正由狄里克萊(P.L. Dirichlet,1805-1859)、稍后由黎曼(B.Riemann，1826—1866)領(lǐng)導(dǎo)著一場(chǎng)革新數(shù)論方法的運(yùn)動(dòng)。他們大力倡導(dǎo)在代數(shù)方法之外應(yīng)用分析學(xué)的手段研究這門古老的學(xué)問。其實(shí)這種思想在歐拉的著作中已現(xiàn)端倪：他引入的ξ函數(shù)正是來自分析學(xué)的一個(gè)結(jié)果。因而兼具分析之長和諳熟歐拉思想的切比雪夫，在俄國成為這一場(chǎng)數(shù)論方法論革新運(yùn)動(dòng)的呼應(yīng)者就毫不足奇了。大約在編輯歐拉選集的同時(shí)，他就開始了對(duì)素?cái)?shù)定理的研究。在兩年多的時(shí)間里，他相繼搞清了若干重要的問題：他指出勒讓德公式中的最佳逼近值A(chǔ)不是1.08366而是1；他利用ξ函數(shù)證明了高斯的猜測(cè)與甚為接近；他給出了精確的估計(jì)式 所有這些成果，都被寫進(jìn)他的博士論文《論同余式》中。1849年5月27日，彼得堡大學(xué)為他舉行了答辯，報(bào)告引起震動(dòng)。他不但獲得了博士學(xué)位，還被科學(xué)院授予最高的數(shù)學(xué)榮譽(yù)——杰米多夫獎(jiǎng)。第二年，他又向科學(xué)院提交了另一篇更重要的數(shù)論論文《論素?cái)?shù)》，在進(jìn)一步完善上述結(jié)果的同時(shí)，他又引入的兩個(gè)函數(shù)和，它們?cè)跀?shù)論中有重要作用，如今被人稱為切比雪夫函數(shù)。另外，他在該文中還順便解決了關(guān)于素?cái)?shù)分布規(guī)律的又一猜測(cè)：對(duì)于任何大于的數(shù)來說，在與之間至少存在一個(gè)素?cái)?shù)。這一猜測(cè)是法國數(shù)學(xué)家貝特朗(就是上一節(jié)所提到的制造了一個(gè)幾何概型方面的悖論的人)在1845年通過觀察素?cái)?shù)表作出的。但是無論是他本人還是其他的數(shù)學(xué)家，都未能對(duì)這一貌似簡單其實(shí)深刻的命題給出理論證明。 這兩篇論文奠立了切比雪夫在科學(xué)界的地位，也標(biāo)志著俄國數(shù)學(xué)家在數(shù)論領(lǐng)域開始走向了世界前列。若干年后，它們被不斷地翻譯成各國文字，成為解析數(shù)論方面不朽的經(jīng)典文獻(xiàn)。1852年7月，切比雪夫接受了一項(xiàng)使命，到西歐進(jìn)行數(shù)學(xué)和技術(shù)的綜合考察。如同當(dāng)年的彼得大帝一樣，他懷著新奇和激奮的心情踏上了異國的土地。然而他已無需忍受漫長道路上的顛簸和驛站里臭蟲的襲擾，蒸汽機(jī)車代替了四輪馬車。世界像列車一樣地向前奔馳，他在工業(yè)革命的發(fā)源地獲得了新的創(chuàng)造靈感。當(dāng)車輪與鐵軌的撞擊在夜空發(fā)出催人入眠的單調(diào)聲響時(shí)，切比雪夫卻在為一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)問題苦思冥想：如何描述蒸汽機(jī)的關(guān)鍵部件瓦特連桿的運(yùn)動(dòng)，以便建立一種直動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)互換的理論和算法？更一般地講，是否存在著一種數(shù)學(xué)工具、可以把復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)用數(shù)學(xué)形式表示出來？在大約半年的時(shí)間里，他一有空就鉆進(jìn)技術(shù)博物館，觀察和分析各種各樣的機(jī)械。在巨大的荷蘭風(fēng)車旁，他像一個(gè)孩子看到了新奇的玩具一樣地流連忘返。在一家大型機(jī)器廠里，他滿手油污，把傳動(dòng)齒輪拆了又裝、裝了又拆。他自幼就對(duì)機(jī)械有一種異乎尋常的熱情，在莫斯科大學(xué)曾選讀過機(jī)械工程課，就在出國之前，他還兼任過彼得堡大學(xué)應(yīng)用知識(shí)系(準(zhǔn)工程系)的應(yīng)用力學(xué)課講師。這個(gè)當(dāng)年在磨坊里消磨時(shí)光的跛腿少年和未來俄國數(shù)學(xué)王國里的彼得大帝，此時(shí)正在構(gòu)思著函數(shù)逼近論的基本思想。他設(shè)想有一種理想的機(jī)器，當(dāng)它運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)其上的某一點(diǎn)畫出一條理想的曲線；但工程師設(shè)計(jì)出來的機(jī)器往往只能得到一條近似的曲線g，就象瓦特連桿只能近似地將圓變?yōu)橹本€一樣，再假定全部零件的參數(shù)、、。