狀態(tài)估計的目的是從受到噪聲污染或者干擾的觀測信號中，消除噪聲以及干擾的影響，準確獲得最優(yōu)的系統(tǒng)狀態(tài)[1]。典型的濾波算法是采用卡爾曼濾波器(Kalman filter, KF)，其假設量測噪聲已知且服從單一高斯分布。但在實際過程中，量測噪聲不僅包含概率特性未知的隨機噪聲[3]，還可能存在邊界未知的有界噪聲[4,5]。例如GPS/INS組合導航系統(tǒng)中，GPS解算誤差屬于非高斯隨機噪聲，而INS誤差是已知其邊界的有界噪聲。

紫金礦業(yè)9月17日晚間發(fā)布消息宣布，公司與塞爾維亞共和國在北京簽訂協(xié)議，將投資3.5億美元以獲得塞爾維亞銅礦開采及冶煉企業(yè)RTB Bor 63%的股份。

對于存在未知隨機噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)估計，主要采用自適應濾波技術[6]，該方法是一種基于貝葉斯理論的遞歸估計處理策略。需要已知隨機變量的概率統(tǒng)計特性，并在遞歸計算噪聲參數(shù)的同時進行狀態(tài)估計。其包括狀態(tài)增廣法[7]、交互式多模型理論[8]以及序貫蒙特卡洛方法[9]。另一類方法是基于期望最大（Expectation Maximization, EM）理論的批處理技術[10]，從包含有隱變量的量測數(shù)據(jù)中計算最大似然參數(shù)。對于包含未知但有界（Unknown-But-Bounded,UBB）噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)估計，由于噪聲統(tǒng)計特性未知，僅已知噪聲所在范圍的邊界信息，通常采用集員濾波（Set membership filter, SMF）[11]進行求解，與概率方法不同，其以包含系統(tǒng)真實狀態(tài)的外定界橢球集合為基礎，估計得到的是狀態(tài)變量的可行集而不是后驗概率密度，該可行解集由與系統(tǒng)模型、初始狀態(tài)和UBB噪聲假設相一致的所有狀態(tài)點構成。

上述方法僅針對存在某一種不確定噪聲進行計算，對于兩種或多種未知噪聲同時存在的混合不確定噪聲系統(tǒng)，一方面非高斯噪聲存在致使集員濾波器選取噪聲邊界困難，過小的噪聲邊界造成估計精度下降；另一方面，因集員噪聲統(tǒng)計特性為均勻分布，采用相應的貝葉斯濾波算法則無法獲得其解析解。解決混合噪聲條件下的狀態(tài)估計問題的核心是如何將兩類不確定噪聲進行統(tǒng)一描述?，F(xiàn)有方法主要包括三類，一種是基于序貫蒙特卡洛采樣理論。Zou[12]提出箱粒子濾波算法（Box-Particle filter, BPF），該方法在粒子濾波基礎上結合區(qū)間分析理論對非高斯噪聲干擾下的狀態(tài)進行估計，但受到箱粒子數(shù)目的影響，越大的箱粒子數(shù)目，算法運行時間越長。一種是基于隨機集合理論[13-15]，將加性集員不確定納入廣義似然函數(shù)中。Handbeck[16]利用融合隨機集合提出統(tǒng)計與集合理論信息濾波器（Statistical and Set theory Information filter,SSI），傳統(tǒng)單一的濾波方法得到的值是SSI估計器的邊界情況，即當隨機誤差消失，其收斂于集合估計；當有界誤差為零，其收斂于貝葉斯估計。對于混合噪聲，其估計結果是統(tǒng)計狀態(tài)下具有不確定邊界的解集。胡斌[17]將隨機觀測集看作量化單元，根據(jù)量測集識別理論對于量化單元進行計算。另一種策略是非精確概率描述[18,19]，其用概率密度函數(shù)的閉型凸集對混合噪聲進行構建。Noack[20]將混合不確定噪聲表示為概率密度的集合，將系統(tǒng)狀態(tài)轉移與似然密度的信度需求分別擴展到狀態(tài)轉移與似然密度凸集的形式，提出信度狀態(tài)濾波器（Credal state filter, CSF）。Klumpp[21]對基于隨機集合的SSI濾波器和基于集合概率密度的CSF進行了比較，CSF估計結果相比SSI更保守。此外，Ginger[22]結合序貫蒙特卡洛理論提出非精確采樣概念，運用混合非精確采樣集合對非精確量測進行建模，并在貝葉斯框架下通過集員理論中有界支撐傳播非精確信息。但該方法對參數(shù)具有較強的敏感度。Henningsson[23]根據(jù)控制中觀測器的思想，用橢球包含混合噪聲中有界集合部分的估計誤差，并通過線性矩陣不等式得到最優(yōu)濾波增益，該算法的性能受到一個權系數(shù)的影響，而該系數(shù)的取值取決于實際系統(tǒng)總體噪聲中隨機不確定和有界不確定的某種權重關系，但一般這種權重關系并不明確。江濤[24]提出混合噪聲的聯(lián)合濾波算法（Combined filter, CF），其將統(tǒng)計特性未知但有界的噪聲引入到卡爾曼濾波模型中，得到一組包含集合運算的卡爾曼濾波方程。其中UBB噪聲應用SMF的思想進行處理，而隨機噪聲應用卡爾曼濾波的思想進行處理。該算法問題在于統(tǒng)計噪聲為參數(shù)已知的高斯分布。

