高等數(shù)學(xué)對(duì)老黃這樣的一般人來說，實(shí)在是太難了，但對(duì)天才來說，可能就沒有那么難吧。老黃本也有機(jī)會(huì)成為“天才”，只可惜浪費(fèi)了太多時(shí)間，終成了一個(gè)碌碌無為的庸才，所以告訴年輕人一聲，你現(xiàn)在還有成為天才的可能，千萬不要放棄哦。

下面這道關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用題，對(duì)老黃來說，能夠看懂已經(jīng)是極限了，但老黃卻還要努力突破極限，不僅要看懂，還要把它解析出來，讓愛學(xué)習(xí)，想成為天才的小伙伴們，也能看懂，想明白，并內(nèi)化為自己的知識(shí)。當(dāng)然，后面的環(huán)節(jié)老黃就幫不了你，需要你自己的努力了。

設(shè)函數(shù)f在[a,b]上二階可導(dǎo)，f’(a)=f’(b)=0, 證明：

存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得|f”(ξ)|≥4/(b-a)^2 *|f(b)-f(a)|.

分析：看到這個(gè)結(jié)論，第一反應(yīng)其實(shí)是應(yīng)用拉格朗日中值定理，而且要用到兩次拉格朗日定理。只可惜，老黃試過之后，發(fā)現(xiàn)僅在[a,(a+b)/4]上，用拉格朗日定理可以推出這個(gè)結(jié)論。而在[a,b]的其它子區(qū)間上，最多能推出|f”(ξ)|≥2/(b-a)^2 *|f(b)-f(a)|. 即式子中的系數(shù)“4”被縮小了，這顯然是不能接受的。

假如你只需要運(yùn)用拉格朗日定理就能推導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論的話，老黃要拜你為師。那不一定是不可能的哦，只是老黃太笨做不到而已。后來老黃也嘗試過柯西中值定理，不出意料，也是鎩羽而歸。最后無路可走的老黃偷瞄了一下答案，才知道，這個(gè)問題要用泰勒公式的定量形式，即帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式形式來解決。不過你千萬不要以為，方向找到了，后面的問題就順理成章，變得很容易了哦。事實(shí)上，后面的證明過程依然荊棘滿路。

這里的泰勒公式只須取一階就夠了。關(guān)于泰勒公式的內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)斂础独宵S學(xué)高數(shù)》系列視頻第185-195講的內(nèi)容，重點(diǎn)在第191講。

證：f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+1/2*f”(ξ1)(x-a)^2=f(a)+1/2*f”(ξ1)(x-a)^2, a<ξ1<x, 【這是f(x)在x0=a的一階泰勒公式，這里稱它為“a公式”】

f(x)=f(b)+f’(b)(x-b)+1/2*f”(ξ2)(x-b)^2=f(a)+1/2f”(ξ2)(x-b)2, x<ξ2<b, 【這是f(x)在x0=b的一階泰勒公式，這里稱它為“b公式”?！?/p>

f((a+b)/2)=f(a)+f”(ξ1)(b-a)^2/8，a<ξ1<(a+b)/2, 【這是a公式在x=(a+b)/2的函數(shù)值】

f((a+b)/2)=f(b)+f”(ξ2)(b-a)^2/8, (a+b)/2<ξ2<b,【這是b公式在x=(a+b)/2的函數(shù)值，之所以知道要取泰勒公式的這四個(gè)形式，都是運(yùn)用拉格朗日中值定理過程中，提煉出來的。所以你最好自己用拉格朗日中值定理試幾試，就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)】

f((a+b)/2)-f(a)=f”(ξ1)(b-a)^2/8, f((a+b)/2)-f(b)=f”(ξ2)(b-a)^2/8, 【這是上面兩個(gè)式子的變形，因?yàn)橄旅嬉玫?，先化成這個(gè)形式，會(huì)更直接】

取|f”(ξ)|=max{|f”(ξ1)|,|f”(ξ2)|}, 則ξ∈(a,b)，【這一步很簡單，但它是全題的核心】

|f(b)-f(a)|≤|f(b)-f((a+b)/2)|+|f((a+b)/2)-f(a)|=(|f”(ξ1)|+|f”(ξ2)|)(b-a)^2/8≤|f”(ξ)|(b-a)^2/4. 【一般的想法會(huì)直接代入f(b)和f(a)的表達(dá)式，但那樣可能推導(dǎo)不出最后的結(jié)論。這里運(yùn)用的是絕對(duì)值的三角不等式】

∴|f”(ξ)|≥4/(b-a)^2 *|f(b)-f(a)|. 得證！

如果你只看過程，不會(huì)發(fā)現(xiàn)它的困難之處的，但自己嘗試證明或者理解證明過程，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的難點(diǎn)了。你覺得呢？