完全確定了機(jī)器，那么就表示實(shí)際機(jī)器上相應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線。切比雪夫提出用 如果上述曲線由一個(gè)多項(xiàng)式表示，那么使得設(shè)計(jì)標(biāo)尺達(dá)到最小的就叫最佳逼近多項(xiàng)式。切比雪夫論證了最佳逼近多項(xiàng)式的一系列性質(zhì)，引入了切比雪夫交錯(cuò)組和符號(hào)判別法，證明了具有切比雪夫交錯(cuò)組的多項(xiàng)式即最佳逼近多項(xiàng)式。不僅如此，他還找到了這樣一個(gè)與零偏差最小的最佳逼近多項(xiàng)式。為了紀(jì)念他所作出的這些奠基性的工作，現(xiàn)在人們就把叫做切比雪夫多項(xiàng)式，把若干關(guān)于最佳一致逼近的定理叫做切比雪夫定理，把最佳一致逼近叫做切比雪夫逼近。 回國以后，切比雪夫很快就向科學(xué)院提交了這方面的研究報(bào)告，第一篇關(guān)于函數(shù)逼近論的論文于1854年正式發(fā)表。從此他在相當(dāng)長的一段時(shí)期內(nèi)致力于這一分析學(xué)的未知領(lǐng)域的探索，數(shù)十年內(nèi)碩果累累。除了一致逼近之外，他又研究了平方逼近、三角多項(xiàng)式逼近和有理函數(shù)逼近等課題。這些成果又與多項(xiàng)式理論、正交理論、矩陣論、內(nèi)插法、近似積分、誤差估計(jì)等內(nèi)容密切聯(lián)系，極大地豐富了十九世紀(jì)分析學(xué)的內(nèi)容。這一開拓性的工作很快就引起了世人的注意。德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1815-1897)、李普希茨(R. Lipschitz，1832-1903)以及切比雪夫的門生科爾金(A. H.KopKnH.1837-1908)、佐洛塔廖夫(E.H.3ozorapen，1847-1878)等人相繼為這門嶄新的數(shù)學(xué)分支做出了重要貢獻(xiàn)。進(jìn)入本世紀(jì)以來，以法國數(shù)學(xué)家波萊爾(E.Borel，1871—1956)和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伯恩施坦(C.H.Bepaurean，1880-1968)為代表的現(xiàn)代逼近理論大放異彩，成為數(shù)學(xué)園地中一枝奇艷的花朵。函數(shù)逼近論的誕生是數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐的一個(gè)有力證明，下一步是實(shí)踐向數(shù)學(xué)索取報(bào)酬了。的確，由于有了先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具，切比雪夫得以建立許多關(guān)于機(jī)器設(shè)計(jì)的理論和算法，例如直動(dòng)機(jī)的理論、連續(xù)運(yùn)動(dòng)變?yōu)殚g斷運(yùn)動(dòng)的理論、最簡平行四邊形法則、絞鏈杠桿體系成為機(jī)械的條件、三絞鏈四環(huán)節(jié)連桿的運(yùn)動(dòng)定理、離心控制器的原理等等。依靠這些理論和算法，切比雪夫親自設(shè)計(jì)和制造新的機(jī)器。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他一生共設(shè)計(jì)了四十多種機(jī)器和八十多種這些機(jī)器的變種。其中有精巧的步行機(jī)，可以維妙維肖地模仿動(dòng)物行走的動(dòng)作，有奇特的劃船機(jī)，可以完成船槳不斷變換角度的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，有別具一格的曲尺和曲線規(guī)，可以量度圓弧的曲率和繪制直徑很大的圓弧；還有壓力機(jī)、篩分機(jī)、選種機(jī)、自動(dòng)椅以及大量的計(jì)算機(jī)。他的許多新發(fā)明曾在1878年的巴黎博覽會(huì)和1893年的芝加哥博覽會(huì)上展出，引起各界人士的極大興趣?，F(xiàn)在蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、莫斯科歷史博物館和巴黎藝術(shù)學(xué)院都藏有若干切比雪夫發(fā)明的機(jī)器或儀器。理論聯(lián)系實(shí)際，不僅體現(xiàn)在切比雪夫?qū)瘮?shù)逼近論與機(jī)器設(shè)計(jì)的研究中，而且可以說是貫穿他全部科學(xué)工作的一個(gè)鮮明特點(diǎn)。從西歐出訪歸來不久，他就被選為彼得堡科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)部的主席，這個(gè)位置直到他去世后才由李雅普諾夫接任。