本文針對未知隨機不確定噪聲和有界不確定噪聲共同存在下的狀態(tài)估計問題，提出基于混合噪聲框架的狀態(tài)估計方法，將隨機和有界不確定噪聲運用未知參數(shù)的混合統(tǒng)計噪聲模型進行描述，將混合噪聲條件下的狀態(tài)估計問題描述為未知參數(shù)聯(lián)合統(tǒng)計噪聲條件下的參數(shù)與狀態(tài)的估計問題，并設計變分期望最大算法求解其狀態(tài)及噪聲參數(shù)。

1 系統(tǒng)模型

假設含有隨機噪聲和有界噪聲的不確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

龐莊水庫位于太谷縣城東南約20 km處，總庫容2 300萬m3，興利庫容1 315萬m3，設計年供水量408萬m3。水庫流域面積278 km2，其中，砂頁巖石山區(qū)208.5 km2，占75%，砂頁巖土石山區(qū)69.5 km2，占水庫流域面積的25%。水庫最大水面1.13 km2，庫區(qū)庫岸線呈帶狀，蜿蜒迂回。

其中xk為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)向量， xk ?Rn；wk為零均值，方差為 Qk的高斯過程噪聲，其中 Qk為非負正定協(xié)方差矩陣。zk為k時刻的系統(tǒng)量測，vk +ek 為混合測量噪聲，其中vk為零均值非高斯隨機量測噪聲，ek為UBB噪聲， ek ∈Ek?Rm，Ek為邊界未知的有界集合。假設在上述模型中， ek= 0，即量測噪聲為典型的隨機模型，該模型可以用卡爾曼濾波器進行求解。

隨機、集員和混合不確定統(tǒng)計特性模型的概率密度函數(shù)表示如圖1所示。由于有界和隨機并沒有嚴格的劃分，兩者可以近似轉換。對于有界噪聲，若利用統(tǒng)計特性進行表述，則高斯白噪聲方差σ為有界噪聲邊界的1/3倍[24]。

（3）醫(yī)院的管理層和職工個人，過于看重醫(yī)療、科研、教學等工作給醫(yī)院帶來的經(jīng)濟效益和社會效益，給個人帶來的金錢、名譽和地位。往往忽視了科室精神文明建設和個人精神道德修養(yǎng)的重要性?？剖覍裎拿鹘ㄔO的資金、設施，時間和精力投入不足，導致各項工作的開展缺乏有力的精神支持，和思想保障。

圖1 隨機與集員混合模型
Fig.1 Combined stochastic and set-membership model

基于該特性，有界不確定噪聲可近似描述為參數(shù)未知的高斯噪聲，并構建兩種不確定噪聲的混合高斯模型。

由于高斯混合項中含有隱變量、且每個高斯分布的均值、方差和權重系數(shù)均未知。若采用貝葉斯方法估計，則需考慮參數(shù)先驗分布。對于混合權重系數(shù) lα，其先驗為Dirichlet分布[10]。

