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2022貴陽中考數(shù)學(xué)壓軸題分析2:二次函數(shù)含參問題與最值問題

 一個大風(fēng)子 2022-09-24 發(fā)布于黑龍江
本題選自2022年貴州省貴陽市中考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題,以含參的二次函數(shù)為背景考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),通過給定區(qū)間的最值求參數(shù)。屬于近幾年的熱點問題,值得研究。

【題目】
(2022·貴陽)已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+b.
(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)(用含a,b的代數(shù)式表示);
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點,AB=6,且圖象過(1,c),(3,d),(﹣1,e),(﹣3,f)四點,判斷c,d,e,f的大小,并說明理由;
(3)點M(m,n)是二次函數(shù)圖象上的一個動點,當(dāng)﹣2≤m≤1時,n的取值范圍是﹣1≤n≤1,求二次函數(shù)的表達(dá)式.

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【分析】
(1)已知二次函數(shù)的解析式求頂點坐標(biāo),可以考慮配方成頂點式,或者直接用頂點坐標(biāo)公式均可。
y=ax2+4ax+b=a(x+2)2+b-4a2,那么就可以得到頂點坐標(biāo)為(-2,b-4a2)。
(2)通過觀察函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)拋物線的開口方向向上時,點離對稱軸越遠(yuǎn),則縱坐標(biāo)越大

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當(dāng)拋物線的開口向下時,可以得到點遠(yuǎn)離對稱軸時,縱坐標(biāo)越小。如下圖所示。

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因為本題的對稱軸為x=-2,題目給定的點的坐標(biāo)為(1,c),(3,d),(﹣1,e),(﹣3,f),要比較4個點的縱坐標(biāo)大小。那么還是需要分類討論。

①當(dāng)a>0時,e=f<c<d,

②當(dāng)a<0時,e=f>c>d。

(3)本題僅給出條件“當(dāng)﹣2≤m≤1時,n的取值范圍是﹣1≤n≤1”,但是仍然不知道拋物線的開口方向,因此仍然需要討論。

①當(dāng)a>0時,若﹣2≤m≤1,則點M的縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的增大而增大。此時可以得到拋物線經(jīng)過點(-2,-1)與(1,1),代入可以求得拋物線的解析式為y=2/9x2+8/9x-1/9。

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②當(dāng)a<0時,﹣2≤m≤1,則點M的縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的增大而減小。此時可以得到拋物線經(jīng)過點(-2,1)與(1,-1),代入可以求得拋物線的解析式為y=-2/9x2-8/9x+1/9。

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那么可以得到二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2/9x2+8/9x-1/9或y=-2/9x2-8/9x+1/9。


【總結(jié)】
本題主要根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解題,通過數(shù)形結(jié)合思想可以較為方便解題。
更多精彩請看《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析》!
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