1852—1856年他受聘在亞歷山大學(xué)院(在今高爾基城)講授應(yīng)用力學(xué)，同時(shí)他與莫斯科技術(shù)學(xué)院(現(xiàn)鮑莫技術(shù)學(xué)院)保持著密切聯(lián)系。1856年，切比雪夫被任命為炮兵委員會(huì)的成員，積極參與制定了革新俄軍炮兵裝備和技術(shù)的計(jì)劃。1867年，他提出了一個(gè)計(jì)算圓形炮彈射程的公式，立即為軍隊(duì)所采用。他關(guān)于插值理論和二次型的數(shù)學(xué)研究，就起因于分析彈著點(diǎn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和彈道計(jì)算的需要。
1856年，彼得堡大學(xué)舉行一年一度的教授聯(lián)席會(huì)議時(shí)，切比雪夫作了《論地圖制法》的著名報(bào)告。他說：“理論與實(shí)踐接近，便產(chǎn)生最好的結(jié)果。受益的不僅是實(shí)踐方面，就是理論科學(xué)本身也將受刺激而發(fā)展起來，因?yàn)榍罢咛嫠沂玖诵碌难芯繉?duì)象或已知對(duì)象的新側(cè)面?！闭窃谶@篇演講中，他提出了減少投影誤差的詳盡討論。1878年，切比雪夫應(yīng)邀出席法蘭西科學(xué)院第七次年會(huì)，在他提交的四篇論文中竟有一篇名為《論服裝裁剪》，文章提出了合理用料的數(shù)學(xué)解，引起了學(xué)者們的很大興趣?；氐奖说帽ず?，他還親自跑到裁縫們那里去，指導(dǎo)他們合理用料的方法。這一研究進(jìn)一步啟發(fā)了他在曲面論方面的創(chuàng)造靈感，他接著考察了一種具有平行網(wǎng)格的“布”包裹曲面的問題?！扒斜妊┓蚓W(wǎng)”今日已成了微分幾何中的一個(gè)術(shù)語。盡管切比雪夫是如此的多才多藝，但他從不把已經(jīng)取得的成就歸于天賦。在去世前不久，有一次他對(duì)一個(gè)學(xué)生瓦西里耶夫(A.B. Bacxxzea，1853-1929)半開玩笑地談起了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的看法，他說，“早先人們只知道數(shù)學(xué)發(fā)展有兩個(gè)階段：在第一個(gè)階段里，數(shù)學(xué)是由神建立的，像德羅斯祭壇的故事就說明如此④；在第二個(gè)階段里，數(shù)學(xué)是由一些半人半神所建立的，費(fèi)馬(P.Fermat,1601-1665)、帕斯卡(B.Pascal， 1623-1662)就是這樣的怪物?，F(xiàn)在我們到了第三個(gè)階段；數(shù)學(xué)為社會(huì)實(shí)際需要所建立?！碑?dāng)然，數(shù)學(xué)從一開始就是由實(shí)踐所決定的，切比雪夫要強(qiáng)調(diào)的是這一觀念在工業(yè)革命的時(shí)代顯得比以往更為突出罷了，這一樸素的唯物主義思想正是他畢生從事科學(xué)事業(yè)的一個(gè)基本信念。切比雪夫是一個(gè)杰出的教育家。他自1846年接受彼得堡大學(xué)的助教職位、次年擢為高等代數(shù)和數(shù)論的講師、1850年升為副教授、1860年成為正教授，直到1882年退休為止，在這所大學(xué)執(zhí)鞭達(dá)三十五年。退休之后，他還繼續(xù)進(jìn)行研究和對(duì)青年數(shù)學(xué)家進(jìn)行指導(dǎo)。他有十五篇論文是在1882年以后發(fā)表的，直到臨終前幾天，他還在指導(dǎo)一個(gè)學(xué)生格拉維(Л.A. Tpase，1863-1939)將自己不久前剛獲得的平面曲線弧長的近似公式推廣到空間的工作。三十五年間，他教過十余門課程，遍及數(shù)論、高等代數(shù)、積分運(yùn)算、橢圓函數(shù)、有限差分、概率論、機(jī)械工程、分析力學(xué)、傅里葉級(jí)數(shù)和函數(shù)逼近論等分支。他的講課深受學(xué)生們的歡迎，他絕不進(jìn)行經(jīng)院式的長篇說教，而總是力求闡明最基本的概念和對(duì)有關(guān)背景及方法給出精辟的評(píng)論。李雅普諾夫說：“他在課堂上附帶給出的一個(gè)評(píng)論，往往恰與聽講者冥冥中苦思的某個(gè)問題有關(guān)，因?yàn)樗缇驮诹粢鈱W(xué)生們的思想活動(dòng)。因而，這種講課具有強(qiáng)烈的感染力，每堂課都能使人獲得寶貴的知識(shí)?！?/section>1872年，切比雪夫在彼得堡大學(xué)任教二十五周年，為了表彰他為教育事業(yè)作出的貢獻(xiàn)，彼得堡大學(xué)授予他功勛教授的稱號(hào)。從1856年起，切比雪夫還參加了教育部屬下的全俄中等教育改革委員會(huì)，和奧斯特洛格拉德斯基、布尼亞科夫斯基等人一起，草擬中學(xué)教學(xué)大綱、制定新的教材。