其中λ0是濃度參數(shù)。噪聲高斯項均值和方差的先驗服從Gaussian和Wishart分布。

其中υ0為Wishart分布的自由度，? 0為精度矩陣。

令 Θ =[α,μ, Σ, S]，本文的目的是在已知觀測集合Z ={z1 ,z2,… , z N }的情況下，求解最優(yōu)系統(tǒng)狀態(tài)X ={ x 0 ,x1,… x n }和參數(shù)集合Θ的最大后驗分布。

由狀態(tài)空間模型可知：

系統(tǒng)的似然函數(shù)為：

2 變分EM濾波算法

2.1 變分貝葉斯學習

對于未知參數(shù)Θ的估計，若系統(tǒng)量測Z已知，則根據(jù)貝葉斯規(guī)則：

一般情況下，邊緣概率密度函數(shù)p(Z)的積分形式復雜，難以求得其解析解，導致難以得到參數(shù)后驗概率密度函數(shù)的解析表達式 p(X, Θ|Z)。針對這一問題，根據(jù)先驗分布滿足共軛指數(shù)分布族，變分貝葉斯（Variation Bayesian, VB）理論提出構建一個新的分布q(X,Θ)去逼近真實后驗分布 p(X, Θ|Z)，無需給定其概率密度函數(shù)形式，表達形式與p(X, Θ|Z)一致，區(qū)別在于參數(shù)不同。故邊緣似然函數(shù)的log形式表示為：

15年來，浙江省氣象部門在生態(tài)環(huán)境氣象研究領域，取得了歷史性成績。一系列驕人的研究成果相繼涌現(xiàn)，一篇篇優(yōu)秀的成果論文在《浙江氣象》期刊上相繼呈現(xiàn)。例如，代表作有：(1)“氣候生態(tài)環(huán)境監(jiān)測預警系統(tǒng)建設探討”(苗長明、王守榮著，2004年第4期)；(2)“浙江省大氣水平能見度氣候特征分析”(胡云麗、陳斌著，2016年第1期)；(3)“杭州AQI的分布特征及其與氣象條件相關性分析”(張霏燕、黃哲、查賁、沈杭峰著，2016年第3期)，等等。

主動脈瓣狹窄：可見明顯加快的主動脈瓣向速度，患者收縮期最大開放幅度低于16毫米；主動脈瓣關閉不全：舒張期可見主動脈瓣下返流信號，關閉間隙不小于2毫米；瓣環(huán)及二尖瓣鈣化：可見明顯增強瓣環(huán)以及二尖瓣回聲，厚度不低于3毫米；主動脈瓣鈣化：主動脈瓣葉僵硬，增厚幅度不小于3毫米，活動明顯受限[3]。

其中，自由能量函數(shù) F (q(X,Θ)是logp(Z)的下界函數(shù)[6]。K L( q(X , Θ) ||p(X , Θ |Z))為q(X,Θ)和 p(X,Θ|Z)之間的Kullback-Leibler散度，其用來衡量兩個概率分布之間的差異。因KL散度非負，由式(11)可知，只需使KL散度最小，求最大化自由能量函數(shù)max F (q(X,Θ) )，即可獲得最佳近似分布。為了使模型參數(shù)可求，VB采用均值域逼近理論將多變量聯(lián)合概率分布近似逼近為各個變量邊緣分布的乘積[25]。q(X,Θ)的表達式如下：

對于每一個參數(shù)的近似分布 q( Θ i )對KL散度

求偏導，即可求得 q(Θ i )的通解表達式

對于智庫的理解，世界最著名的智庫蘭德公司創(chuàng)始人弗蘭克·科爾博莫做出過這樣的定義：嚴格意義上的智庫可以簡單概括為是一個獨立于政府機構的民間組織；他強調真正的智庫應該是一個“思想工廠”；一個可以沒有學生的大學；一個有明確、堅定目標和追求卻又能無拘無束、“異想天開”的頭腦風暴中心；一個勇于超越現(xiàn)有一切智慧、勇于挑戰(zhàn)和蔑視現(xiàn)有權威的“戰(zhàn)略思想中心”。

