本題選自2022年黑龍江大慶的中考數(shù)學(xué)填空壓軸題。以正方形為背景，比較綜合，難度中等。是一道典型的正方形綜合題，值得研究。
（2022·大慶）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的2倍．連接DE，DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N，給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE＝2，CF＝3，則EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，則MN＝4；④若MN/AM＝2，BE＝3，則EF＝4．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
本題難度其實(shí)不算大，但是正確的結(jié)論太少，所以容易自我懷疑，導(dǎo)致錯(cuò)誤。本題的關(guān)鍵條件是正方形ABCD的周長(zhǎng)為△BEF周長(zhǎng)的2倍。其實(shí)翻譯過來的意思是△BEF的周長(zhǎng)等于AB與BC的和，也就是說BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF，那么就可以得到EF=AE+CF，這就是典型的正方形半角模型的結(jié)論。有了上面的線段數(shù)量關(guān)系，可以得到∠EDF=45°，也就是說∠EDF=1/2∠ADC，也就是大家說的半角模型。證明的方法比較簡(jiǎn)單，而且常見，就是旋轉(zhuǎn)或者截長(zhǎng)補(bǔ)短的方式。具體如下圖所示：
如上圖，EF=AE+CF，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F′，是的AF′=CF，那么就可以得到兩個(gè)△ADF′≌△CDF（SAS），進(jìn)而再證明△DEF′≌△DEF（SAS），那么就可以得到結(jié)論，也就是說∠EDF=∠EDF′=45°。而且還可以得到∠DEF=∠DEF′，∠DFE=∠DFC等。
①由上面的分析可以得到，若AE＝2，CF＝3，則EF＝5，題目結(jié)論錯(cuò)誤。②如下圖所示，可以發(fā)現(xiàn)這里面有較多的45°角，那么就可以得到∠DMN=∠CFN，進(jìn)而得到∠DFE=∠CFN=∠DMN，那么就可以得到∠EFN+∠EMN=180°，也就說說點(diǎn)E、F、N、M四點(diǎn)共圓。
③本結(jié)論也是比較常見的問題，其實(shí)是由等腰直角三角形的半角模型得到的。也就是可以得到AM2+CN2=MN2，證明方法也是用旋轉(zhuǎn)等。如下圖所示： 
如上圖，將△ADM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDM′，進(jìn)而證明△DMN≌△DM′N（SAS），再得到MN=M′N，AM=CM′，△CM′N為直角三角形，所以就可以得到結(jié)論了。 根據(jù)勾股定理，若AM＝2，CN＝3，則MN＝√13，與結(jié)論矛盾，故錯(cuò)誤。 ④本結(jié)論可以在③的基礎(chǔ)上面進(jìn)行判斷。若MN/AM＝2，那么可以得到△CM′N為含30°角的三角形，可以得到∠CNM′=30°，進(jìn)而得到∠DNM=∠DNM′=75°，那么就可以得到∠DEF=∠DEA=75°，進(jìn)而得到∠BEF=30°，此時(shí)若BE＝3，則根據(jù)三角函數(shù)等，可以得到BF=√3，那么EF=2√3。與結(jié)論矛盾。 綜上所述，可以得到正確的結(jié)論只有②一個(gè)。
正方形含半角模型，常?？紤]用旋轉(zhuǎn)等方式做輔助線。此類問題是比較常規(guī)典型的問題，也是老套路了。
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