據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)切比雪夫?qū)忛喌母鞣N數(shù)學(xué)、物理和天文學(xué)教材達(dá)二百余種。這說明他不僅關(guān)心高級(jí)科學(xué)人才的培養(yǎng)，也致力于整個(gè)民族科學(xué)文化的普及與提高。1853年，切比雪夫被選為彼得堡皇家科學(xué)院的候補(bǔ)院士，同時(shí)兼任應(yīng)用數(shù)學(xué)部的主席，1856年成為副院士，1859年成為正院士，這一年他不過三十八歲。國外的榮譽(yù)也紛至沓來：1860年切比雪夫當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院的通訊院士，1871年為柏林皇家科學(xué)院的通訊院士，1877年為倫敦皇家學(xué)會(huì)所接受，1880年和1893年則分別為意大利和瑞典皇家科學(xué)院所接受。同時(shí)他也是全俄羅斯所有大學(xué)的榮譽(yù)成員和彼得堡炮兵科學(xué)院的成員。在所有的外國科學(xué)團(tuán)體中，切比雪夫與法國科學(xué)院的交往是最為密切的了。他曾三次赴巴黎出席該院的年會(huì)，每次都提交三、四篇論文。他與法國數(shù)學(xué)家卡塔蘭(E. C.Catalan，1814-1894)、達(dá)布(G. Darboux，1842-1917)、劉維爾以及德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(L.Kronecker, 1823-1891)、外爾斯特拉斯保持著經(jīng)常性的學(xué)術(shù)聯(lián)系。在他死后的遺物中，還發(fā)現(xiàn)了他同埃爾米特(C. Hermite，1822-1901)、柯西、克雷蒙納(L.Cremona，1830-1903)、薩律(P.F.Sarrus，1789—1861)等人的來往信件。他一生曾先后六次出國考察、訪問或出席學(xué)術(shù)會(huì)議，這些廣泛的國際交流，不但對(duì)他自己的研究起了推動(dòng)作用，而且為俄國數(shù)學(xué)界在國外贏得了聲譽(yù)。切比雪夫也以充沛的精力和飽滿的熱情活躍在國內(nèi)各種科學(xué)團(tuán)體和會(huì)議上。他是彼得堡和莫斯科兩地?cái)?shù)學(xué)會(huì)的熱心贊助者。他發(fā)起召開的全俄自然科學(xué)家和醫(yī)生代表大會(huì)，對(duì)于促進(jìn)俄國科學(xué)界之間的相互了解和擴(kuò)大科學(xué)在民眾中的影響起到了歷史性的作用，也加速了彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的形成。在歷次會(huì)議上，切比雪夫報(bào)告了一系列精彩的論文，同時(shí)他總是及時(shí)地發(fā)現(xiàn)和扶植年輕的科學(xué)人才，他把這種盛會(huì)看成是培養(yǎng)新一代科學(xué)家的大課堂。1869年，在莫斯科召開的第二次代表大會(huì)上，工程師馬耶夫斯基(H. B.Maneacxn.1823—1892)報(bào)告了關(guān)于用實(shí)驗(yàn)方法得到的橢圓形炮彈飛行中阻力問題的結(jié)果。可惜他只討論了一種極特殊的情況，而一般情況的理論分析對(duì)于這位工程師來說是非常困難的。在切比雪夫的細(xì)心指導(dǎo)下，他后來終于獲得了一般的計(jì)算公式，成為當(dāng)時(shí)國際上最好的結(jié)果。兩年后的第三次代表大會(huì)上，切比雪夫碰到了兩個(gè)年輕的數(shù)學(xué)家；葉爾馬可夫(B.II.Epaaxoa，1845—1922)和布加耶夫(H.B.Byraen，1837—1903)。前者發(fā)現(xiàn)了一種級(jí)數(shù) 收斂判別法則，其簡潔和有效都在當(dāng)時(shí)已知的其它判別法則之上。切比雪夫高興地肯定了這一成果，并進(jìn)一步提出它與微分方程特解判別法之間的聯(lián)系，為更深入的研究指明了方向。后者關(guān)于數(shù)值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的文章也有新意，但處理數(shù)值函數(shù)的方法過于繁復(fù)，切比雪夫當(dāng)年的論文★論素?cái)?shù)》恰好解決過類似問題。在他的指點(diǎn)下，布加耶夫茅塞頓開。切比雪夫關(guān)懷青年學(xué)者的事例莫過于他對(duì)女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭(C. B.Korazeackan，1850—1891)的幫助與支持了。柯瓦列夫斯卡婭是一個(gè)傳奇性的女性，她為了獲得在俄國不可能得到的接受高等教育的權(quán)利，在十八歲那里從優(yōu)裕的家庭出走，與人締結(jié)形式婚約到德國上大學(xué)。