式中是聯(lián)合概率密度函數(shù)相對于除第j個參數(shù)外的其余參數(shù)的聯(lián)合期望。由于自由能量函數(shù) F (q(X,Θ) )服從共軛指數(shù)分布族，其是關于所有 q( Θ i )的凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的性質[26]，自由能量函數(shù)必定收斂。依據(jù)廣義貝葉斯準則，系統(tǒng)的聯(lián)合分布為：

2.2 變分EM估計策略

由于在聯(lián)合后驗概率分布計算過程中，所求參數(shù)相互耦合。故本文將EM理論中參數(shù)迭代計算后驗參數(shù)思想引入VB理論，設計參數(shù)耦合更新策略，通過反復迭代求解最大期望。在變分貝葉斯期望（Variational Bayesian expectation, VBE）步驟中，利用前向-后向遞推算法計算隱變量的后驗，并在變分貝葉斯最大化（Variational Bayesian maximization, VBM）步驟中對模型超參數(shù)進行更新。

A 變分貝葉斯期望步驟

根據(jù)文獻[25]，利用前向遞推算法求解隱變量的充分統(tǒng)計量，通過輸入隱馬爾可夫模型參數(shù)矩陣以及觀測序列計算該序列發(fā)生的概率。假設ak ( x k ) =p( x k |z 1 :k )為隱變量的后驗概率密度，結合公式(14)可知狀態(tài)xk的邊緣后驗為：

其中 ζ k = p( z k |z k -1)為歸一化因子。a( x k )中關于xk-1邊緣概率密度函數(shù)滿足高斯分布形式，其均值為，方差為 經(jīng)過簡化：

將上式帶入式(15)中，并對式(15)進行邊緣化處理，使其只含有隱狀態(tài)xk項，便能夠計算高斯分布的均值θ k和方差 Ωk，如下所示

與前項遞推濾波過程不同，后向濾波根據(jù)觀測量z k+1:N 估計現(xiàn)有狀態(tài)xk的后驗，采用并行遞推的形式實現(xiàn)。假設 bk ( x k ) =p( z k +1:N |x k )，xk滿足終止條件bN ( x N ) = 1。則：

與 ak ( x k )類似，b( x k )同樣滿足高斯分布的形式，則：

隨著工業(yè)4.0的發(fā)展，人機交互、大集成、遠程訪問和路由產品將受到越來越多的關注，通信產品的部署也將更加智能化，對大量信息的集中化管理以及處理能力的要求也將越來越多。

近似分布 q( xk )的后驗概率密度計算采用前向-后向聯(lián)合濾波，如下所示：

則系統(tǒng)狀態(tài)后驗的充分統(tǒng)計量為：

B 變分貝葉斯最大化步驟

一旦獲得隱變量的最大后驗分布，在VBM步驟中需要計算系統(tǒng)模型的超參數(shù)。由于參數(shù)變量空間維度高導致其計算困難，所提算法利用近似邊緣分布去分別逼近其統(tǒng)計特性。根據(jù)共軛指數(shù)分布的性質[26]，高斯混合模型參數(shù)的近似邊緣分布定義為：

其中和為系統(tǒng)模型超參數(shù)。

有一種宗教是世俗的，那就是伊斯蘭教。 學者馬德鄰說：“世界上還沒有任何宗教像伊斯蘭教那樣，具有廣泛的民族性，也沒有一種宗教像伊斯蘭教那樣世俗化。”[1]125 因為在伊斯蘭教的教理教義里，我們“很難分清……什么是宗教性的東西，什么是世俗性的東西”[1]125。 這種觀點近年來遇到了挑戰(zhàn)。 “伊斯蘭基要主義者認為世俗主義是反伊斯蘭的、有違教法的，故而全盤否定了它?！盵2] 伊斯蘭大會黨的創(chuàng)始人毛拉納·毛杜拉也說：“參與世俗政治的人所高舉的旗幟在背離安拉和他的使者?！盵2]

對于高斯混合模型系數(shù) α l的推理，假設其變分后驗分布與先驗分布形式相同，均滿足Dirichlet分布，根據(jù)式(13)(14)，對聯(lián)合概率密度函數(shù)的近似分布取對數(shù)后為：