后來她成為外爾斯特拉斯的入室弟子，1874年成為世界 上 第一個(gè)女?dāng)?shù)學(xué)博士。1879年，柯瓦列夫斯卡婭在第六次自然科學(xué)家和醫(yī)生代表大會(huì)上曾作《關(guān)于阿貝爾積分》的報(bào)告。兩年后在第七次大會(huì)上，她又報(bào)告了關(guān)于晶體中光線折射現(xiàn)象的結(jié)果。1888年又由于成功地解決了剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問題榮獲法蘭西科學(xué)院的布爾丁大獎(jiǎng)，成為轟動(dòng)一時(shí)的新聞。但是對(duì)于這位給俄國帶來世界聲譽(yù)的女學(xué)者，愚昧的沙皇政府卻以種種借口阻撓其回國工作，因?yàn)樗坏且粋€(gè)女人，而且具有強(qiáng)烈的民主主義傾向。這時(shí)，切比雪夫挺身而出，與布尼亞科夫斯基等人聯(lián)名向科學(xué)院推薦她為通訊院士。這一動(dòng)議在1889年11月16日的院務(wù)會(huì)議上引起了激烈爭論，最后以二十票對(duì)六票獲得通過。有趣的是，切比雪夫盡管對(duì)柯瓦列夫斯卡婭給予巨大的支持，他們?cè)趯W(xué)術(shù)上卻各持一端，每次見面都要爭得面紅耳赤。這種爭論，實(shí)際上是以外爾斯特拉斯為首的柏林?jǐn)?shù)學(xué)家同以切比雪夫?yàn)榇淼谋说帽?shù)學(xué)家之間分歧的表露。切比雪夫認(rèn)為外爾斯特拉斯只是抽象地提出問題，把積分從一種形式變換成另一種形式，最后并不能具體地解決問題；外爾斯特拉斯則批評(píng)切比雪夫忽略對(duì)一般規(guī)律的研究和陳述的規(guī)范化。應(yīng)該承認(rèn)，外爾斯特拉斯的批評(píng)是不無道理的。在函數(shù)逼近論的研究中，由于切比雪夫更多地把注意力放在找出具體的最佳逼近多項(xiàng)式上，而忽略了這種多項(xiàng)式是否一定存在的問題，正是外爾斯特拉斯后來證明了其存在性。聯(lián)系到切比雪夫在素?cái)?shù)定理的工作中也留下了一個(gè)存在性的尾巴，可以看出他在研究工作中相對(duì)薄弱的一個(gè)環(huán)節(jié)；就是過分強(qiáng)調(diào)實(shí)用性而不夠注意某些存在性問題。否則，以他的才力和知識(shí)面而言，定會(huì)取得更為輝煌的成就。這也是值得我們今日在處理理論與實(shí)踐關(guān)系時(shí)引以為鑒的。第六次代表大會(huì)是俄國數(shù)學(xué)界的空前盛會(huì)，一大批新人嶄露頭角，他們之中有的是彼得堡大學(xué)的畢業(yè)生，有的是得益于切比雪夫教誨的其他地方的青年學(xué)者，一時(shí)風(fēng)云際會(huì)、群賢一堂?？吹阶约号囵B(yǎng)出來的學(xué)生登上科學(xué)講壇，切比雪夫感到由衷的喜悅與驕傲。切比雪夫終身未娶，日常生活也十分簡樸，他的一點(diǎn)積蓄全部用來買書和制造機(jī)器的設(shè)備。每逢假日余暇，他也樂于同侄兒女們玩上一陣，但他最大的樂趣還是與青年人談?wù)摂?shù)學(xué)。1894年11月底，他的腿疾突然加重，思維也出現(xiàn)障礙，但他還是要求自己的研究生按時(shí)前來討論問題。1894年12月8日上午九時(shí)，這位令人尊敬的老人在自己的書桌前溘然長逝。他既無子女、也無金錢，但他給全人類留下了一筆不可估價(jià)的遺產(chǎn)——一個(gè)輝煌的學(xué)派。十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是學(xué)派的興起。誕生在資產(chǎn)階級(jí)大革命風(fēng)暴中的法蘭西學(xué)派仍然雄踞著數(shù)壇，他們勇于拋棄舊的框框，極富創(chuàng)造精神，在函數(shù)論、數(shù)學(xué)物理、群論和新的綜合幾何學(xué)方面占有巨大優(yōu)勢(shì)。具有哲學(xué)傳統(tǒng)的德國人特別注意數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題，“算術(shù)化”成了柏林學(xué)派的重要特征。另外，德國數(shù)學(xué)家不像法國同行那樣都集中在首都，波恩、萊比錫、哥廷根都有知名學(xué)者；尤其是最后這座城市，不久就要取代巴黎成為數(shù)學(xué)的耶路撒冷。英國人也開始從固步自封中覺醒，1812年在牛頓的母校有一群年輕人竟敢冒著褻瀆神圣的罪名去推廣大陸的微積分記號(hào)⑤，這一世紀(jì)中他們?cè)诖鷶?shù)方面獲得了巨大的成就。在文藝復(fù)興的故鄉(xiāng)，以幾何與拓?fù)錇橥黄瓶诘男乱獯罄麑W(xué)派正在成長……當(dāng)然，任何企圖用三言兩語來說明一個(gè)學(xué)派特點(diǎn)的作法都難免失于偏頗。衡量一個(gè)學(xué)派是否成熟，起碼應(yīng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)考察，這就是：(1)是否擁有德高望重的領(lǐng)袖和人才濟(jì)濟(jì)的陣容？(2)是否具有開拓性的工作和影響深遠(yuǎn)的成果？(3)是否形成了獨(dú)特的學(xué)術(shù)風(fēng)格?按照沃爾特拉(V.Volterra，1860-1940)的意見，新意大利學(xué)派誕生于1858年布廖斯奇(E. Brioschi，1824—1897)、貝蒂(E.Betti，1823-1892)到德、法兩國的工作旅行⑥。但是在俄國歷史上卻很難找到一個(gè)事件作為彼得堡學(xué)派呱呱落地的標(biāo)志。它可以遠(yuǎn)溯到歐拉的應(yīng)召前來，與布尼亞科夫斯基和奧斯特洛格拉德斯基留法回國從事教育也不無關(guān)系，但最終它是伴隨著切比雪夫幾十年舌耕筆耘的生涯成長壯大的，到十九世紀(jì)末俄國終于形成了一支可觀的數(shù)學(xué)攻堅(jiān)力量，切比雪夫是這一派學(xué)人當(dāng)之無愧的領(lǐng)袖。馬爾科夫和李雅普諾夫可謂切比雪夫的左膀右臂，他們分別于1878和1880年畢業(yè)于彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系。馬爾科夫在畢業(yè)的當(dāng)年即以連分?jǐn)?shù)解微分方程獲金質(zhì)獎(jiǎng)，一生著述七十余種。他在概率論中除了發(fā)展“矩方法”、擴(kuò)大了極限定理的應(yīng)用范圍外，還開創(chuàng)了一種無后效性隨機(jī)過程的研究，被人稱為馬爾科夫過程，在物理、化學(xué)、生命過程和公用事業(yè)中都得到廣泛的應(yīng)用。李雅普諾夫在數(shù)學(xué)物理中鉆研位勢(shì)理論，開拓了微分方程穩(wěn)定性理論的方向。他后來到哈爾科夫任教，使那里成為俄國又一個(gè)數(shù)學(xué)中心。科爾金和佐洛塔廖夫在函數(shù)通近論方面的貢獻(xiàn)我們已提到。他們分別是彼得堡大學(xué)1858年和1867年的畢業(yè)生，還曾合作解決了含五個(gè)變量的正定二次型的最小值問題，又都擅長代數(shù)與數(shù)論。索霍茨基(IO.B. Coxouxn，1842—1929)，1866年畢業(yè)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)論中的索霍茨基一外爾斯特拉斯定理，弄清了本性奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的函數(shù)質(zhì)談，還在極一般的條件下研究了柯西型積分的邊值問題。波瑟(K.A.Iocce,1847-1928)，1868年畢業(yè)，擅長于數(shù)學(xué)分析，在正交函數(shù)和定積分的計(jì)算方面有特殊的造詣。格拉維，1885年畢業(yè)，博士論文討論制圖投影，找到了球在平面上的所有可能的等效投影，證明了切比雪夫提出的關(guān)于在地圖上表示最佳投影的定理。以后專攻代數(shù)和群論，成為俄國在代數(shù)領(lǐng)域的開創(chuàng)者。伏羅諾伊(r.@.Boponon，1868-1908)，1889年畢業(yè)，博士論文是《連分?jǐn)?shù)算法的一個(gè)總結(jié)》，后與德國著名數(shù)學(xué)家閔可夫斯基(H、Minkowski，1864-1909)共同創(chuàng)立數(shù)的幾何學(xué)，在多角形理論和級(jí)數(shù)求和方面的工作也很出名。許多并非彼得堡大學(xué)出身的青年也深受切比雪夫的影響。交通道路學(xué)校的沙圖諾夫斯基(C.H. MaTyHoBcKni,1859—1929)為了聽切比雪夫的課，特意到彼得堡大學(xué)做旁聽生，后來成了敖德薩數(shù)學(xué)學(xué)派的先驅(qū)。海洋學(xué)院的克雷洛夫(A.H.Kpaaoa，1863-1945)利用切比雪夫提出的近似公式，得到船舶設(shè)計(jì)方面的重要結(jié)果。莫斯科大學(xué)的茹可夫斯基(H.E.Ky-xoecxxa， 1847—1921)在解析函數(shù)和偏微分方程方面曾得益于切比雪夫的指教，他后來成了現(xiàn)代流體力學(xué)的創(chuàng)始人和俄國航空之父。斯捷克洛夫(B.A.CrexoB，1864-1926)在哈爾科夫跟隨李雅普諾夫?qū)W習(xí)，在函數(shù)論、微分方程、數(shù)學(xué)物理方面都有出色貢獻(xiàn)，并成為彼得堡學(xué)派在十月革命以后的重要傳人。正是這些奮發(fā)有為的后起之秀們，把切比雪夫在概率論、數(shù)論和函數(shù)逼近論中開創(chuàng)的事業(yè)繼承下來，并將俄國數(shù)學(xué)在這三個(gè)領(lǐng)域中的優(yōu)勢(shì)一直保持到本世紀(jì)，又與微分方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、函數(shù)構(gòu)造、泛函分析、近似計(jì)算等分支縱橫交錯(cuò)、左勾右連，成為這一學(xué)派大顯身手的廣闊天地。那么，彼得堡學(xué)派獨(dú)特的風(fēng)格是什么呢？我們大致可以歸納成如下的四點(diǎn)：- 重視基礎(chǔ)理論、善于以經(jīng)典課題為突破口。