由于混合系數(shù)的后驗概率密度形式與先驗相同，經(jīng)過變分推斷：

同理，對于混合噪聲高斯項均值 μl和方差Σl的聯(lián)合概率密度函數(shù)近似分布取對數(shù)：

（3）各管理部門規(guī)范不一，監(jiān)管手段有限。三省海事行政執(zhí)法依據(jù)不統(tǒng)一，廣西作為直屬海事機構，嚴格執(zhí)行交通運輸部海事局有關規(guī)定，云南、貴州海事有自己的一套處罰標準。在天生橋庫區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)非運輸船舶監(jiān)管上，鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府對本應納入其管理的鄉(xiāng)鎮(zhèn)非運輸船舶監(jiān)管不夠重視，遲遲未落實落地《鄉(xiāng)鎮(zhèn)非運輸船舶管理辦法》各項條款，而海事部門出于水上交通安全整體考慮，對此又不能完全置之不理，各海事部門對此類船舶監(jiān)管手段不一，廣西海事尚不能對鄉(xiāng)鎮(zhèn)非運輸船舶進行處罰，而云貴海事依據(jù)本省法規(guī)條款可以進行處罰，但面對眾多鄉(xiāng)鎮(zhèn)非運輸船舶，面對良莠不齊的船員，云貴海事靠其自身，尚有很多無奈。

其中Tr(·)表示矩陣的跡，根據(jù)式(6)，q(μ l , Σ l )的后驗分布為高斯威沙特分布的形式。首先考慮均值 μl：

上式展開后，合并關于 μl的同類項，得到新的高斯分布 q(μ l |Σ l ) =N(μ l |m l ,(β l Σ l )-1)，其中：

與混合系數(shù)的計算類似，上式為遞推形式。由式(6)可知， lμ和Σl相互耦合，無法利用式(30)直接進行求解。因此，采用兩者聯(lián)合概率密度函數(shù)減去 lμ的概率密度函數(shù)。

從醫(yī)藥企業(yè)自身而言，通過制定嚴格的企業(yè)內部管理規(guī)范、成立行業(yè)協(xié)會共同監(jiān)察管控等形式，使其在一定程度上接受道德方面的約束。此外，由于博弈中信息不對等的必然存在，使得企業(yè)之間的信任在一定程度上具有不確定性和不穩(wěn)固性，這也給企業(yè)承擔社會責任帶來一定的困難。故，盡管已經(jīng)有上述規(guī)范要求，但目前部分醫(yī)藥企業(yè)社會責任依舊意識淡薄，社會責任觀念缺失：如藥品質量不夠穩(wěn)定、療效確切廉價藥品供給不足、藥價虛高、忽視藥品不良反應檢測等。其中藥品質量和信息傳遞問題最為突出，嚴重影響患者的生命安全。

對上式中跡矩陣進行合并簡化，其中高斯混合項方差的后驗近似分布為，則：

建筑施工材料的質量檢測報告要具有公開透明屬性，使質量檢測結果能夠在檢測行業(yè)和施工單位中得到傳播。對于那些檢測結果不合格的文件更應該在相關部門之中被分享討論，這樣做的目的旨在提高質量監(jiān)督體系的合理性和權威性。

1.2.1 常規(guī)護理 ①給患者良好的環(huán)境。保持病室內的潔凈,對醫(yī)院環(huán)境進行介紹,讓患者盡快熟悉。②嚴密監(jiān)測患者病情。增加對患者生命體征、神志、末梢血液循環(huán)及尿量性狀的檢查次數(shù)。③指導日常生活。指導患者每天攝入足夠的維生素、蛋白質、鐵、鈣,并控制鈉鹽的攝入量;患者左側臥休息以防胎兒宮內窘迫。④用藥護理。對硫酸鎂的用法和注意事項給予關注,觀察患者的不良反應,及時通知醫(yī)生處理。⑤產時護理。穩(wěn)定患者的情緒,對患者的血壓和脈搏進行監(jiān)控,做好新生兒的搶救準備,娩出胎兒2小時內要預防產后出血。⑥產后護理。對患者的產后宮縮情況進行了解,按摩子宮,促進宮縮,防止出血。

至此，式(24)-(36)為VBEM算法的狀態(tài)及參數(shù)更新方程。式(24)(25)中狀態(tài)均值與方差的計算與超參數(shù)有關，式(33)(35)中超參數(shù)的更新與狀態(tài)均值、方差同樣相關，相互耦合。在VBEM中，需要迭代求解狀態(tài)與參數(shù)，直至達到收斂。該方法與EM算法類似，其均是尋求能量函數(shù)關于隱變量分布最大值的方法。不同之處在于，EM算法在期望最大化步驟中，并未賦予參數(shù)任何先驗信息，而是作為未知隨機變量進行計算。而VBEM算法考慮參數(shù)近似后驗分布q(Θ)，對參數(shù)的超參數(shù)進行更新計算。若將所求參數(shù)分布假設為Dirichlet函數(shù)，則VBEM對概率模型參數(shù)進行點估計求解，所提出的VBEM算法簡化為EM算法。

3 仿真驗證

為了驗證所提算法的有效性，分別采用卡爾曼濾波器（KF），聯(lián)合濾波（CF），箱粒子濾波算法（BPF）以及VBEM算法對GPS/INS松耦合系統(tǒng)開展仿真實驗。取東北天地理坐標系為導航坐標系，以INS誤差作為狀態(tài)變量，GPS和INS的位置差作為觀測變量，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

其中x=[φE,φN,φU, δV E, δV N, δV U,δL ,δλ,δh,εE,εN,εU,?E,?N,?U ]T， φE、 φ N和φU為姿態(tài)誤差角；δV E 、δVN和 δV U為東北天向的速度誤差；δL、δλ和δh為經(jīng)緯度及高度誤差，εE、εN與εU為陀螺的一階馬爾科夫漂移誤差；?E、?N與 ?U 為加速度計零點漂移誤差。F為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣。

系統(tǒng)量測方程為：

其中z=[VE G -VE I ,VN G -VN I ,VU G -VU I ,LG -LI ,λG - λI ,hG -hI ]T； LG、LI、 λG、 λI、hG、hI分別為GPS和INS觀測的位置信息；VEG、VEI、VNG、VNI、VUG、VU I 分別為GPS和INS獲得的速度分量，H k =[03×3,I6×6,03×3]為觀測矩陣。

模擬車輛在二維空間運動，其行駛軌跡如圖2所示。車輛初始位置為北緯34.246 °，東經(jīng)108.909 °，初始速度為10 m/s；初始姿態(tài)為方位角0 °，俯仰角為0 °，橫滾角為0 °。仿真時間為600 s。vk為服從Student-T分布的隨機噪聲序列，均值為0，自由度為1，協(xié)方差矩陣δL = δλ = 10-5(°)。ek =[ e k , L , ek ,λ]T 為 量 測 UBB噪 聲 ，ek ,L ,ek ,λ ?[-1 ,1]× 1 0- 4(°)。

圖2 車輛真實軌跡
Fig.2 Trajectory of the vehicle

變分EM算法的超參數(shù)初始值和迭代次數(shù)Nmax=100。

然而一步又一步，一個彎又一個彎，山洞仿佛無窮無盡，洞腹沒有變寬，也沒有變窄，四壁依舊是光滑的刀劈斧削過的緋石。如果不是熊熊燃燒的火把在一點一點變短，說明時間在流逝，一定會有“鬼打墻”一般的感覺吧?！翱礃幼?，我們只能用一根火把了?！痹舱f，他讓李離、吳耕滅掉了手中的火把，只留下上官星雨一個人舉火在前面照著路。

圖3為四種算法100次蒙特卡洛仿真實驗下的經(jīng)緯度的誤差結果。從圖中可以看出，對于同時存在未知參數(shù)統(tǒng)計噪聲和未知邊界的有界噪聲的組合導航系統(tǒng)，變分EM算法的經(jīng)緯度均方根誤差明顯低于其他三種算法。主要原因是VBEM將混合噪聲建模為未知參數(shù)的高斯混合模型，進行聯(lián)合估計。而KF算法僅針對量測噪聲參數(shù)已知的高斯分布模型。因此，結果存在較大偏差，估計性能不足。另外，CF算法與BPF算法均是采用區(qū)間分析策略，該策略需要已知噪聲的上、下界。由于噪聲模型有偏，不準確的噪聲邊界設定造成估計結果出現(xiàn)誤差。表1為四種算法的經(jīng)緯度均方根誤差(RMSE)統(tǒng)計表。