切比雪夫從經(jīng)典分析起家，在多重積分和泰勒級(jí)數(shù)方面做了一些工作后轉(zhuǎn)到概率論，并在一開始就抓住了當(dāng)時(shí)這門學(xué)科中最本質(zhì)的內(nèi)容大數(shù)定律和中心極限定理。由于熟悉歐拉等前代大師的著作，他在數(shù)論研究中能夠果斷地選擇意義重大的素?cái)?shù)分布問題作攻堅(jiān)對(duì)象。他對(duì)逼近論的研究則是建立在對(duì)實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)深刻的認(rèn)識(shí)上。這種重視基礎(chǔ)理論和經(jīng)典課題的作風(fēng)在他的后繼者們那里得到了進(jìn)一步地發(fā)揚(yáng)光大。維諾格拉多夫(H.M.Bna-orpanon，1891—1983)首創(chuàng)三角和方法研究哥德巴赫猜想，蓋爾方德(A.O.Tenbpaxa,1906-1968)解決希爾伯特(D.Hilbert，1862-1943)第七問題，柯爾莫哥洛夫奠立概率論的公理化基礎(chǔ)等事例，都可以說是這一傳統(tǒng)的突出表現(xiàn)。這是任何一個(gè)有成就的數(shù)學(xué)學(xué)派都具有的特點(diǎn)，只不過在切比雪夫和他的學(xué)生們那里更為明顯罷了，函數(shù)逼近論和機(jī)器設(shè)計(jì)的相得益彰就是最有說服力的例證。切比雪大對(duì)于有關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)果，總是追求精確的表達(dá)式，實(shí)在不能得出的則給出近似公式和誤差估計(jì)。著名的切比雪夫不等式是在看不出實(shí)際用途的數(shù)論領(lǐng)域中推出的，如今成了概率論中不可缺少的工具。他交給李雅普諾夫的旋轉(zhuǎn)液團(tuán)在平衡狀態(tài)下形狀的課題，導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的建立。3.擅長運(yùn)用初等工具建立高深的結(jié)果。從步入科學(xué)殿堂之初，切比雪夫的工作就顯示了簡單化和初等化的風(fēng)格。冪級(jí)數(shù)和連分?jǐn)?shù)在他手中運(yùn)用自如，常常在深?yuàn)W莫測(cè)的數(shù)學(xué)土壤上結(jié)出令人驚詫的奇花異果。馬爾科夫、伏羅諾伊以及后來的辛欽應(yīng)用連分?jǐn)?shù)于差分理論和復(fù)變函數(shù)，獲得許多有意義的結(jié)果。這種本領(lǐng)是建立在扎實(shí)的基本功和敏銳的洞察力的基礎(chǔ)上的。4.以大學(xué)為陣地，科研與教學(xué)密切結(jié)合。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)學(xué)派一樣，彼得堡學(xué)派是深深地扎根在大學(xué)的沃土上的。切比雪夫從年輕的大學(xué)生那里汲取創(chuàng)造的靈感，學(xué)生們則從他那里得到啟發(fā)。切比雪夫和他的弟子們從不把教學(xué)看成是科研的負(fù)擔(dān)，而是力圖在課堂上向?qū)W生們闡明最新的科學(xué)思想。斯捷克洛夫?qū)钛牌罩Z夫的第一堂課有過生動(dòng)的描述：“這一位與我們班上同學(xué)中差不多同年的青年人··…在一個(gè)鐘頭內(nèi)征服了這批懷有偏見的聽眾?！?sup>⑦而根據(jù)李雅普諾夫當(dāng)年的聽課筆記整理的切比雪夫的概率論講義，出版后成了這門學(xué)科的重要文獻(xiàn)。十月革命以后，以斯捷克洛夫?yàn)槭椎囊慌鷶?shù)學(xué)家響應(yīng)列寧的號(hào)召，積極擁護(hù)新生的蘇維埃政權(quán)，并團(tuán)結(jié)留在國內(nèi)的著名科學(xué)家組成了莫斯科數(shù)學(xué)物理研究所。后來該所一分為二，數(shù)學(xué)研究所即以斯捷克洛夫命名。隨著蘇維埃政權(quán)的鞏固與成長，一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家逐漸集中到該所和莫斯科大學(xué)來，因此出現(xiàn)了莫斯科學(xué)派的說法，它與彼得堡學(xué)派是一脈相承的。除此之外，在哈爾科夫、基輔、喀山、敖德薩、梯比里斯等城市也相繼出現(xiàn)了數(shù)學(xué)中心，列寧格勒大學(xué)(原彼得堡大學(xué))則繼續(xù)不斷地培養(yǎng)出第一流的數(shù)學(xué)人才。