圖3 不同算法的經(jīng)緯度誤差
Fig.3 The latitude and longitude errors from different method

表1 四種算法的經(jīng)緯度誤差統(tǒng)計表
Tab.1 Statistical table of latitude and longitude error

算法 KF CF BPF VBEM緯度RMSE/m 1.6021 1.3926 1.3259 0.2673經(jīng)度RMSE/m 1.8002 1.7857 1.6125 0.6970

從表中可以看出，VBEM算法相比于KF，CF和BPF在緯度的平均均方根誤差分別下降了83.32%、80.81%和79.84%。在經(jīng)度方面，VBEM算法相比于KF，CF和BPF平均均方根誤差分別下降了61.28%、60.97%、56.78%。

本文對算法的運算時間進行了分析，表2為四種算法的相對運算仿真時間對比，令卡爾曼濾波算法運算時間為單位1。由表2可知，本文所提算法雖然相比于KF，CF具有較長的運算時間，但明顯低于基于蒙特卡洛理論的BPF算法。

表2 四種算法的相對運行時間
Tab.2 The running time of different method

算法 KF CF BPF VBEM相對時間 1 1.602 743.891 244.162

為了驗證VBEM算法中相關參數(shù)對系統(tǒng)的影響，分別從初始量測噪聲均值以及精度矩陣對系統(tǒng)影響角度進行了分析。圖4為不同初始噪聲均值mL，mλ下的經(jīng)緯度誤差。從圖中可以看出，在噪聲初始均值不相同的情況下，采用變分EM算法均可使系統(tǒng)收斂。初始噪聲均值越貼近真實值，其經(jīng)緯度誤差越小。圖5為不同初始精度矩陣Λ下的濾波結果。可以看出，初始噪聲方差越接近真實值，經(jīng)緯度的均方根誤差越小，主要是因為VBEM參數(shù)遞歸中需要引入初始噪聲參數(shù)進行計算，較大誤差的先驗信息會對濾波系統(tǒng)造成干擾。

圖4 不同初始噪聲均值下的經(jīng)緯度誤差
Fig.4 The latitude and longitude errors from different initial noise means

圖5 不同初始精度矩陣下的經(jīng)緯度誤差
Fig.5 The latitude and longitude errors from different initial precision

為了說明所提算法中遞歸循環(huán)次數(shù)對系統(tǒng)的影響，進行了相關驗證。采用不同迭代次數(shù)分別計算整個濾波過程的均方根誤差。從圖6中可以看出，所提算法的收斂效果受到迭代次數(shù)的影響。迭代次數(shù)越低，相對應濾波算法的誤差越大。迭代次數(shù)為20時，在遞歸計算過程中自由能量函數(shù)并沒有達到最大，造成估計結果有偏。

圖6 不同迭代次數(shù)下的經(jīng)緯度誤差
Fig.6 The latitude and longitude errors from different iteration times

3 結 論

針對混合不確定量測噪聲條件下的狀態(tài)估計問題，提出基于變分貝葉斯期望最大理論的魯棒濾波算法。由于隨機噪聲統(tǒng)計特性與有界噪聲邊界參數(shù)均未知，若僅采用基于統(tǒng)計信息或基于區(qū)間分析的策略，易造成誤差偏移。因此，本文將隨機不確定噪聲與未知有界噪聲運用未知參數(shù)的高斯混合模型進行統(tǒng)一表示，通過變分期望算法對模型隱變量進行推理，同時運用變分最大化算法更新模型參數(shù)。最終獲得狀態(tài)估計結果。仿真試驗結果表明，在含有混合不確定噪聲的情況下，所提算法具有較高的估計精度。鑒于變分EM具有較強的自適應性，未來考慮非線性系統(tǒng)模型以及具有復雜時變特性的隨機及有界噪聲模型。

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