今日蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界的頭面人物，不管其工作基地在哪個(gè)加盟共和國哪個(gè)城市，他們都以能被稱為彼得堡學(xué)派和切比雪夫的繼承人為無上的榮耀。上個(gè)世紀(jì)后半葉，切比雪夫和他的學(xué)生們以堅(jiān)韌不拔的精神和勇攀高峰的氣概，終于使俄國數(shù)學(xué)從一窮二白的境地中掙脫出來，并在若干領(lǐng)域內(nèi)走到了世界的前列?？疾烨斜妊┓蚝捅说帽W(xué)派的歷史，對(duì)于我們當(dāng)前學(xué)習(xí)和引進(jìn)外國的先進(jìn)科學(xué)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)科學(xué)技術(shù)現(xiàn)代化，對(duì)于我們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域選擇突破口、充分發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)立一個(gè)有特色的中國數(shù)學(xué)學(xué)派無疑是有意義的。①分別由德國人格列爾(L. Grelle，1780—1855)于1826年、法國人劉維爾(J. Liouville,1809-1882)于1836年所創(chuàng)辦。②貝特朗（J.Bertrand，1822—1900)是法國數(shù)學(xué)家，他提出的在圓內(nèi)作弦、使其長超過內(nèi)接等邊三角形邊長的概率問題，從不同的思考角度出發(fā)可以得到三種互相矛盾的結(jié)果。③1896年，法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)馬(J.lladamard，1865—1963)把歐拉和切比夫應(yīng)用在實(shí)數(shù)范圍的ξ函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，用復(fù)變量的整函數(shù)理論證明了極限的存在性，從而最終完滿地證明了素?cái)?shù)定理。④相傳公元前五世紀(jì)，古希臘德羅斯島盛疫流行，人們求告于阿波羅神消災(zāi)除難，祭司借神之口說，“爾等須把神殿前的立方體祭壇擴(kuò)充一倍?！边@就是有名的“倍立方”問題，它與“三分角”、“化翻為方”一起，成為古希臘數(shù)學(xué)史上著名的三大作圖難題，直到十七世紀(jì)以后才被人證明為不可解的。⑤指劍橋大學(xué)的皮考克(C.Peacock，1791-1856)、拜比吉(C. Babbage，1792—1871)、小赫歌耳(J. F. W.Hershel，1792—1871)等人發(fā)起的分析學(xué)會(huì)和推廣萊布尼茨(W.Leibniz，1646-1716)符號(hào)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。由于類、德數(shù)學(xué)界長期以來為微積分的發(fā)明權(quán)爭吵不休所以這一運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)遭到保守勢(shì)力的強(qiáng)烈攻擊，后來終于獲得勝利。⑥布塞斯奇、貝蒂都是意大利學(xué)派的創(chuàng)始人，這一學(xué)派幾乎與彼得堡學(xué)派同時(shí)形成，其代表人物還有克雷蒙納、貝特拉米(E. Beltrami，1835—1900)，沃爾特拉則是這一學(xué)派的第二代數(shù)學(xué)家。 ⑦B.N.斯米爾諾夫：“亞歷山大·米哈依羅維奇·李雅普諾夫傳略”，見《中學(xué)數(shù)學(xué)》第二期，1957年。 [1] B. E. Mpyaxaxos: M. I. He6umen, yeust Ieraror, Mocxsa (1950, 1964).[2] Ch. C. Gillispie 主編：Dictionary of Scientific Biography, New York (1971), Vol. Ⅲ, pp. 222-232.[3] bonbman CoBeTckaR3HuXKnoneAg8,MocKBa(1978).[4] A. A. 3Bopuxn 主編：Baorpawqeckn Cnosap learexet EcTeCTBO3HAHNA H TexHax, Mockaa(1958，1959).[5]A. A.亞歷山大洛夫等主編；《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》中譯本，第二卷，科學(xué)出版社，1963年。
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